Álgebra de Okubo

En álgebra , un álgebra de Okubo o álgebra pseudooctonional es un álgebra no asociativa de 8 dimensiones similar a la estudiada por Susumu Okubo . ^[1] Las álgebras de Okubo son álgebras de composición , álgebras flexibles ( A ( BA ) = ( AB ) A ), álgebras admisibles de Lie y asociativas de potencia , pero no son álgebras asociativas, no alternativas y no tienen un elemento de identidad.

El ejemplo de Okubo fue el álgebra de matrices complejas de traza cero de 3 por 3 , con el producto de X e Y dado por aXY + bYX – Tr( XY ) I /3 donde I es la matriz identidad y a y b satisfacen a + b = 3 ab = 1. Los elementos hermitianos forman un álgebra de división real no asociativa de 8 dimensiones . Una construcción similar funciona para cualquier álgebra separable alternativa cúbica sobre un campo que contiene una raíz cúbica primitiva de la unidad. Un álgebra de Okubo es un álgebra construida de esta manera a partir de los elementos de traza cero de un álgebra simple central de grado 3 sobre un campo. ^[2]

Construcción del álgebra de Para-Hurwitz

Las álgebras de composición unitaria se denominan álgebras de Hurwitz . ^[3]^{: 22} Si el campo fundamental $K$ es el campo de los números reales y $N$ es positivo-definido , entonces $A$ se llama álgebra euclidiana de Hurwitz .

Producto escalar

Si $K$ tiene una característica distinta de 2, entonces una forma bilineal $( a , b ) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2[ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )]$ está asociado con la forma cuadrática $N$ .

Involución en álgebras de Hurwitz

Suponiendo que $A$ tiene una unidad multiplicativa, defina los operadores de involución y multiplicación derecha e izquierda por

\displaystyle {{\bar {a}}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b =ba.}

Evidentemente es una involución y conserva la forma cuadrática. La notación superpuesta enfatiza el hecho de que la conjugación compleja y de cuaterniones son casos parciales de la misma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades:

La involución es un antiautomorfismo, es decir $a b = b a$
$una una = norte (una) 1 = una una$
$L (a) = L (a)*$ , $R (a) = R (a)*$ , donde $*$ denota el operador adjunto con respecto a la forma $( , )$
$Re(a b) = Re(b a)$ donde $Re x = (x + x)/2 = (x, 1)$
$Re((a b) c) = Re(a (b c))$
$L (a 2) = L (a) 2$ , $R (a 2) = R (a) 2$ , por lo que $A$ es un álgebra alternativa

Estas propiedades se demuestran a partir de la versión polarizada de la identidad $(a b, a b) = (a, a)(b, b)$ :

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

Establecer $b = 1$ o $d = 1$ produce $L (a) = L (a)*$ y $R (c) = R (c)*$ . Por lo tanto $Re(a b) = (a b, 1) = (a, b) = (b a, 1) = Re(b a)$ . De manera similar $(a b, c) = (a b, c) = (b, a c) = (1, b (a c)) = (1, (b a) c) = (b a, c)$ . Por lo tanto $Re(a b) c = ((a b) c, 1) = (a b, c) = (a, c b) = (a (b c), 1) = Re(a (b c))$ . Por la identidad polarizada $N (a) (c, d) = (a c, a d) = (a a c, d)$ entonces $L (a) L(a) = N (a)$ . Aplicado a 1 esto da $a a = N (a)$ . Reemplazar $a$ por $a$ le da identidad al otro. Sustituyendo la fórmula de $a$ en $L (a) L (a) = L (a a)$ se obtiene $L (a) 2 = L (a 2)$ .

Álgebra de Para-Hurwitz

Otra operación $*$ puede definirse en un álgebra de Hurwitz como

x * y = x y

El álgebra $(A, *)$ es un álgebra de composición no generalmente unital, conocida como álgebra para-Hurwitz . ^[2]^{: 484} En las dimensiones 4 y 8, estas son álgebras paracuaternión ^[4] y paraoctonión . ^[3]^{: 40, 41}

Un álgebra para-Hurwitz satisface ^[3]^{: 48}

(x*y)*x=x*(y*x)=\langle x|x\rangle y\ .

Por el contrario, un álgebra con una forma bilineal simétrica no degenerada que satisfaga esta ecuación es un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudooctonión de ocho dimensiones . ^[3]^{: 49} De manera similar, un álgebra flexible que satisfaga

\langle xy|xy\rangle =\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \

es un álgebra de Hurwitz, un álgebra para-Hurwitz o un álgebra pseudooctonión de ocho dimensiones. ^[3]

Referencias

^ Susumu Okubo (1978)
^ ab Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev , Markus Rost , Jean-Pierre Tignol (1998) "Composition and Triality", capítulo 8 de El libro de las involuciones , págs. 451–511, Colloquium Publications v 44, American Mathematical Society ISBN 0- 8218-0904-0
^ abcde Okubo, Susumu (1995). Introducción al octonión y otras álgebras no asociativas en física. Serie de conferencias Montroll Memorial sobre física matemática. vol. 2. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-47215-6. SEÑOR 1356224. Zbl 0841.17001.
^ El término "paracuaterniones" se aplica a veces a álgebras no relacionadas.

"Okubo_algebra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Okubo, Susumu (1978), "Álgebras de pseudocuaternión y pseudooctonión", Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR 0510100
Susumu Okubo y J. Marshall Osborn (1981) "Álgebras con formas bilineales simétricas asociativas no degeneradas que permiten la composición", Communications in Algebra 9(12): 1233–61, MR 0618901 y 9(20): 2015–73 MR 0640611.