Invariante de Gromov-Witten

En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y geometría algebraica , los invariantes de Gromov–Witten ( GW ) son números racionales que, en ciertas situaciones, cuentan curvas pseudoholomórficas que cumplen condiciones prescritas en una variedad simpléctica dada . Los invariantes de GW pueden empaquetarse como una clase de homología o cohomología en un espacio apropiado, o como el producto de copa deformado de la cohomología cuántica . Estos invariantes se han utilizado para distinguir variedades simplécticas que antes eran indistinguibles. También desempeñan un papel crucial en la teoría de cuerdas de tipo IIA cerrada . Reciben su nombre en honor a Mikhail Gromov y Edward Witten .

La definición matemática rigurosa de los invariantes de Gromov-Witten es extensa y difícil, por lo que se trata por separado en el artículo sobre el mapa estable . Este artículo intenta dar una explicación más intuitiva de lo que significan los invariantes, cómo se calculan y por qué son importantes.

Definición

Considere lo siguiente:

• X : una variedad simpléctica cerrada de dimensión 2 k ,
• A : una clase de homología bidimensional en X ,
• g : un entero no negativo,
• n : un entero no negativo.

Ahora definimos los invariantes de Gromov–Witten asociados a la 4-tupla: ( X , A , g , n ). Sea el espacio de módulos de Deligne–Mumford de curvas de género g con n puntos marcados y denotemos el espacio de módulos de aplicaciones estables en X de clase A , para alguna estructura casi compleja elegida J en X compatible con su forma simpléctica. Los elementos de son de la forma: ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)}$,

donde C es una curva (no necesariamente estable) con n puntos marcados x ₁ , ..., x _n y f  : C → X es pseudoholomorfa. El espacio de módulos tiene dimensión real

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

Dejar

${\displaystyle \mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

denota la estabilización de la curva. Sea

${\displaystyle Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},}$

que tiene dimensión real . Hay un mapa de evaluación. ${\displaystyle 6g-6+2(k+1)n}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}$

El mapa de evaluación envía la clase fundamental de a una clase de homología racional de dimensión d en Y , denotada ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

En cierto sentido, esta clase de homología es el invariante de Gromov-Witten de X para los datos g , n y A . Es un invariante de la clase de isotopía simpléctica de la variedad simpléctica X .

Para interpretar geométricamente el invariante de Gromov-Witten, sea β una clase de homología en y clases de homología en X , tales que la suma de las codimensiones de es igual a d . Estas inducen clases de homología en Y por la fórmula de Künneth . Sea ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

donde denota el producto de intersección en la homología racional de Y . Este es un número racional, el invariante de Gromov–Witten para las clases dadas. Este número da un recuento "virtual" del número de curvas pseudoholomórficas (en la clase A , de género g , con dominio en la parte β del espacio de Deligne–Mumford) cuyos n puntos marcados se asignan a ciclos que representan el . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

En términos simples, un invariante GW cuenta cuántas curvas hay que intersecan n subvariedades elegidas de X. Sin embargo, debido a la naturaleza "virtual" del conteo, no necesita ser un número natural, como uno podría esperar que fuera un conteo. Porque el espacio de las aplicaciones estables es un orbifold , cuyos puntos de isotropía pueden aportar valores no enteros al invariante.

Existen numerosas variaciones de esta construcción, en las que se utiliza la cohomología en lugar de la homología, la integración reemplaza la intersección, las clases de Chern extraídas del espacio de Deligne-Mumford también se integran, etc.

Técnicas computacionales

Los invariantes de Gromov-Witten son generalmente difíciles de calcular. Si bien se definen para cualquier estructura genérica casi compleja J , para la cual la linealización D del operador es sobreyectiva , en realidad deben calcularse con respecto a una J específica elegida . Es más conveniente elegir J con propiedades especiales, como simetrías no genéricas o integrabilidad. De hecho, los cálculos a menudo se llevan a cabo en variedades de Kähler utilizando las técnicas de la geometría algebraica. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$

Sin embargo, una J especial puede inducir una D no sobreyectiva y, por lo tanto, un espacio de módulos de curvas pseudoholomórficas que sea mayor que lo esperado. En términos generales, se corrige este efecto formando a partir del conúcleo de D un fibrado vectorial , llamado fibrado de obstrucción , y luego realizando el invariante GW como la integral de la clase de Euler del fibrado de obstrucción. Hacer que esta idea sea precisa requiere argumentos técnicos significativos que utilicen estructuras de Kuranishi .

La principal técnica computacional es la localización . Esto se aplica cuando X es tórico , lo que significa que actúa sobre él un toro complejo, o al menos localmente tórico. Entonces se puede utilizar el teorema de punto fijo de Atiyah-Bott , de Michael Atiyah y Raoul Bott , para reducir, o localizar, el cálculo de un invariante de GW a una integración sobre el lugar geométrico de punto fijo de la acción.

Otro enfoque consiste en emplear operaciones simplécticas para relacionar X con uno o más espacios cuyos invariantes de GW se calculan más fácilmente. Por supuesto, primero hay que entender cómo se comportan los invariantes bajo las operaciones. Para tales aplicaciones, a menudo se utilizan los invariantes de GW relativos más elaborados , que cuentan curvas con condiciones de tangencia prescritas a lo largo de una subvariedad simpléctica de X de codimensión real dos.

Invariantes relacionados y otras construcciones

Los invariantes de GW están estrechamente relacionados con varios otros conceptos de la geometría, incluidos los invariantes de Donaldson y los invariantes de Seiberg-Witten en la categoría simpléctica, y la teoría de Donaldson-Thomas en la categoría algebraica. Para las variedades de cuatro simplécticas compactas, Clifford Taubes demostró que una variante de los invariantes de GW (véase el invariante de Gromov de Taubes ) es equivalente a los invariantes de Seiberg-Witten. Para las variedades de tres algebraicas, se conjetura que contienen la misma información que los invariantes de Donaldson-Thomas de valor entero . Las consideraciones físicas también dan lugar a los invariantes de Gopakumar-Vafa , que están destinados a dar un recuento de enteros subyacente a la teoría típicamente racional de Gromov-Witten. Los invariantes de Gopakumar-Vafa no tienen actualmente una definición matemática rigurosa, y este es uno de los principales problemas en el tema.

Los invariantes de Gromov-Witten de variedades proyectivas suaves pueden definirse completamente dentro de la geometría algebraica. La geometría enumerativa clásica de curvas planas y de curvas racionales en espacios homogéneos se capturan mediante invariantes de Gromov-Witten. Sin embargo, la principal ventaja que tienen los invariantes de Gromov-Witten sobre los recuentos enumerativos clásicos es que son invariantes bajo deformaciones de la estructura compleja del objetivo. Los invariantes de Gromov-Witten también proporcionan deformaciones de la estructura del producto en el anillo de cohomología de una variedad simpléctica o proyectiva; pueden organizarse para construir el anillo de cohomología cuántica de la variedad X , que es una deformación de la cohomología ordinaria. La asociatividad del producto deformado es esencialmente una consecuencia de la naturaleza autosimilar del espacio de módulos de las aplicaciones estables que se utilizan para definir los invariantes.

Se sabe que el anillo de cohomología cuántica es isomorfo a la homología simpléctica de Floer con su producto de par de pantalones.

Aplicación en física

Los invariantes de GW son de interés en la teoría de cuerdas, una rama de la física que intenta unificar la relatividad general y la mecánica cuántica . En esta teoría, todo en el universo, comenzando con las partículas elementales , está hecho de cuerdas diminutas . A medida que una cuerda viaja a través del espacio-tiempo, traza una superficie, llamada la lámina del mundo de la cuerda. Desafortunadamente, el espacio de módulos de tales superficies parametrizadas, al menos a priori , es de dimensión infinita; no se conoce ninguna medida apropiada en este espacio y, por lo tanto, las integrales de trayectoria de la teoría carecen de una definición rigurosa.

La situación mejora en la variante conocida como modelo A cerrado . Aquí hay seis dimensiones del espacio-tiempo, que constituyen una variedad simpléctica, y resulta que las capas del mundo están necesariamente parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, cuyos espacios de módulos son sólo de dimensión finita. Los invariantes GW, como integrales sobre estos espacios de módulos, son entonces integrales de trayectoria de la teoría. En particular, la energía libre del modelo A en el género g es la función generadora de los invariantes GW del género g .

Véase también

• Complejo cotangente – para la teoría de la deformación
• Cálculo de Schubert

Referencias

• McDuff, Dusa y Salamon, Dietmar (2004). Curvas J-holomórficas y topología simpléctica . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3485-1.Una descripción general con un toque analítico de los invariantes de Gromov-Witten y la cohomología cuántica para variedades simplécticas, muy completa desde el punto de vista técnico
• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar y Schwarz, Matthias (1996). "Teoría simpléctica de Floer-Donaldson y cohomología cuántica". En Thomas, CB (ed.). Geometría de contacto y simpléctica . Cambridge University Press . págs. 171–200. ISBN. 0-521-57086-7.

Lectura adicional

• Espacios de módulos de mapas estables de género uno, clases virtuales y un ejercicio de teoría de intersecciones - Andrea Tirelli
• Kock, Joachim; Vainsencher, Israel (2007). Una invitación a la cohomología cuántica: la fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7.Una buena introducción con historia y ejercicios a la noción formal de espacio de módulos , trata extensamente el caso de espacios proyectivos utilizando los conceptos básicos en el lenguaje de esquemas .
• Vakil, Ravi (2006). "El espacio de módulos de curvas y la teoría de Gromov-Witten". Invariantes enumerativos en geometría algebraica y teoría de cuerdas . Vol. 1947. Springer. págs. 143–198. arXiv : math/0602347 . Bibcode :2006math......2347V. doi :10.1007/978-3-540-79814-9_4.
• Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica

Artículos de investigación

• Teoría de esquemas de Gromov-Witten en características mixtas