Flujo de curvatura media

Ecuación diferencial parcial parabólica

En el campo de la geometría diferencial en matemáticas , el flujo de curvatura media es un ejemplo de un flujo geométrico de hipersuperficies en una variedad de Riemann (por ejemplo, superficies lisas en el espacio euclidiano tridimensional ). Intuitivamente, una familia de superficies evoluciona bajo un flujo de curvatura media si el componente normal de la velocidad de la cual se mueve un punto en la superficie está dado por la curvatura media de la superficie. Por ejemplo, una esfera redonda evoluciona bajo un flujo de curvatura media encogiéndose hacia adentro de manera uniforme (ya que el vector de curvatura media de una esfera apunta hacia adentro). Excepto en casos especiales, el flujo de curvatura media desarrolla singularidades .

Bajo la restricción de que el volumen encerrado es constante, esto se llama flujo de tensión superficial .

Es una ecuación diferencial parcial parabólica y puede interpretarse como "suavizado".

Existencia y singularidad

Lo siguiente fue demostrado por Michael Gage y Richard S. Hamilton como una aplicación del teorema de existencia general de Hamilton para flujos geométricos parabólicos. ^{[1] [2]}

Sea una variedad compacta y suave , sea una variedad riemanniana completamente suave y sea una inmersión suave . Entonces hay un número positivo , que podría ser infinito, y una función con las siguientes propiedades: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M',g)}$ ${\displaystyle f:M\to M'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F:[0,T)\times M\to M'}$

• ${\displaystyle F(0,\cdot )=f}$
• ${\displaystyle F(t,\cdot ):M\to M'}$Es una inmersión suave para cualquier ${\displaystyle t\in [0,T)}$
• como uno tiene en ${\displaystyle t\searrow 0,}$ ${\displaystyle F(t,\cdot )\to f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$
• para cualquier , la derivada de la curva en es igual al vector de curvatura media de en . ${\displaystyle (t_{0},p)\in (0,T)\times M}$ ${\displaystyle t\mapsto F(t,p)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F(t_{0},\cdot )}$ ${\displaystyle p}$
• Si es cualquier otro mapa con las cuatro propiedades anteriores, entonces y para cualquier ${\displaystyle {\widetilde {F}}:[0,{\widetilde {T}})\times M\to M'}$ ${\displaystyle {\widetilde {T}}\leq T}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(t,p)=F(t,p)}$ ${\displaystyle (t,p)\in [0,{\widetilde {T}})\times M.}$

Necesariamente, la restricción de a es . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (0,T)\times M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Se hace referencia al flujo de curvatura media (máximamente extendido) con datos iniciales . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

Soluciones convexas

Tras el trabajo trascendental de Hamilton de 1982 sobre el flujo de Ricci , en 1984 Gerhard Huisken empleó los mismos métodos para el flujo de curvatura media para producir el siguiente resultado análogo: ^[3]

• Si es el espacio euclidiano , donde denota la dimensión de , entonces es necesariamente finito. Si la segunda forma fundamental de la 'inmersión inicial' es estrictamente positiva, entonces la segunda forma fundamental de la inmersión también es estrictamente positiva para cada , y además si se elige la función tal que el volumen de la variedad de Riemann sea independiente de , entonces como las inmersiones convergen suavemente a una inmersión cuya imagen en es una esfera redonda. ${\displaystyle (M',g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(t,\cdot )}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle c:(0,T)\to (0,\infty )}$ ${\displaystyle (M,(c(t)F(t,\cdot ))^{\ast }g_{\text{Euc}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\nearrow T}$ ${\displaystyle c(t)F(t,\cdot ):M\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Nótese que si y es una inmersión de hipersuperficie suave cuya segunda forma fundamental es positiva, entonces el mapa de Gauss es un difeomorfismo, y por lo tanto se sabe desde el principio que es difeomorfo a y, a partir de la topología diferencial elemental, que todas las inmersiones consideradas anteriormente son incrustaciones. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \nu :M\to S^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Gage y Hamilton extendieron el resultado de Huisken al caso . Matthew Grayson (1987) demostró que si hay cualquier incrustación suave, entonces el flujo de curvatura media con datos iniciales eventualmente consiste exclusivamente en incrustaciones con curvatura estrictamente positiva, en cuyo punto se aplica el resultado de Gage y Hamilton. ^[4] En resumen: ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$

• Si es una incrustación suave, entonces considere el flujo de curvatura media con datos iniciales . Entonces es una incrustación suave para cada y existe tal que tiene una curvatura positiva (extrínseca) para cada . Si uno selecciona la función como en el resultado de Huisken, entonces como las incrustaciones convergen suavemente a una incrustación cuya imagen es un círculo redondo. ${\displaystyle f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F:[0,T)\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in (t_{0},T)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t\nearrow T}$ ${\displaystyle c(t)F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Propiedades

El flujo de curvatura media extremaliza el área de superficie, y las superficies mínimas son los puntos críticos para el flujo de curvatura media; los mínimos resuelven el problema isoperimétrico .

Para las variedades embebidas en una variedad de Kähler-Einstein , si la superficie es una subvariedad lagrangiana , el flujo de curvatura media es de tipo lagrangiano, por lo que la superficie evoluciona dentro de la clase de subvariedades lagrangianas.

La fórmula de monotonía de Huisken proporciona una propiedad de monotonía de la convolución de un núcleo de calor invertido en el tiempo con una superficie que experimenta el flujo de curvatura media.

Los flujos relacionados son:

• Flujo de acortamiento de curvatura , el caso unidimensional del flujo de curvatura media
• El flujo de tensión superficial
• El flujo de curvatura media lagrangiana
• el flujo de curvatura media inversa

Flujo de curvatura media de una superficie tridimensional

La ecuación diferencial para el flujo de curvatura media de una superficie dada por está dada por ${\displaystyle z=S(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=2D\ H(x,y){\sqrt {1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

siendo una constante que relaciona la curvatura y la velocidad de la normal a la superficie, y siendo la curvatura media ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x,y)&={\frac {1}{2}}{\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

En los límites y , de modo que la superficie es casi plana con su normal casi paralela al eje z, esto se reduce a una ecuación de difusión ${\displaystyle \left|{\frac {\partial S}{\partial x}}\right|\ll 1}$ ${\displaystyle \left|{\frac {\partial S}{\partial y}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=D\ \nabla ^{2}S}$

Si bien la ecuación de difusión convencional es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal y no desarrolla singularidades (cuando se ejecuta hacia adelante en el tiempo), el flujo de curvatura media puede desarrollar singularidades porque es una ecuación parabólica no lineal. En general, se deben aplicar restricciones adicionales a una superficie para evitar singularidades bajo flujos de curvatura media.

Toda superficie convexa lisa colapsa hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, sin otras singularidades, y converge a la forma de una esfera al hacerlo. Para superficies de dimensión dos o más, este es un teorema de Gerhard Huisken ; ^[5] para el flujo unidimensional de acortamiento de curva es el teorema de Gage-Hamilton-Grayson. Sin embargo, existen superficies embebidas de dos o más dimensiones distintas de la esfera que permanecen autosimilares al contraerse hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, incluido el toro anógeno . ^[6]

Ejemplo: flujo de curvatura media demetro-esferas dimensionales

Un ejemplo sencillo de flujo de curvatura media lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en . La curvatura media de una esfera -dimensional de radio es . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H=m/R}$

Debido a la simetría rotacional de la esfera (o en general, debido a la invariancia de la curvatura media bajo isometrías ) la ecuación de flujo de curvatura media se reduce a la ecuación diferencial ordinaria , para una esfera inicial de radio , ${\displaystyle \partial _{t}F=-H\nu }$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}R(t)&=-{\frac {m}{R(t)}},\\R(0)&=R_{0}.\end{aligned}}}$

La solución de esta EDO (obtenida, por ejemplo, por separación de variables ) es

${\displaystyle R(t)={\sqrt {R_{0}^{2}-2mt}}}$,

que existe para . ^[7] ${\displaystyle t\in (-\infty ,R_{0}^{2}/2m)}$

Ver también

• Flujo que acorta la curva

Referencias

1. Gage, M.; Hamilton, RS (1986). "La ecuación del calor encoge las curvas planas convexas". J. Differential Geom . 23 (1): 69–96. doi : 10.4310/jdg/1214439902 .
2. Hamilton, Richard S. (1982). "Tres variedades con curvatura de Ricci positiva". Journal of Differential Geometry . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 .
3. Huisken, Gerhard (1984). "Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas". J. Geometría diferencial . 20 (1): 237–266. doi : 10.4310/jdg/1214438998 .
4. Grayson, Matthew A. (1987). "La ecuación del calor encoge las curvas planas incrustadas hasta convertirlas en puntos redondos". J. Differential Geom . 26 (2): 285–314. doi : 10.4310/jdg/1214441371 .
5. Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi :10.4310/jdg/1214444099, hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CFD-5 , MR  1030675.
6. Angenent, Sigurd B. (1992), "Donas encogidas" (PDF) , Ecuaciones de difusión no lineales y sus estados de equilibrio, 3 (Gregynog, 1989) , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 7, Boston, MA: Birkhäuser, págs. 21–38, MR  1167827.
7. Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, Sr.  2024995.

• Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, Sr.  2024995.
• Mantegazza, Carlo (2011), Notas de clase sobre flujo de curvatura media , Progress in Mathematics, vol. 290, Basilea: Birkhäuser/Springer, doi : 10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, Sr.  2815949.
• Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, David (2002), "Evolución de la superficie bajo flujos de curvatura", Journal of Visual Communication and Image Representation , 13 (1–2): 65–81, CiteSeerX  10.1.1.679.6535 , doi :10.1006/jvci.2001.0476, S2CID  7341932. Véanse en particular las ecuaciones 3a y 3b.