Fórmula de monotonicidad de Huisken

En geometría diferencial , la fórmula de monotonía de Huisken establece que, si una superficie n -dimensional en un espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional experimenta el flujo de curvatura media , entonces su convolución con un núcleo de calor apropiadamente escalado e invertido en el tiempo no es creciente. ^{[1] [2]} El resultado lleva el nombre de Gerhard Huisken , quien lo publicó en 1990. ^[3]

Específicamente, el núcleo de calor invertido en el tiempo de dimensión ( n + 1) que converge a un punto x ₀ en el tiempo t ₀ puede darse por la fórmula ^[1]

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(4\pi (t_{0}-t))^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {|x-x_{0}|^{2}}{4(t_{0}-t)}}\right).}$

Entonces la fórmula de monotonía de Huisken da una expresión explícita para la derivada de

${\displaystyle \int u(x,t)d\mu ,}$

donde μ es el elemento de área de la superficie en evolución en el instante t . La expresión implica la negación de otra integral, cuyo integrando no es negativo, por lo que la derivada no es positiva.

Por lo general, x ₀ y t ₀ se eligen como el tiempo y la posición de una singularidad de la superficie en evolución, y la fórmula de monotonía se puede utilizar para analizar el comportamiento de la superficie a medida que evoluciona hacia esta singularidad. En particular, las únicas superficies para las que la convolución con el núcleo de calor permanece constante en lugar de disminuir son aquellas que se mantienen autosimilares a medida que evolucionan, y la fórmula de monotonía se puede utilizar para clasificar estas superficies.

Grigori Perelman derivó fórmulas análogas para el flujo de Ricci . ^{[4] [5]}

Referencias

1. Mantegazza, Carlo (2011), "3.1 La fórmula de monotonía para el flujo de curvatura media", Notas de clase sobre flujo de curvatura media, Progress in Mathematics, vol. 290, Basilea: Birkhäuser/Springer, págs. 49–52, CiteSeerX  10.1.1.205.9269 , doi :10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, Sr.  2815949.
2. Bellettini, Giovanni (2013), "Fórmula de monotonicidad de 4 Huisken", Apuntes de conferencias sobre flujo de curvatura media, barreras y perturbaciones singulares , Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) [Notas de la conferencia. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nueva Serie)], vol. 12, Pisa: Edizioni della Normale, págs. 59–68, doi :10.1007/978-88-7642-429-8, ISBN 978-88-7642-428-1, Sr.  3155251.
3. Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi : 10.4310/jdg/1214444099 , hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CFE-3 , MR  1030675.
4. Perelman, Grigori (2002), La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas , arXiv : math/0211159 , Bibcode :2002math.....11159P.
5. Cao, Huai-Dong ; Hamilton, Richard S. ; Ilmanen, Tom (2004), Densidades gaussianas y estabilidad para algunos solitones de Ricci , arXiv : math/0404165 , Bibcode :2004math......4165C, También hay dos fórmulas de monotonía de tipo contráctil o localizador... Cualquiera de estas puede verse como el análogo de la fórmula de monotonía de Huisken para el flujo de curvatura media..