Cálculo proposicional

Rama de la lógica

El cálculo proposicional ^[a] es una rama de la lógica . ^[1] También se le llama lógica proposicional , ^[2] lógica de enunciados , ^[1] cálculo oracional , ^[3] lógica oracional , ^[1] o, a veces, lógica de orden cero . ^{[4] [5]} Se trata de proposiciones ^[1] (que pueden ser verdaderas o falsas ) ^[6] y de relaciones entre proposiciones, ^[7] incluyendo la construcción de argumentos basados ​​en ellas. ^[8] Las proposiciones compuestas se forman conectando proposiciones mediante conectivos lógicos que representan las funciones de verdad de conjunción , disyunción , implicación , bicondicional y negación . ^{[9] [10] [11] [12]} Algunas fuentes incluyen otros conectivos, como se muestra en la siguiente tabla.

A diferencia de la lógica de primer orden , la lógica proposicional no se ocupa de objetos no lógicos, predicados sobre ellos ni cuantificadores . Sin embargo, toda la maquinaria de la lógica proposicional está incluida en la lógica de primer orden y en la lógica de orden superior. En este sentido, la lógica proposicional es la base de la lógica de primer orden y de la lógica de orden superior.

La lógica proposicional se estudia típicamente con un lenguaje formal , en el que las proposiciones se representan mediante letras, que se denominan variables proposicionales . Luego se utilizan, junto con símbolos de conectivos, para formar proposiciones compuestas. Debido a esto, las variables proposicionales se denominan fórmulas atómicas de un lenguaje formal de orden cero. ^{[10] [2]} Si bien las proposiciones atómicas generalmente se representan mediante letras del alfabeto , ^[10] existe una variedad de notaciones para representar las conectivas lógicas. La siguiente tabla muestra las principales variantes de notación para cada una de las conectivas en lógica proposicional.

La rama de la lógica proposicional más investigada es la lógica proposicional funcional de verdad clásica , ^[1] en la que se interpreta que las fórmulas tienen precisamente uno de dos valores de verdad posibles , el valor de verdad de verdadero o el valor de verdad de falso . ^[15] Se mantienen el principio de bivalencia y la ley del tercero excluido . En comparación con la lógica de primer orden , la lógica proposicional funcional de verdad se considera lógica de orden cero . ^{[4] [5]}

Historia

Aunque la lógica proposicional (también llamada cálculo proposicional) había sido insinuada por filósofos anteriores, Crisipo la desarrolló hasta convertirse en una lógica formal ( lógica estoica ) en el siglo III a. C. ^[16] y la amplió sus sucesores, los estoicos . La lógica se centró en proposiciones . Esto era diferente de la lógica silogística tradicional , que se centraba en los términos . Sin embargo, la mayoría de los escritos originales se perdieron ^[17] y, en algún momento entre los siglos III y VI d.C., la lógica estoica cayó en el olvido, para resucitar sólo en el siglo XX, tras el (re)descubrimiento. de la lógica proposicional. ^[18]

La lógica simbólica , que llegaría a ser importante para refinar la lógica proposicional, fue desarrollada por primera vez por el matemático de los siglos XVII y XVIII Gottfried Leibniz , cuyo cálculo razonador era, sin embargo, desconocido para la comunidad lógica en general. En consecuencia, muchos de los avances logrados por Leibniz fueron recreados por lógicos como George Boole y Augustus De Morgan , completamente independientes de Leibniz. ^[19]

La lógica de predicados de Gottlob Frege se basa en la lógica proposicional y se ha descrito que combina "las características distintivas de la lógica silogística y la lógica proposicional". ^[20] En consecuencia, la lógica de predicados marcó el comienzo de una nueva era en la historia de la lógica; sin embargo, todavía se hicieron avances en la lógica proposicional después de Frege, incluida la deducción natural , los árboles de verdad y las tablas de verdad . La deducción natural fue inventada por Gerhard Gentzen y Stanisław Jaśkowski . Los árboles de la verdad fueron inventados por Evert Willem Beth . ^[21] La invención de las tablas de verdad, sin embargo, es de atribución incierta.

Dentro de las obras de Frege ^[22] y Bertrand Russell , ^[23] se encuentran ideas influyentes para la invención de tablas de verdad. La estructura tabular real (formateada como una tabla), en sí misma, generalmente se atribuye a Ludwig Wittgenstein o Emil Post (o a ambos, de forma independiente). ^[22] Además de Frege y Russell, otros a quienes se les atribuye tener ideas que preceden a las tablas de verdad incluyen a Philo, Boole, Charles Sanders Peirce , ^[24] y Ernst Schröder . Otros a los que se les atribuye la estructura tabular incluyen a Jan Łukasiewicz , Alfred North Whitehead , William Stanley Jevons , John Venn y Clarence Irving Lewis . ^[23] En última instancia, algunos han llegado a la conclusión, como John Shosky, de que "no está nada claro que a una sola persona se le deba dar el título de 'inventor' de las tablas de verdad". ^[23]

Oraciones

La lógica proposicional, tal como se estudia actualmente en las universidades, es una especificación de un estándar de consecuencia lógica en el que sólo se consideran los significados de los conectivos proposicionales al evaluar las condiciones para la verdad de una oración, o si una oración se sigue lógicamente de alguna otra oración o grupo de oraciones. ^[2]

Sentencias declarativas

La lógica proposicional se ocupa de enunciados , que se definen como oraciones declarativas que tienen valor de verdad. ^{[25] [1]} Ejemplos de declaraciones podrían incluir:

• Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar.
• Londres es la capital de Inglaterra .
• Todos los editores de Wikipedia hablan al menos tres idiomas .

Las oraciones declarativas se contrastan con preguntas como "¿Qué es Wikipedia?" y declaraciones imperativas como "Agregue citas para respaldar las afirmaciones de este artículo". ^{[26] [27]} Tales oraciones no declarativas no tienen valor de verdad , ^[28] y solo se tratan en lógicas no clásicas , llamadas lógicas eróticas e imperativas .

Oraciones compuestas con conectivos

En lógica proposicional, un enunciado puede contener uno o más enunciados como partes. ^[1] Las oraciones compuestas se forman a partir de oraciones más simples y expresan relaciones entre las oraciones constituyentes. ^[29] Esto se hace combinándolos con conectivos lógicos : ^{[29] [30]} los principales tipos de oraciones compuestas son negaciones , conjunciones , disyunciones , implicaciones y bicondicionales , ^[29] que se forman usando los conectivos correspondientes para conectar proposiciones. ^{[31] [32]} En inglés , estos conectivos se expresan mediante las palabras "y" ( conjunción ), "o" ( disyunción ), "no" ( negación ), "si" ( condicional material ) y "si y solo". si" ( bicondicional ). ^{[1] [9]} Ejemplos de tales oraciones compuestas podrían incluir:

• Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar y millones ya la tienen . (conjunción)
• No es cierto que todos los editores de Wikipedia hablen al menos tres idiomas. (negación)
• O Londres es la capital de Inglaterra, o Londres es la capital del Reino Unido , o ambas. (disyunción) ^[b]

Si las oraciones carecen de conectivos lógicos, se llaman oraciones simples , ^[1] u oraciones atómicas ; ^[30] si contienen uno o más conectivos lógicos se denominan oraciones compuestas , ^[29] u oraciones moleculares . ^[30]

Los conectivos oracionales son una categoría más amplia que incluye conectivos lógicos. ^{[2] [30]} Los conectivos oracionales son partículas lingüísticas que unen oraciones para crear una nueva oración compuesta, ^{[2] [30]} o que flexionan una sola oración para crear una nueva oración. ^[2] Un conectivo lógico , o conectivo proposicional , es una especie de conectivo oracional con el rasgo característico de que, cuando las oraciones originales sobre las que opera son (o expresan) proposiciones , la nueva oración que resulta de su aplicación también es (o expresa) ) una proposición . ^[2] Los filósofos no están de acuerdo sobre qué es exactamente una proposición, ^{[6] [2]} así como sobre qué conectivos oracionales en los lenguajes naturales deben contarse como conectivos lógicos. ^{[30] [2]} Los conectivos oracionales también se llaman funtores de oración , ^[33] y los conectivos lógicos también se llaman funtores de verdad . ^[33]

Argumentos

Un argumento se define como un par de cosas, a saber, un conjunto de oraciones, llamadas premisas , [ ^c] y una oración, llamada conclusión . ^{[34] [30] [33]} Se afirma que la conclusión se deriva de las premisas, ^[33] y se afirma que las premisas respaldan la conclusión. ^[30]

Argumento de ejemplo

El siguiente es un ejemplo de un argumento dentro del alcance de la lógica proposicional:

Premisa 1: Si llueve, entonces está nublado.

Premisa 2: Está lloviendo.

Conclusión: está nublado.

La forma lógica de este argumento se conoce como modus ponens , ^[35] que es una forma clásicamente válida . ^[36] Entonces, en la lógica clásica, el argumento es válido , aunque puede ser sólido o no , dependiendo de los hechos meteorológicos en un contexto dado. Este argumento de ejemplo se reutilizará al explicar § Formalización.

Validez y solidez

Un argumento es válido si, y sólo si, es necesario que, si todas sus premisas son verdaderas, su conclusión sea verdadera. ^{[34] [37] [38]} Alternativamente, un argumento es válido si, y sólo si, es imposible que todas las premisas sean verdaderas mientras la conclusión sea falsa. ^{[38] [34]}

La validez se contrasta con la solidez . ^[38] Un argumento es sólido si, y sólo si, es válido y todas sus premisas son verdaderas. ^{[34] [38]} De lo contrario, no es válido . ^[38]

La lógica, en general, apunta a especificar con precisión argumentos válidos. ^[30] Esto se hace definiendo un argumento válido como aquel en el que su conclusión es una consecuencia lógica de sus premisas, ^[30] lo cual, cuando esto se entiende como consecuencia semántica , significa que no hay ningún caso en el que las premisas sean verdaderas. pero la conclusión no es cierta ^[30] ; consulte § Semántica a continuación.

Formalización

La lógica proposicional generalmente se estudia a través de un sistema formal en el que se interpreta que las fórmulas de un lenguaje formal representan proposiciones . Este lenguaje formal es la base de los sistemas de prueba , que permiten derivar una conclusión a partir de premisas si, y sólo si, es una consecuencia lógica de ellas. Esta sección mostrará cómo funciona esto formalizando el argumento § Ejemplo. El lenguaje formal para un cálculo proposicional se especificará completamente en § Lenguaje, y se brindará una descripción general de los sistemas de prueba en § Sistemas de prueba.

Variables proposicionales

Dado que la lógica proposicional no se ocupa de la estructura de las proposiciones más allá del punto en el que ya no pueden descomponerse mediante conectivos lógicos, ^{[35] [1]} normalmente se estudia reemplazando dichos enunciados atómicos (indivisibles) con letras del alfabeto, que Se interpretan como variables que representan enunciados ( variables proposicionales ). ^[1] Con variables proposicionales, el argumento del § Ejemplo se simbolizaría de la siguiente manera:

Premisa 1: ${\displaystyle P\to Q}$

Premisa 2: ${\displaystyle P}$

Conclusión: ${\displaystyle Q}$

Cuando P se interpreta como "Está lloviendo" y Q como "Está nublado", estas expresiones simbólicas corresponden exactamente con la expresión original en lenguaje natural. No sólo eso, sino que también se corresponderán con cualquier otra inferencia con la misma forma lógica .

Cuando se utiliza un sistema formal para representar la lógica formal, solo las letras de declaración (generalmente letras romanas mayúsculas como , y ) se representan directamente. Las proposiciones del lenguaje natural que surgen cuando se interpretan están fuera del alcance del sistema, y ​​la relación entre el sistema formal y su interpretación está igualmente fuera del sistema formal mismo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$

notación caballero

Si asumimos que la validez del modus ponens ha sido aceptada como un axioma , entonces el mismo argumento del § Ejemplo también se puede representar así:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,P}{Q}}}$

Este método de visualización es la notación de Gentzen para la deducción natural y el cálculo secuencial . ^[39] Las premisas se muestran encima de una línea, llamada línea de inferencia , ^[11] separadas por una coma , que indica combinación de premisas. ^[40] La conclusión está escrita debajo de la línea de inferencia. ^[11] La línea de inferencia representa la consecuencia sintáctica , ^[11] a veces llamada consecuencia deductiva , ^[41] que también se simboliza con ⊢. ^{[42] [41]} Entonces, lo anterior también se puede escribir en una línea como . ^[d] ${\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}$

La consecuencia sintáctica se contrasta con la consecuencia semántica , ^[43] que se simboliza con ⊧. ^{[42] [41]} En este caso, la conclusión se sigue sintácticamente porque se ha asumido la regla de inferencia de deducción natural del modus ponens . Para obtener más información sobre las reglas de inferencia, consulte las secciones sobre sistemas de prueba a continuación.

Idioma

El lenguaje (comúnmente llamado ) ^{[44] [45] [30]} de un cálculo proposicional se define en términos de: ^{[2] [10]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. un conjunto de símbolos primitivos, llamados fórmulas atómicas , oraciones atómicas , ^{[35] [30]} átomos, ^[46] marcadores de posición , fórmulas primas , ^[46] letras de proposición , letras de oración , ^[35] o variables , y
2. un conjunto de símbolos operadores, llamados conectivos , ^{[14] [1] [47]} conectivos lógicos , ^[1] operadores lógicos , ^[1] conectivos veritativos, ^[1] functores veritativos , ^[33] o conectivos proposicionales . ^[2]

Una fórmula bien formada es cualquier fórmula atómica, o cualquier fórmula que pueda construirse a partir de fórmulas atómicas mediante símbolos de operador de acuerdo con las reglas de la gramática. El lenguaje , entonces, se define como idéntico a su conjunto de fórmulas bien formadas, ^[45] o como que contiene ese conjunto (junto con, por ejemplo, su conjunto de conectivos y variables). ^{[10] [30]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Por lo general, la sintaxis de se define recursivamente con sólo unas pocas definiciones, como se ve a continuación; algunos autores incluyen explícitamente paréntesis como signos de puntuación al definir la sintaxis de su idioma, ^{[30] [48]} mientras que otros los usan sin comentarios. ^{[2] [10]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Sintaxis

Dado un conjunto de variables proposicionales atómicas , , , ..., y un conjunto de conectivos proposicionales , , , ..., , , , ..., , , , ... , una fórmula de lógica proposicional se define recursivamente por estas definiciones: ^{[2] [10] [47] [e]} ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle c_{1}^{1}}$ ${\displaystyle c_{2}^{1}}$ ${\displaystyle c_{3}^{1}}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}}$ ${\displaystyle c_{2}^{2}}$ ${\displaystyle c_{3}^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}^{3}}$ ${\displaystyle c_{2}^{3}}$ ${\displaystyle c_{3}^{3}}$

Definición 1 : Las variables proposicionales atómicas son fórmulas.

Definición 2 : Si es un conectivo proposicional, y A, B, C,… es una secuencia de m fórmulas, posiblemente pero no necesariamente atómicas, posiblemente pero no necesariamente distintas, entonces el resultado de aplicar a A, B, C, … es una fórmula. ${\displaystyle c_{n}^{m}}$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle c_{n}^{m}}$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Definición 3: Nada más es una fórmula.

Escribiendo el resultado de aplicar a A, B, C,… en notación funcional, como (A, B, C,…), tenemos los siguientes ejemplos de fórmulas bien formadas: ${\displaystyle c_{n}^{m}}$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle c_{n}^{m}}$

• ${\displaystyle p_{5}}$
• ${\displaystyle c_{3}^{2}(p_{2},p_{9})}$
• ${\displaystyle c_{3}^{2}(p_{1},c_{2}^{1}(p_{3}))}$
• ${\displaystyle c_{1}^{3}(p_{4},p_{6},c_{2}^{2}(p_{1},p_{2}))}$
• ${\displaystyle c_{4}^{2}(c_{1}^{1}(p_{7}),c_{3}^{1}(p_{8}))}$
• ${\displaystyle c_{2}^{3}(c_{1}^{2}(p_{3},p_{4}),c_{2}^{1}(p_{5}),c_{3}^{2}(p_{6},p_{7}))}$
• ${\displaystyle c_{3}^{1}(c_{1}^{3}(p_{2},p_{3},c_{2}^{2}(p_{4},p_{5})))}$

Colin Howson se refiere a lo que se dio anteriormente como Definición 2 , que es responsable de la composición de las fórmulas, como principio de composición . ^{[35] [f]} Es esta recursividad en la definición de la sintaxis de un lenguaje lo que justifica el uso de la palabra "atómico" para referirse a variables proposicionales, ya que todas las fórmulas en el lenguaje se construyen a partir de átomos como bloques de construcción últimos. ^[2] Las fórmulas compuestas (todas las fórmulas excepto los átomos) se llaman moléculas , ^[46] o oraciones moleculares . ^[30] (Esta es una analogía imperfecta con la química , ya que una molécula química a veces puede tener solo un átomo, como en los gases monoatómicos .) ^[46] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La definición de que "nada más es una fórmula", dada anteriormente como Definición 3 , excluye del lenguaje cualquier fórmula que no sea requerida específicamente por las otras definiciones en la sintaxis. ^[33] En particular, excluye que las fórmulas infinitamente largas estén bien formadas . ^[33]

Gramática CF en BNF

Una alternativa a las definiciones de sintaxis proporcionadas anteriormente es escribir una gramática libre de contexto (CF) para el idioma en forma Backus-Naur (BNF). ^{[50] [51]} Esto es más común en informática que en filosofía . ^[51] Se puede hacer de muchas maneras, ^[50] de las cuales una particularmente breve, para el conjunto común de cinco conectivos, es esta única cláusula: ^{[51] [52]} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \phi ::=a_{1},a_{2},\ldots ~|~\neg \phi ~|~\phi ~\&~\psi ~|~\phi \vee \psi ~|~\phi \rightarrow \psi ~|~\phi \leftrightarrow \psi }$

Esta cláusula, por su carácter autorreferencial (ya que está en algunas ramas de la definición de ), también actúa como una definición recursiva , y por tanto especifica todo el lenguaje. Para expandirlo y agregar operadores modales , solo es necesario agregar...  al final de la cláusula. ^[51] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |~\Box \phi ~|~\Diamond \phi }$

Constantes y esquemas

Los matemáticos a veces distinguen entre constantes proposicionales, variables proposicionales y esquemas. Las constantes proposicionales representan alguna proposición particular, ^[53] mientras que las variables proposicionales abarcan el conjunto de todas las proposiciones atómicas. ^[53] Sin embargo, los esquemas, o letras esquemáticas , abarcan todas las fórmulas. ^{[33] [1]} (Las letras esquemáticas también se denominan metavariables ). ^[34] Es común representar constantes proposicionales mediante A , B y C , variables proposicionales mediante P , Q y R , y las letras esquemáticas suelen ser letras griegas. , más a menudo φ , ψ y χ . ^{[33] [1]}

Sin embargo, algunos autores reconocen sólo dos "constantes proposicionales" en su sistema formal: el símbolo especial , llamado "verdad", que siempre se evalúa como Verdadero , y el símbolo especial , llamado "falsedad", que siempre se evalúa como Falso . ^{[54] [55] [56]} Otros autores también incluyen estos símbolos, con el mismo significado, pero los consideran "functores de verdad de lugar cero", ^[33] o equivalentemente, " conectivos nulares ". ^[47] ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \bot }$

Semántica

Para servir como modelo de la lógica de un lenguaje natural determinado , un lenguaje formal debe interpretarse semánticamente. ^[30] En la lógica clásica , todas las proposiciones se evalúan exactamente como uno de dos valores de verdad : Verdadero o Falso . ^{[1] [57]} Por ejemplo, " Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar" se evalúa como Verdadero , ^[58] mientras que "Wikipedia es una enciclopedia en papel " se evalúa como Falso . ^[59]

En otros aspectos, la siguiente semántica formal puede aplicarse al lenguaje de cualquier lógica proposicional, pero los supuestos de que solo hay dos valores semánticos ( bivalencia ), de que solo uno de los dos está asignado a cada fórmula en el lenguaje ( no contradicción ), y que a cada fórmula se le asigna un valor ( intermedio excluido ), son características distintivas de la lógica clásica. ^{[57] [60] [33]} Para aprender sobre lógicas no clásicas con más de dos valores de verdad y su semántica única, se pueden consultar los artículos sobre " Lógica de muchos valores ", " Lógica de tres valores", "Lógica de tres valores ", lógica valorada ", y " lógica de valores infinitos ".

Interpretación (caso) y argumento.

Para un lenguaje determinado , una interpretación , ^[61] valoración , ^[48] o caso , ^{[30] [g]} es una asignación de valores semánticos a cada fórmula de . ^[30] Para un lenguaje formal de lógica clásica, un caso se define como una asignación , a cada fórmula de , de uno u otro, pero no de ambos, de los valores de verdad , es decir, verdad ( T , o 1) y falsedad ( F o 0). ^{[62] [63]} Una interpretación que sigue las reglas de la lógica clásica a veces se denomina valoración booleana . ^{[48] ​​[64]} Una interpretación de un lenguaje formal para la lógica clásica a menudo se expresa en términos de tablas de verdad . ^{[65] [1]} Dado que a cada fórmula solo se le asigna un único valor de verdad, una interpretación puede verse como una función , cuyo dominio es y cuyo rango es su conjunto de valores semánticos , ^[2] o . ^[30] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{{\mathsf {T}},{\mathsf {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{1,0\}}$

Para distintos símbolos proposicionales existen distintas interpretaciones posibles. Para cualquier símbolo en particular , por ejemplo, hay posibles interpretaciones: o se le asigna T o se le asigna F. Y para el par , hay posibles interpretaciones: o a ambos se les asigna T , o a ambos se les asigna F , o se les asigna T y se les asigna F , o se les asigna F y se les asigna T. ^[65] Dado que tiene , es decir, innumerables símbolos proposicionales, hay , y por lo tanto, incontables, distintas interpretaciones posibles de un todo. ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2^{1}=2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Cuando hay una interpretación yy representan fórmulas, la definición de un argumento , dada en § Argumentos, puede entonces expresarse como un par , donde es el conjunto de premisas y es la conclusión. La definición de la validez de un argumento , es decir, su propiedad de que , puede entonces expresarse como la ausencia de un contraejemplo , donde un contraejemplo se define como un caso en el que todas las premisas del argumento son verdaderas pero la conclusión no lo es. ^{[30] [35]} Como se verá en el § Verdad semántica, validez, consecuencia, esto es lo mismo que decir que la conclusión es una consecuencia semántica de las premisas. ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle \psi }$

Semántica conectiva proposicional

Una interpretación asigna directamente valores semánticos a fórmulas atómicas . ^{[61] [30]} A las fórmulas moleculares se les asigna una función del valor de sus átomos constituyentes, según el conectivo utilizado; ^{[61] [30]} los conectivos se definen de tal manera que el valor de verdad de una oración formada a partir de átomos con conectivos depende de los valores de verdad de los átomos a los que se aplican, y solo de aquellos. ^{[61] [30]} Colin Howson se refiere a esta suposición como la suposición de la funcionalidad de verdad de los conectivos . ^[35]

Semántica mediante tablas de verdad

Dado que los conectivos lógicos se definen semánticamente sólo en términos de los valores de verdad que toman cuando las variables proposicionales que se aplican toman cualquiera de los dos valores de verdad posibles , ^{[1] [30]} la definición semántica de los conectivos generalmente se representa como tabla de verdad para cada una de las conectivas, ^{[1] [30] [66]} como se ve a continuación:

Esta tabla cubre cada uno de los cinco conectivos lógicos principales : ^{[9] [10] [11] [12]} conjunción (aquí denominada p ∧ q), disyunción (p ∨ q), implicación (p → q), bicondicional (p ↔ q) y negación , (¬p, o ¬q, según sea el caso). Es suficiente para determinar la semántica de cada uno de estos operadores. ^{[1] [67] [30]} Para obtener más tablas de verdad para más tipos diferentes de conectivos, consulte el artículo " Tabla de verdad ".

Semántica mediante expresiones de asignación

Algunos autores (a saber, todos los autores citados en esta subsección) escriben la semántica conectiva utilizando una lista de afirmaciones en lugar de una tabla. En este formato, donde está la interpretación de , las cinco conectivas se definen como: ^{[33] [48]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\neg P)={\mathsf {T}}}$si y solo si, ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {F}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\land Q)={\mathsf {T}}}$si y sólo si y ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\lor Q)={\mathsf {T}}}$si, y sólo si, o ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\to Q)={\mathsf {T}}}$si, y sólo si, es cierto que, si , entonces ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P\leftrightarrow Q)={\mathsf {T}}}$si, y sólo si, es cierto que si, y sólo si, ${\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}$

En lugar de , la interpretación de puede escribirse como , ^{[33] [68]} o, para definiciones como las anteriores, puede escribirse simplemente como la oración en inglés " se le da el valor ". ^[48] ​​Sin embargo, otros autores ^{[69] [70]} pueden preferir hablar de un modelo tarskiano para el lenguaje, de modo que en su lugar usarán la notación , que equivale a decir , ¿dónde está la función de interpretación para ? ^[70] ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi |}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\models \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

Métodos de definición conectiva.

Algunos de estos conectivos pueden definirse en términos de otros: por ejemplo, la implicación, p → q, puede definirse en términos de disyunción y negación, como ¬p ∨ q; ^[71] y la disyunción puede definirse en términos de negación y conjunción, como ¬(¬p ∧ ¬q). ^[48] ​​De hecho, un sistema funcionalmente completo ^{, [h]} en el sentido de que todas y sólo las tautologías proposicionales clásicas son teoremas, puede derivarse utilizando únicamente la disyunción y la negación (como lo hicieron Russell , Whitehead y Hilbert ), ^{[ 2]} o usar solo implicación y negación (como lo hizo Frege ), ^[2] o usar solo conjunción y negación, ^[2] o incluso usar solo un conectivo para "no y" (el trazo de Sheffer ), ^{[3] [2 ]} como lo hizo Jean Nicod . ^[2] Un conectivo de negación conjunta ( NOR lógico ) también será suficiente, por sí solo, para definir todos los demás conectivos, ^[48] pero ningún otro conectivo tiene esta propiedad. ^[48]

Algunos autores, como Howson ^[35] y Cunningham, ^[73] distinguen la equivalencia del bicondicional. (En cuanto a la equivalencia, Howson la llama "equivalencia funcional de verdad", mientras que Cunningham la llama "equivalencia lógica".) La equivalencia se simboliza con ⇔ y es un símbolo de metalenguaje, mientras que un bicondicional se simboliza con ↔ y es un conectivo lógico en el lenguaje objeto . En cualquier caso, una equivalencia o bicondicional es verdadera si, y sólo si, a las fórmulas conectadas por ella se les asigna el mismo valor semántico en cada interpretación. Otros autores a menudo no hacen esta distinción y pueden usar la palabra "equivalencia", ^[11] y/o el símbolo ⇔, ^[74] para denotar el conectivo bicondicional de su lenguaje objeto. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Verdad semántica, validez, consecuencia.

Dados y como fórmulas (u oraciones) de un idioma , y ​​como interpretación (o caso) ^[i] de , entonces se aplican las siguientes definiciones: ^{[65] [63]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Verdad en un caso: ^[30] Una oración de es verdadera bajo una interpretación si asigna el valor de verdad T a . ^{[63] [65]} Si es cierto en , entonces se llama modelo de . ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$
• Falsedad en un caso: ^[30] es falso según una interpretación si, y sólo si, es verdadero según . ^{[65] [75] [30]} Ésta es la definición de "verdad de negación" de falsedad en un caso. ^[30] La falsedad en un caso también puede definirse mediante la definición de "complemento": es falsa según una interpretación si, y sólo si, no es verdadera según . ^{[63] [65]} En lógica clásica , estas definiciones son equivalentes, pero en lógica no clásica , no lo son. ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• Consecuencia semántica: Una oración de es una consecuencia semántica ( ) de una oración si no existe una interpretación según la cual es verdadera y no es verdadera. ^{[63] [65] [30]} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
• Fórmula válida (tautología): Una oración de es lógicamente válida ( ), ^[j] o una tautología , ^{[76] [77] [48]} si es verdadera bajo cada interpretación, ^{[63] [65]} o verdadera en todos los casos . ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \models \varphi }$
• Oración consistente: Una oración de es consistente si es verdadera bajo al menos una interpretación. Es inconsistente si no es consistente. ^{[63] [65]} Una fórmula inconsistente también se llama autocontradictoria , ^[1] y se dice que es una autocontradicción , ^[1] o simplemente una contradicción , ^{[78] [79] [80]} aunque este último nombre es a veces reservado específicamente para declaraciones de la forma . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (p\land \neg p)}$

Para interpretaciones (casos) de , a veces se dan estas definiciones: ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• Caso completo: un caso es completo si, y solo si, es verdadero en o es verdadero en , para cualquier en . ^{[30] [81]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Caso consistente: Un caso es consistente si, y solo si, no existe tal que ambos y sean verdaderos en . ^{[30] [82]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Para la lógica clásica , que supone que todos los casos son completos y consistentes, ^[30] se aplican los siguientes teoremas:

• Para cualquier interpretación dada, una fórmula dada es verdadera o falsa según ella. ^{[65] [75]}
• Ninguna fórmula es a la vez verdadera y falsa bajo la misma interpretación. ^{[65] [75]}
• ${\displaystyle \varphi }$es verdadero bajo si, y sólo si, es falso bajo ; ^{[65] [75]} es verdadero bajo si, y sólo si, no es verdadero bajo . ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• Si y son ambos verdaderos bajo , entonces son verdaderos bajo . ^{[65] [75]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• Si y , entonces . ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle \models \varphi }$ ${\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}$ ${\displaystyle \models \psi }$
• ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$es verdadero bajo si, y sólo si, no es verdadero bajo , o es verdadero bajo . ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$
• ${\displaystyle \varphi \models \psi }$si, y sólo si, es lógicamente válido , es decir, si, y sólo si ,. ^{[65] [75]} ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$ ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}$

Sistemas de prueba

Los sistemas de prueba en lógica proposicional se pueden clasificar ampliamente en sistemas de prueba semántica y sistemas de prueba sintáctica , ^{[83] [84] [85]} según el tipo de consecuencia lógica en la que se basan: los sistemas de prueba semántica se basan en la consecuencia semántica ( ), ^{[ 86]} mientras que los sistemas de prueba sintáctica se basan en consecuencias sintácticas ( ). ^[87] La ​​consecuencia semántica se ocupa de los valores de verdad de las proposiciones en todas las interpretaciones posibles, mientras que la consecuencia sintáctica se refiere a la derivación de conclusiones a partir de premisas basadas en reglas y axiomas dentro de un sistema formal. ^[88] Esta sección ofrece una descripción general muy breve de los tipos de sistemas de prueba, con anclajes a las secciones relevantes de este artículo sobre cada uno, así como a los artículos separados de Wikipedia sobre cada uno. ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

Sistemas de prueba semántica

Ejemplo de tabla de verdad

Una representación gráfica de un cuadro proposicional parcialmente construido.

Los sistemas de prueba semántica se basan en el concepto de consecuencia semántica, simbolizada como , que indica que si es cierto, entonces también debe serlo en todas las interpretaciones posibles. ^[88] ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

tablas de verdad

Una tabla de verdad es un método de prueba semántica que se utiliza para determinar el valor de verdad de una expresión lógica proposicional en todos los escenarios posibles. ^[89] Al enumerar exhaustivamente los valores de verdad de sus átomos constituyentes, una tabla de verdad puede mostrar si una proposición es verdadera, falsa, tautológica o contradictoria. ^[90] Ver § Prueba semántica mediante tablas de verdad.

Cuadros semánticos

Un cuadro semántico es otra técnica de prueba semántica que explora sistemáticamente la verdad de una proposición. ^[91] Construye un árbol donde cada rama representa una posible interpretación de las proposiciones involucradas. ^[92] Si cada rama conduce a una contradicción, la proposición original se considera una contradicción y su negación se considera una tautología . ^[35] Ver § Prueba semántica mediante cuadros.

Sistemas de prueba sintáctica

Reglas para el cálculo del secuente proposicional LK, en notación Gentzen

Los sistemas de prueba sintáctica, por el contrario, se centran en la manipulación formal de símbolos según reglas específicas. La noción de consecuencia sintáctica significa que puede derivarse del uso de las reglas del sistema formal. ^[88] ${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Sistemas axiomáticos

Un sistema axiomático es un conjunto de axiomas o supuestos de los cuales se derivan lógicamente otros enunciados (teoremas). ^[93] En lógica proposicional, los sistemas axiomáticos definen un conjunto básico de proposiciones consideradas evidentemente verdaderas, y los teoremas se prueban aplicando reglas de deducción a estos axiomas. ^[94] Ver § Prueba sintáctica mediante axiomas.

deducción natural

La deducción natural es un método sintáctico de prueba que enfatiza la derivación de conclusiones a partir de premisas mediante el uso de reglas intuitivas que reflejan el razonamiento ordinario. ^[95] Cada regla refleja un conectivo lógico particular y muestra cómo se puede introducir o eliminar. ^[95] Ver § Prueba sintáctica mediante deducción natural.

Cálculo secuencial

El cálculo secuencial es un sistema formal que representa las deducciones lógicas como secuencias o "secuencias" de fórmulas. ^[96] Desarrollado por Gerhard Gentzen , este enfoque se centra en las propiedades estructurales de las deducciones lógicas y proporciona un marco poderoso para probar declaraciones dentro de la lógica proposicional. ^{[96] [97]}

Prueba semántica mediante tablas de verdad.

Aprovechando el concepto semántico de validez (verdad en cada interpretación), es posible probar la validez de una fórmula utilizando una tabla de verdad , que proporciona todas las interpretaciones posibles (asignación de valores de verdad a variables) de una fórmula. ^{[90] [46] [33]} Si, y sólo si, todas las líneas de una tabla de verdad resultan verdaderas, la fórmula es semánticamente válida (verdadera en toda interpretación). ^{[90] [46]} Además, si (y sólo si) es válido, entonces es inconsistente. ^{[78] [79] [80]} ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, esta tabla muestra que " p → (q ∨ r → (r → ¬p)) " no es válido: ^[46]

El cálculo de la última columna de la tercera línea se puede visualizar de la siguiente manera: ^[46]

Además, utilizando el teorema de que si, y sólo si, es válido, ^{[65] [75]} podemos utilizar una tabla de verdad para demostrar que una fórmula es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas: si, y sólo si, podemos produzca una tabla de verdad que resulte verdadera para la fórmula (es decir, si ). ^{[98] [99]} ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$ ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }$ ${\displaystyle \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}$ ${\displaystyle \models \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}$

Prueba semántica mediante cuadros

Dado que las tablas de verdad tienen 2 ⁿ líneas para n variables, pueden ser excesivamente largas para valores grandes de n. ^[35] Los cuadros analíticos son un método de prueba semántica más eficiente, pero no obstante mecánico, ^[66] ; aprovechan el hecho de que "no aprendemos nada acerca de la validez de la inferencia al examinar las distribuciones de valores de verdad que hacen que las premisas sean falsas o la conclusión verdadera: las únicas distribuciones relevantes al considerar la validez deductiva son claramente aquellas que hacen que las conclusiones sean falsas o verdaderas". premisas verdaderas o la conclusión falsa." ^[35]

Los cuadros analíticos para la lógica proposicional están completamente especificados por las reglas que se establecen de forma esquemática a continuación. ^[48] ​​Estas reglas utilizan "fórmulas firmadas", donde una fórmula firmada es una expresión o , donde es una fórmula (sin firmar) del lenguaje . ^[48] ​​(Informalmente, se lee " es verdadero" y se lee " es falso".) ^[48] Su definición semántica formal es que "bajo cualquier interpretación, una fórmula con signo se llama verdadera si es verdadera y falsa si es verdadera". falso, mientras que una fórmula con signo se llama falso si es verdadero y verdadero si es falso". ^[48] ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}}$

En esta notación, la regla 2 significa que produce ambos , mientras que se ramifica en . La notación debe entenderse de manera análoga para las reglas 3 y 4. ^[48] A menudo, en los cuadros de lógica clásica , la notación de fórmula con signo se simplifica de modo que se escribe simplemente como , y como , lo que explica el nombre de la regla 1 como " Regla de Doble Negación ". ^{[35] [66]} ${\displaystyle T(X\land Y)}$ ${\displaystyle TX,TY}$ ${\displaystyle F(X\land Y)}$ ${\displaystyle FX,FY}$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F\varphi }$ ${\displaystyle \neg \varphi }$

Se construye un cuadro para un conjunto de fórmulas aplicando las reglas para producir más líneas y ramas de árboles hasta que se haya utilizado cada línea, produciendo un cuadro completo . En algunos casos, una rama puede llegar a contener ambos y para algunos , es decir, una contradicción. En ese caso, se dice que la sucursal cierra . ^[35] Si cada rama de un árbol se cierra, se dice que el árbol mismo se cierra. ^[35] En virtud de las reglas para la construcción de cuadros, un árbol cerrado es una prueba de que la fórmula original, o conjunto de fórmulas, utilizada para construirlo era en sí misma contradictoria y, por lo tanto, falsa. ^[35] Por el contrario, un cuadro también puede probar que una fórmula lógica es tautóloga : si una fórmula es tautóloga, su negación es una contradicción, por lo que un cuadro construido a partir de su negación se cerrará. ^[35] ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle FX}$ ${\displaystyle X}$

Para construir un cuadro para un argumento , primero se escribe el conjunto de fórmulas de premisa, con una fórmula en cada línea, firmada con (es decir, para cada una del conjunto); ^[66] y junto con esas fórmulas (el orden no es importante), también se escribe la conclusión, , firmada con (es decir, ). ^[66] Luego se produce un árbol de verdad (cuadro analítico) utilizando todas esas líneas de acuerdo con las reglas. ^[66] Un árbol cerrado será prueba de que el argumento era válido, en virtud de que si, y sólo si, es inconsistente (también escrito como ). ^[66] ${\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\psi }$ ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \{\varphi ,\sim \psi \}}$ ${\displaystyle \varphi ,\sim \psi \models }$

Lista de formas de argumentos clásicamente válidas

Usando métodos de verificación semántica, como tablas de verdad o cuadros semánticos, para verificar tautologías y consecuencias semánticas, se puede demostrar que, en lógica clásica, las siguientes formas de argumentos clásicos son semánticamente válidas, es decir, estas tautologías y consecuencias semánticas se mantienen. ^[33] Usamos ⟚ para denotar equivalencia de y , es decir, como abreviatura de ambos y ; ^[33] como ayuda para la lectura de los símbolos, se proporciona una descripción de cada fórmula. La descripción lee el símbolo ⊧ (llamado "doble torniquete") como "por lo tanto", que es una lectura común del mismo, ^{[33] [100]} aunque muchos autores prefieren leerlo como "implica", ^{[33] [101 ]} o como "modelos". ^[102] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi \models \psi }$ ${\displaystyle \psi \models \varphi }$

Prueba sintáctica mediante deducción natural

La deducción natural , dado que es un método de prueba sintáctica, se especifica proporcionando reglas de inferencia (también llamadas reglas de prueba ) ^[34] para un lenguaje con el conjunto típico de conectivos ; no se utilizan axiomas distintos de estas reglas. ^[105] Las reglas se tratan a continuación y más adelante se proporciona un ejemplo de prueba. ${\displaystyle \{-,\&,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}}$

Estilos de notación

Los diferentes autores varían hasta cierto punto en cuanto a las reglas de inferencia que dan, lo cual se observará. Sin embargo, lo más sorprendente para la apariencia de una prueba es la variación en los estilos de notación. La notación § Gentzen, que se cubrió anteriormente para un breve argumento, en realidad se puede apilar para producir grandes pruebas de deducción natural en forma de árbol ^{[39] [11]} ; no debe confundirse con "árboles de verdad", que es otro nombre para la notación analítica . cuadros . ^[66] También hay un estilo debido a Stanisław Jaśkowski , donde las fórmulas en la prueba están escritas dentro de varios cuadros anidados, ^[39] y hay una simplificación del estilo de Jaśkowski debido a Fredric Fitch ( notación de Fitch ), donde los cuadros están simplificado a simples líneas horizontales debajo de las introducciones de suposiciones, y líneas verticales a la izquierda de las líneas que están debajo de la suposición. ^[39] Por último, existe el único estilo de notación que realmente se utilizará en este artículo, que se debe a Patrick Suppes , ^[39] pero que fue muy popularizado por EJ Lemmon y Benson Mates . ^[106] Este método tiene la ventaja de que, gráficamente, es el menos intensivo de producir y mostrar, lo que lo convirtió en una elección natural para el editor que escribió esta parte del artículo, que no entendía los complejos comandos LaTeX que serían requerido para producir pruebas en los otros métodos.

Una prueba , entonces, presentada de acuerdo con el estilo de notación Suppes-Lemmon , ^[39] es una secuencia de líneas que contienen oraciones, ^[34] donde cada oración es una suposición o el resultado de aplicar una regla de prueba a anteriores. oraciones en la secuencia. ^[34] Cada línea de prueba se compone de una oración de prueba , junto con su anotación , su conjunto de supuestos y el número de línea actual . ^[34] El conjunto de supuestos enumera los supuestos de los que depende la oración de prueba dada, a los que se hace referencia mediante los números de línea. ^[34] La anotación especifica qué regla de prueba se aplicó y a qué líneas anteriores, para producir la oración actual. ^[34] Consulte el § Ejemplo de prueba de deducción natural.

Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia de deducción natural, debidas en última instancia a Gentzen , se detallan a continuación. ^[105] Hay diez reglas primitivas de prueba, que son la regla de suposición , más cuatro pares de reglas de introducción y eliminación para las conectivas binarias, y la regla de reductio ad adbsurdum . ^[34] El silogismo disyuntivo se puede utilizar como una alternativa más fácil a la ∨-eliminación adecuada, ^[34] y MTT y DN son reglas comúnmente dadas, ^[105] aunque no son primitivas. ^[34]

Ejemplo de prueba de deducción natural

La siguiente prueba ^[34] se deriva y utiliza únicamente MPP y RAA , lo que muestra que MTT no es una regla primitiva, ya que puede derivarse de esas otras dos reglas. ${\displaystyle -P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle -Q}$

Prueba sintáctica mediante axiomas

Es posible realizar pruebas axiomáticamente, lo que significa que ciertas tautologías se toman como evidentes y otras se deducen de ellas utilizando como regla de inferencia el modus ponens , así como una regla de sustitución , que permite reemplazar cualquier fórmula bien formada. con cualquier instancia de sustitución del mismo. ^[108] Alternativamente, se utilizan esquemas de axiomas en lugar de axiomas, y no se utiliza ninguna regla de sustitución. ^[108]

Esta sección brinda los axiomas de algunos sistemas axiomáticos históricamente notables para la lógica proposicional. Para obtener más ejemplos, así como teoremas metalógicos que son específicos de dichos sistemas axiomáticos (como su integridad y coherencia), consulte el artículo Sistema axiomático (lógica) .

fregeBegriffsschrift

Aunque la prueba axiomática se ha utilizado desde el famoso libro de texto griego antiguo , Los Elementos de geometría de Euclides , en lógica proposicional se remonta al Begriffsschrift de Gottlob Frege de 1879 . ^{[33] [108]} El sistema de Frege utilizaba sólo implicación y negación como conectivos, ^[2] y tenía seis axiomas, ^[108] que eran estos: ^{[109] [110]}

• Proposición 1: ${\displaystyle a\supset (b\supset a)}$
• Proposición 2: ${\displaystyle (c\supset (b\supset a))\supset ((c\supset b)\supset (c\supset a))}$
• Proposición 8: ${\displaystyle (d\supset (b\supset a))\supset (b\supset (d\supset a))}$
• Proposición 28: ${\displaystyle (b\supset a)\supset (\neg a\supset \neg b)}$
• Proposición 31: ${\displaystyle \neg \neg a\supset a}$
• Proposición 41: ${\displaystyle a\supset \neg \neg a}$

Frege los utilizó junto con el modus ponens y una regla de sustitución (que se utilizó pero nunca se estableció con precisión) para producir una axiomatización completa y consistente de la lógica proposicional funcional de verdad clásica. ^[109]

P de Łukasiewicz2

Jan Łukasiewicz demostró que, en el sistema de Frege, "el tercer axioma es superfluo ya que puede derivarse de los dos axiomas anteriores, y que los tres últimos axiomas pueden sustituirse por una sola frase ". ^[110] Lo cual, sacado de la notación polaca de Łukasiewicz a la notación moderna, significa . Por lo tanto, a Łukasiewicz se le atribuye ^[108] este sistema de tres axiomas: ${\displaystyle CCNpNqCpq}$ ${\displaystyle (\neg p\rightarrow \neg q)\rightarrow (p\rightarrow q)}$

• ${\displaystyle p\to (q\to p)}$
• ${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$
• ${\displaystyle (\neg p\to \neg q)\to (q\to p)}$

Al igual que el sistema de Frege, este sistema utiliza una regla de sustitución y utiliza el modus ponens como regla de inferencia. ^[108] Alonzo Church dio exactamente el mismo sistema (con una regla de sustitución explícita) , ^[111] quien se refirió a él como el sistema P _2, ^{[111] [112]} y ayudó a popularizarlo. ^[112]

Forma esquemática de P₂

Se puede evitar utilizar la regla de sustitución dando los axiomas en forma esquemática, usándolos para generar un conjunto infinito de axiomas. Por lo tanto, usando letras griegas para representar esquemas (variables metalógicas que pueden representar cualquier fórmula bien formada ), los axiomas se dan como: ^{[33] [112]}

• ${\displaystyle \varphi \to (\psi \to \varphi )}$
• ${\displaystyle (\varphi \to (\psi \to \chi ))\to ((\varphi \to \psi )\to (\varphi \to \chi ))}$
• ${\displaystyle (\neg \varphi \to \neg \psi )\to (\psi \to \varphi )}$

La versión esquemática de P ₂ se atribuye a John von Neumann , ^[108] y se utiliza en la base de datos de prueba formal "set.mm" de Metamath . ^[112] También ha sido atribuido a Hilbert , ^[113] y nombrado en este contexto. ^[113] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ejemplo de prueba en P₂

Como ejemplo, a continuación se proporciona una prueba de en P ₂ . Primero, los axiomas reciben nombres: ${\displaystyle A\to A}$

(A1) ${\displaystyle (p\to (q\to p))}$

(A2) ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(A3) ${\displaystyle ((\neg p\to \neg q)\to (q\to p))}$

Y la prueba es la siguiente:

1. ${\displaystyle A\to ((B\to A)\to A)}$       (instancia de (A1))
2. ${\displaystyle (A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))}$       (instancia de (A2))
3. ${\displaystyle (A\to (B\to A))\to (A\to A)}$       (de (1) y (2) por modus ponens )
4. ${\displaystyle A\to (B\to A)}$       (instancia de (A1))
5. ${\displaystyle A\to A}$       (de (4) y (3) por modus ponens)

Solucionadores

Una diferencia notable entre el cálculo proposicional y el cálculo de predicados es que la satisfacibilidad de una fórmula proposicional es decidible . ^[114] Decidir la satisfacibilidad de fórmulas lógicas proposicionales es un problema NP-completo . Sin embargo, existen métodos prácticos (por ejemplo, algoritmo DPLL , 1962; algoritmo Chaff , 2001) que son muy rápidos para muchos casos útiles. Trabajos recientes han ampliado los algoritmos de resolución SAT para trabajar con proposiciones que contienen expresiones aritméticas ; Estos son los solucionadores SMT .

Ver también

• Portal de filosofía

Niveles lógicos superiores

• Lógica de primer orden
• Lógica proposicional de segundo orden
• Lógica de segundo orden
• Lógica de orden superior

Temas relacionados

• Álgebra booleana (lógica)
• Álgebra booleana (estructura)
• Temas de álgebra booleana
• dominio booleano
• función booleana
• Función con valor booleano
• Lógica categórica
• Lógica combinacional
• Lógica combinatoria
• grafico conceptual
• Silogismo disyuntivo
• Gráfico entitativo
• Lógica ecuacional
• Gráfico existencial
• El cálculo proposicional de Frege
• Cálculo proposicional implicacional
• Cálculo proposicional intuicionista
• Jean Buridan
• Leyes de forma
• Lista de símbolos lógicos
• gráfico lógico
• NOR lógico
• Valor lógico
• Lógica matemática
• Operación (matemáticas)
• Pablo de Venecia
• ley de peirce
• Pedro de España (autor)
• Fórmula proposicional
• diferencia simétrica
• Tautología (regla de inferencia)
• función de verdad
• Mesa de la verdad
• Walter Burley
• Guillermo de Sherwood

Notas

1. Muchas fuentes escriben esto con un artículo definido, como cálculo proposicional, mientras que otras simplemente lo llaman cálculo proposicional sin artículo.
2. El "o ambos" deja claro ^[30] que es una disyunción lógica , no una o exclusiva , que es más común en inglés.
3. El conjunto de premisas puede ser el conjunto vacío ; ^{[33] [34]} un argumento de un conjunto vacío de premisas es válido si, y sólo si, la conclusión es una tautología . ^{[33] [34]}
4. El torniquete (para consecuencias sintácticas) tiene un nivel más alto que la coma (para combinación de premisas), que es de un nivel más alto que la flecha (para implicaciones materiales), por lo que no se necesitan paréntesis para interpretar esta fórmula. ^[40]
5. Aquí se proporciona una sintaxis muy general y abstracta, siguiendo la notación en el SEP, ^[2] pero incluyendo la tercera definición, que comúnmente se da explícitamente en otras fuentes, como Gillon, ^[10] Bostock, ^[33] Allen. & Hand, ^[34] y muchos otros. Como se señaló en otra parte del artículo, los idiomas componen de diversas formas su conjunto de variables proposicionales atómicas a partir de letras mayúsculas o minúsculas (a menudo centrándose en P/p, Q/q y R/r), con o sin subíndices numéricos; y en su conjunto de conectivos, pueden incluir el conjunto completo de cinco conectivos típicos, o cualquiera de sus subconjuntos funcionalmente completos. (Y, por supuesto, también pueden utilizar cualquiera de las variantes notacionales de estos conectivos). ${\displaystyle \{\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}}$
6. Tenga en cuenta que la frase "principio de composición" se ha referido a otras cosas en otros contextos, e incluso en el contexto de la lógica, ya que Bertrand Russell la usó para referirse al principio de que "una proposición que implica cada una de dos proposiciones las implica a ambas". ". ^[49]
7. Algunos autores utilizan el nombre "interpretación" y otros autores utilizan el nombre "caso". Este artículo será indiferente y útil, ya que está editado en colaboración y no hay consenso sobre qué terminología adoptar.
8. Un conjunto de conectivos funcionalmente completo ^[2] también se llama simplemente funcionalmente completo , o adecuado para la lógica funcional-verdad , ^[35] o expresivamente adecuado , ^[72] o simplemente adecuado . ^{[35] [72]}
9. Algunas de estas definiciones usan la palabra "interpretación" y hablan de oraciones/fórmulas verdaderas o falsas "debajo", y algunas usarán la palabra "caso" y hablan de oraciones/fórmulas verdaderas o falsas "en" él. Las fuentes fiables publicadas ( WP:RS ) han utilizado ambos tipos de convenciones terminológicas, aunque normalmente un autor determinado utilizará sólo una de ellas. Dado que este artículo se editó en colaboración y no hay consenso sobre qué convención utilizar, estas variaciones en la terminología se han dejado en pie.
10. Convencionalmente , sin nada a la izquierda del torniquete, se utiliza para simbolizar una tautología. Puede interpretarse como que es una consecuencia semántica del conjunto vacío de fórmulas, es decir, pero con los corchetes vacíos omitidos por simplicidad; ^[33] lo que es lo mismo que decir que es una tautología, es decir, que no existe ninguna interpretación bajo la cual sea falsa. ^[33] ${\displaystyle \models \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{\}\models \varphi }$
11. Para simplificar el enunciado de la regla, la palabra "negación" aquí se usa de esta manera: la negación de una fórmula que no es una negación es , mientras que una negación , tiene dos negaciones , a saber, y . ^[34] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle --\varphi }$

Referencias

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Obras relacionadas

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enlaces externos

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• Cálculo de predicados formales, contiene un desarrollo formal sistemático con prueba axiomática.
• forall x: una introducción a la lógica formal , de PD Magnus, cubre la semántica formal y la teoría de la prueba para la lógica oracional.
• Capítulo 2 / Lógica proposicional de la lógica en acción
• Probador de cálculo secuencial proposicional en el Proyecto Nayuki. ( nota : la implicación se puede ingresar en el formulario !X|Y, y un secuencial puede ser una fórmula única con el prefijo >y sin comas)
• Lógica proposicional: una gramática generativa
• Una calculadora proposicional que ayuda a comprender expresiones simples