Gerhard Huisken (nacido el 20 de mayo de 1958) es un matemático alemán cuya investigación se centra en la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . Es conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría del flujo de curvatura media , incluida la fórmula de monotonía de Huisken , que lleva su nombre. Con Tom Ilmanen , demostró una versión de la desigualdad de Penrose de Riemann , que es un caso especial de la conjetura de Penrose más general en la relatividad general .
Tras finalizar el bachillerato en 1977, Huisken comenzó a estudiar matemáticas en la Universidad de Heidelberg . En 1982, un año después de graduarse, completó su doctorado en la misma universidad bajo la dirección de Claus Gerhardt. El tema de su tesis fueron las ecuaciones diferenciales parciales no lineales ( Reguläre Kapillarflächen in negativen Gravitationsfeldern ).
De 1983 a 1984, Huisken fue investigador en el Centro de Análisis Matemático de la Universidad Nacional Australiana (ANU) en Canberra. Allí, se dedicó a la geometría diferencial , en particular a problemas de flujos de curvatura media y aplicaciones en relatividad general . En 1985, regresó a la Universidad de Heidelberg, obteniendo su habilitación en 1986. Después de un tiempo como profesor visitante en la Universidad de California, San Diego , regresó a la ANU de 1986 a 1992, primero como profesor, luego como lector. En 1991, fue profesor visitante en la Universidad de Stanford . De 1992 a 2002, Huisken fue profesor titular en la Universidad de Tübingen , desempeñándose como decano de la facultad de matemáticas de 1996 a 1998. De 1999 a 2000, fue profesor visitante en la Universidad de Princeton .
En 2002, Huisken fue nombrado director del Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Instituto Albert Einstein) en Potsdam y, al mismo tiempo, profesor honorario de la Universidad Libre de Berlín . En abril de 2013, asumió el cargo de director del Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach , junto con una cátedra en la Universidad de Tubinga. Sigue siendo miembro científico externo del Instituto Max Planck de Física Gravitacional.
Los estudiantes de doctorado de Huisken incluyen a Ben Andrews y Simon Brendle , entre otros veinticinco.
El trabajo de Huisken trata sobre ecuaciones diferenciales parciales , geometría diferencial y sus aplicaciones en física . Numerosos fenómenos en física matemática y geometría están relacionados con superficies y subvariedades . Un tema dominante del trabajo de Huisken ha sido el estudio de la deformación de tales superficies, en situaciones donde las reglas de deformación están determinadas por la geometría de esas superficies mismas. Tales procesos están gobernados por ecuaciones diferenciales parciales.
Las contribuciones de Huisken al flujo de curvatura media son particularmente fundamentales. A través de su trabajo, se entiende en gran medida el flujo de curvatura media de hipersuperficies en varios entornos convexos . Su descubrimiento de la fórmula de monotonía de Huisken , válida para flujos de curvatura media generales, es una herramienta particularmente importante.
En el estudio matemático de la relatividad general , Huisken y Tom Ilmanen ( ETH Zurich ) lograron demostrar un caso especial significativo de la desigualdad de Penrose de Riemann . Su método de demostración también hizo una contribución decisiva al flujo de curvatura media inversa . Hubert Bray demostró posteriormente una versión más general de su resultado con métodos alternativos. La versión general de la conjetura, que trata sobre los agujeros negros o los horizontes aparentes en la geometría lorentziana , sigue siendo un problema abierto (a fecha de 2020).
Huisken fue uno de los primeros autores en considerar el trabajo de Richard Hamilton sobre el flujo de Ricci en dimensiones superiores. [1] En 1985, Huisken publicó una versión del análisis de Hamilton en dimensiones arbitrarias, en la que la suposición de Hamilton de la positividad de la curvatura de Ricci se reemplaza por una proximidad cuantitativa a la curvatura constante . [H85] Esto se mide en términos de la descomposición de Ricci . Casi todas las estimaciones principales de Hamilton, en particular la estimación del gradiente para la curvatura escalar y la estimación del pinzamiento de valores propios , fueron puestas por Huisken en el contexto de dimensiones generales.
Varios años después, la validez de los teoremas de convergencia de Huisken se extendió a condiciones de curvatura más amplias a través de nuevas ideas algebraicas de Christoph Böhm y Burkhard Wilking. En una importante aplicación del trabajo de Böhm y Wilking, Brendle y Richard Schoen establecieron un nuevo teorema de convergencia para el flujo de Ricci, que contiene el teorema de la esfera diferenciable, conjeturado desde hace tiempo , como un caso especial.
Huisken es ampliamente conocido por su trabajo fundacional sobre el flujo de curvatura media de hipersuperficies . En 1984, adaptó el trabajo seminal de Hamilton sobre el flujo de Ricci al contexto del flujo de curvatura media, demostrando que una normalización del flujo que preserva el área de superficie deformará cualquier hipersuperficie convexa cerrada y suave del espacio euclidiano en una esfera redonda. [H84] La principal diferencia entre su trabajo y el de Hamilton es que, a diferencia del trabajo de Hamilton, la ecuación relevante en la prueba de la "estimación de pinzamiento" no es susceptible al principio de máximo . En cambio, Huisken hizo uso de métodos integrales iterativos, siguiendo el trabajo anterior de los analistas Ennio De Giorgi y Guido Stampacchia . En analogía con el resultado de Hamilton, los resultados de Huisken pueden verse como una prueba de que cualquier hipersuperficie convexa cerrada y suave del espacio euclidiano es difeomórfica a una esfera, y es el límite de una región que es difeomórfica a una bola. Sin embargo, ambos resultados son elementales a través del análisis del mapa de Gauss .
Más tarde, Huisken extendió los cálculos en su prueba para considerar hipersuperficies en variedades riemannianas generales . [H86] Su resultado dice que si la hipersuperficie es suficientemente convexa en relación con la geometría de la variedad riemanniana, entonces el flujo de curvatura media la contraerá hasta un punto, y que una normalización del área de superficie en coordenadas normales geodésicas dará una deformación suave a una esfera en el espacio euclidiano (como se representa por las coordenadas). Esto muestra que tales hipersuperficies son difeomórficas a la esfera, y que son el límite de una región en la variedad riemanniana que es difeomórfica a una pelota. En esta generalidad, no hay una prueba simple usando el mapa de Gauss.
En 1987, Huisken adaptó sus métodos para considerar un flujo alternativo impulsado por "curvatura media" para hipersuperficies cerradas en el espacio euclidiano, en el que el volumen encerrado por la superficie se mantiene constante; el resultado es directamente análogo. [H87] Más tarde, en colaboración con Shing-Tung Yau , este trabajo se extendió a configuraciones riemannianas. [HY96] El resultado de existencia y convergencia correspondiente de Huisken-Yau ilustra un fenómeno geométrico de variedades con masa ADM positiva , es decir, que están foliadas por superficies de curvatura media constante . Con un resultado de unicidad correspondiente, interpretaron esta foliación como una medida del centro de masa en la teoría de la relatividad general .
Siguiendo el trabajo de Yoshikazu Giga y Robert Kohn que hizo un uso extensivo de la energía de Dirichlet ponderada por exponenciales, Huisken demostró en 1990 una identidad integral, conocida como fórmula de monotonía de Huisken , que muestra que, bajo el flujo de curvatura media, la integral del núcleo de calor euclidiano "hacia atrás" sobre la hipersuperficie en evolución siempre es no creciente. [2] [3] [H90] Más tarde extendió su fórmula para permitir la codimensión general y soluciones positivas generales de la ecuación de calor "hacia atrás" ; la monotonía en esta generalidad utiliza crucialmente la estimación de la matriz Li-Yau de Richard Hamilton . [H93] [4] Hamilton también dio una extensión a la configuración de Riemann. [5] Las ideas de Huisken y Hamilton fueron adaptadas más tarde por Grigori Perelman a la configuración de la ecuación de calor "hacia atrás" para formas de volumen a lo largo del flujo de Ricci . [6]
Huisken y Klaus Ecker hicieron uso repetido del resultado de monotonía para demostrar que, para una cierta clase de hipersuperficies gráficas no compactas en el espacio euclidiano, el flujo de curvatura media existe para todo tiempo positivo y deforma cualquier superficie en la clase a una solución autoexpandible del flujo de curvatura media. [EH89] Tal solución se mueve solo por reescalamientos constantes de una única hipersuperficie. Haciendo uso de técnicas de principio máximo , también pudieron obtener estimaciones derivadas puramente locales, aproximadamente paralelas a las obtenidas anteriormente por Wan-Xiong Shi para el flujo de Ricci. [7] [EH91]
Dada una singularidad de tiempo finito del flujo de curvatura media, existen varias formas de realizar reescalamientos microscópicos para analizar la geometría local en regiones cercanas a puntos de gran curvatura . Basándose en su fórmula de monotonía, Huisken demostró que muchas de estas regiones, específicamente aquellas conocidas como singularidades de tipo I , se modelan de manera precisa mediante soluciones autoencogibles del flujo de curvatura media. [H90]
Actualmente existe una comprensión razonablemente completa del proceso de reescalado en el contexto de flujos de curvatura media que solo involucran hipersuperficies cuya curvatura media es estrictamente positiva. Siguiendo el trabajo provisional de Huisken, Tobias Colding y William Minicozzi han demostrado que (con algunas condiciones técnicas) las únicas soluciones autoencogibles de flujo de curvatura media que tienen una curvatura media no negativa son los cilindros redondos, lo que proporciona una imagen local completa de las singularidades de tipo I en el contexto "media-convexa". [H90] [H93] [8] En el caso de otras regiones singulares, conocidas como singularidades de tipo II , Richard Hamilton desarrolló métodos de reescalado en el contexto del flujo de Ricci que se pueden trasplantar al flujo de curvatura media. [9] Al modificar los métodos integrales que desarrolló en 1984, Huisken y Carlo Sinestrari llevaron a cabo un elaborado argumento inductivo sobre los polinomios simétricos elementales de la segunda forma fundamental para mostrar que cualquier modelo de singularidad resultante de tales reescalamientos debe ser un flujo de curvatura media que se mueve trasladando una única hipersuperficie convexa en alguna dirección. [HSS99a] [HS99b] Este pasaje de convexidad media a convexidad completa es comparable con la estimación de Hamilton-Ivey mucho más fácil para el flujo de Ricci, que dice que cualquier modelo de singularidad de un flujo de Ricci en una 3-variedad cerrada debe tener una curvatura seccional no negativa .
En la década de 1970, los físicos Robert Geroch , Pong-Soo Jang y Robert Wald desarrollaron ideas que conectan el comportamiento asintótico del flujo de curvatura media inversa con la validez de la conjetura de Penrose, que relaciona la energía de un espacio-tiempo asintóticamente plano con el tamaño de los agujeros negros que contiene. [10] [11] Esto puede verse como una agudización o cuantificación del teorema de energía positiva , que proporciona la afirmación más débil de que la energía no es negativa.
En la década de 1990, Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga y Shun'ichi Goto, e independientemente Lawrence Evans y Joel Spruck , desarrollaron una teoría de soluciones débiles para el flujo de curvatura media al considerar conjuntos de nivel de soluciones de una cierta ecuación diferencial parcial elíptica . [12] [13] Tom Ilmanen avanzó en la comprensión de la teoría de tales ecuaciones elípticas, a través de aproximaciones por ecuaciones elípticas de un carácter más estándar. [14] Huisken e Ilmanen pudieron adaptar estos métodos al flujo de curvatura media inversa, haciendo así que la metodología de Geroch, Jang y Wald fuera matemáticamente precisa. Su resultado trata de variedades riemannianas tridimensionales no compactas con borde de curvatura escalar no negativa cuyo borde es mínimo , relacionando la geometría cercana al infinito con el área de superficie del componente de borde más grande. [HI01] Hubert Bray , al utilizar el teorema de masa positiva en lugar del flujo de curvatura media inversa, pudo mejorar la desigualdad de Huisken e Ilmanen para involucrar el área de superficie total del límite. [15]
Huisken es miembro de la Academia de Ciencias y Humanidades de Heidelberg , la Academia de Ciencias y Humanidades de Berlín-Brandeburgo , la Academia de Ciencias Leopoldina y la Sociedad Matemática Americana . [16]
