Dispersión (ondas de agua)

Dispersión de ondas sobre una superficie de agua.

En dinámica de fluidos , la dispersión de las ondas del agua generalmente se refiere a la dispersión de frecuencia , lo que significa que ondas de diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades de fase . Las ondas de agua, en este contexto, son ondas que se propagan sobre la superficie del agua , siendo la gravedad y la tensión superficial las fuerzas restauradoras . Como resultado, generalmente se considera que el agua con una superficie libre es un medio dispersivo .

Para una determinada profundidad del agua, las ondas de gravedad superficiales (es decir, las ondas que se producen en la interfaz aire-agua y la gravedad es la única fuerza que la devuelve a su planitud) se propagan más rápido al aumentar la longitud de onda . Por otro lado, para una longitud de onda determinada (fija), las ondas de gravedad en aguas más profundas tienen una velocidad de fase mayor que en aguas menos profundas . ^[1] A diferencia del comportamiento de las ondas de gravedad, las ondas capilares (es decir, forzadas únicamente por la tensión superficial) se propagan más rápido en longitudes de onda más cortas.

Además de la dispersión de frecuencia, las ondas del agua también presentan dispersión de amplitud. Este es un efecto no lineal , por el cual las ondas de mayor amplitud tienen una velocidad de fase diferente a la de las ondas de pequeña amplitud.

Dispersión de frecuencia para ondas de gravedad superficiales.

Esta sección trata sobre la dispersión de frecuencia de ondas en una capa de fluido forzada por la gravedad y de acuerdo con la teoría lineal. Para conocer los efectos de la tensión superficial sobre la dispersión de frecuencia, consulte los efectos de la tensión superficial en Teoría de ondas de Airy y onda capilar .

Propagación y dispersión de ondas.

Onda sinusoidal.

La onda que se propaga más simple y de forma inmutable es una onda sinusoidal . Una onda sinusoidal con elevación de la superficie del agua η ( x , t ) viene dada por: ^[2]

${\displaystyle \eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,}$

donde a es la amplitud (en metros) y θ = θ ( x , t ) es la función de fase (en radianes ), dependiendo de la posición horizontal ( x , en metros) y el tiempo ( t , en segundos ): ^[3]

${\displaystyle \theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,}$ con y ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}},}$

dónde:

• λ es la longitud de onda (en metros),
• T es el período (en segundos),
• k es el número de onda (en radianes por metro) y
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo).

Las fases características de una ola de agua son:

• el cruce por cero ascendente en θ = 0 ,
• la cresta de la onda en θ =  ⁠1/2⁠  π ,
• el cruce por cero descendente en θ = π y
• el valle de la onda en θ  =  ⁠1+1/2⁠  π.

Una determinada fase se repite después de un número entero m múltiplo de 2π : sin( θ ) = sin( θ+m•2π ).

Esencial para las ondas de agua y otros fenómenos ondulatorios en física , es que las ondas de amplitud distinta de cero que se propagan libremente solo existen cuando la frecuencia angular ω y el número de onda k (o equivalentemente la longitud de onda λ y el período T ) satisfacen una relación funcional : la dispersión de frecuencia. relación ^{[4] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k).\,}$

La relación de dispersión tiene dos soluciones: ω = +Ω(k) y ω = −Ω(k) , correspondientes a ondas que viajan en la dirección x positiva o negativa . La relación de dispersión dependerá en general de varios otros parámetros además del número de onda k . Para las ondas de gravedad, según la teoría lineal, estas son la aceleración de la gravedad g y la profundidad del agua h . La relación de dispersión de estas ondas es: ^{[6] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=g\,k\,\tanh(k\,h)}$  o  ${\displaystyle \displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}\,T^{2}\,\tanh \left(2\pi \,{\frac {h}{\lambda }}\right),}$

una ecuación implícita en la que tanh denota la función tangente hiperbólica .

Una fase de onda inicial θ = θ ₀ se propaga en función del espacio y el tiempo . Su posición posterior viene dada por:

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.}$

Esto muestra que la fase se mueve con la velocidad: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},}$

que se llama velocidad de fase.

Velocidad de fase

Una onda sinusoidal , de pequeña amplitud de elevación superficial y con una longitud de onda constante , se propaga con la velocidad de fase , también llamada celeridad o velocidad de fase. Mientras que la velocidad de fase es un vector y tiene una dirección asociada, la celeridad o velocidad de fase se refieren únicamente a la magnitud de la velocidad de fase. Según la teoría lineal de las ondas forzadas por la gravedad, la velocidad de fase depende de la longitud de onda y de la profundidad del agua. Para una profundidad de agua fija, las ondas largas (con una longitud de onda grande) se propagan más rápido que las ondas más cortas.

En la figura de la izquierda, se puede ver que las ondas de aguas poco profundas , con longitudes de onda λ mucho mayores que la profundidad del agua h , viajan con la velocidad de fase ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(shallow water),}}\,}$

siendo g la aceleración de la gravedad y c _p la velocidad de fase. Dado que la velocidad de esta fase en aguas poco profundas es independiente de la longitud de onda, las ondas en aguas poco profundas no tienen dispersión de frecuencia.

Utilizando otra normalización para la misma relación de dispersión de frecuencia, la figura de la derecha muestra que para una longitud de onda fija λ la velocidad de fase c _p aumenta al aumentar la profundidad del agua. ^[1] Hasta que, en aguas profundas con una profundidad h mayor que la mitad de la longitud de onda λ (para h/λ > 0,5 ), la velocidad de fase c _p es independiente de la profundidad del agua: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(deep water),}}}$

siendo T el período de la onda (el recíproco de la frecuencia f , T=1/f ). Entonces, en aguas profundas, la velocidad de fase aumenta con la longitud de onda y con el período.

Dado que la velocidad de fase satisface c _p = λ/T = λf , la longitud de onda y el período (o frecuencia) están relacionados. Por ejemplo en aguas profundas:

${\displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(deep water).}}}$

Las características de dispersión para profundidad intermedia se dan a continuación.

Velocidad de grupo

Dispersión de frecuencia en grupos bicromáticos de ondas de gravedad en la superficie de aguas profundas. El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo.

La interferencia de dos ondas sinusoidales con longitudes de onda ligeramente diferentes, pero con la misma amplitud y dirección de propagación, da como resultado un patrón de latido , llamado grupo de ondas. Como se puede ver en la animación, el grupo se mueve con una velocidad de grupo c _g diferente de la velocidad de fase c _p , debido a la dispersión de frecuencia.

La velocidad del grupo está representada por las líneas rojas (marcadas con B ) en las dos figuras anteriores. En aguas poco profundas, la velocidad del grupo es igual a la velocidad de la fase en aguas poco profundas. Esto se debe a que las ondas de aguas poco profundas no son dispersivas. En aguas profundas, la velocidad del grupo es igual a la mitad de la velocidad de fase: {{math| c _g = ⁠1/2⁠ c _p . ^[7]

La velocidad del grupo también resulta ser la velocidad de transporte de energía. Esta es la velocidad con la que la energía de las olas media se transporta horizontalmente en un campo de ondas de banda estrecha . ^{[8] [9]}

En el caso de una velocidad de grupo diferente de la velocidad de fase, una consecuencia es que el número de ondas contadas en un grupo de ondas es diferente cuando se cuentan a partir de una instantánea en el espacio en un momento determinado, que cuando se cuentan en el tiempo a partir de la elevación de la superficie medida. en una posición fija. Considere un grupo de ondas de longitud Λ _g y duración de grupo de τ _g . La velocidad del grupo es: ^[10]

${\displaystyle c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.}$

El número de ondas por grupo observado en el espacio en un momento determinado (línea azul superior), es diferente del número de ondas por grupo visto en el tiempo en una posición fija (línea naranja inferior), debido a la dispersión de frecuencia.

Olas de tormenta del Pacífico norte vistas desde el M/V Noble Star de la NOAA , invierno de 1989.

El número de ondas de un grupo de ondas, medidas en el espacio en un momento determinado es: Λ _g  / λ . Mientras se mide en un lugar fijo en el tiempo, el número de ondas en un grupo es: τ _g  / T. Entonces, la relación entre el número de ondas medidas en el espacio y las medidas en el tiempo es:

${\displaystyle {\tfrac {\text{No. of waves in space}}{\text{No. of waves in time}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.}$

Entonces en aguas profundas, con c _g = ⁠1/2⁠ c _p , ^[11] un grupo de ondas tiene el doble de ondas en el tiempo que en el espacio. ^[12]

La elevación de la superficie del agua η(x,t) , en función de la posición horizontal x y el tiempo t , para un grupo de ondas bicromáticas de modulación completa se puede formular matemáticamente como: ^[11]

${\displaystyle \eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),}$

con:

• a la amplitud de onda de cada componente de frecuencia en metros,
• k ₁ y k ₂ el número de onda de cada componente de onda, en radianes por metro, y
• ω ₁ y ω ₂ la frecuencia angular de cada componente de onda, en radianes por segundo.

Tanto ω ₁ como k ₁ , así como ω ₂ y k ₂ , tienen que satisfacer la relación de dispersión:

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\Omega ^{2}(k_{1})\,}$ y ${\displaystyle \omega _{2}^{2}=\Omega ^{2}(k_{2}).\,}$

Usando identidades trigonométricas , la elevación de la superficie se escribe como: ^[10]

${\displaystyle \eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).}$

La parte entre corchetes es la amplitud que varía lentamente del grupo, con número de onda del grupo ⁠1/2⁠  ( k ₁  − k ₂  ) y frecuencia angular de grupo ⁠1/2⁠  ( ω ₁  - ω ₂  ) . Como resultado, la velocidad del grupo es, para el límite k ₁  → k ₂  : ^{[10] [11]}

${\displaystyle c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.}$

Los grupos de ondas solo se pueden discernir en el caso de una señal de banda estrecha, siendo la diferencia del número de onda k ₁  − k ₂ pequeña en comparación con el número de onda medio ⁠1/2⁠  (k ₁  + k ₂ ) .

Patrones de ondas multicomponentes

Dispersión de frecuencia de ondas de gravedad superficiales en aguas profundas. Se muestra la superposición (línea azul oscuro) de tres componentes de onda sinusoidal (líneas azul claro).

El efecto de la dispersión de frecuencia es que las ondas viajan en función de la longitud de onda, de modo que las propiedades de fase espacial y temporal de la onda que se propaga cambian constantemente. Por ejemplo, bajo la acción de la gravedad, las ondas del agua con una longitud de onda más larga viajan más rápido que aquellas con una longitud de onda más corta.

Mientras que dos ondas sinusoidales superpuestas, llamadas ondas bicromáticas, tienen una envoltura que viaja sin cambios, tres o más componentes de onda sinusoidal dan como resultado un patrón cambiante de las ondas y su envoltura. Un estado del mar , es decir, olas reales en el mar o en el océano, puede describirse como una superposición de muchas ondas sinusoidales con diferentes longitudes de onda, amplitudes, fases iniciales y direcciones de propagación. Cada uno de estos componentes viaja con su propia velocidad de fase, de acuerdo con la relación de dispersión. Las estadísticas de dicha superficie se pueden describir por su espectro de potencia . ^[13]

Relación de dispersión

En la siguiente tabla se da la relación de dispersión ω ² = [ Ω(k) ] ² entre la frecuencia angular ω = 2π / T y el número de onda k = 2π / λ , así como las velocidades de fase y de grupo. ^[10]

Las aguas profundas corresponden a profundidades de agua superiores a la mitad de la longitud de onda , que es la situación común en el océano. En aguas profundas, las ondas de período más largo se propagan más rápido y transportan su energía más rápidamente. La velocidad del grupo de aguas profundas es la mitad de la velocidad de fase . En aguas poco profundas , para longitudes de onda superiores a veinte veces la profundidad del agua, ^[14] como se encuentra con bastante frecuencia cerca de la costa, la velocidad del grupo es igual a la velocidad de fase.

Historia

La relación de dispersión lineal completa fue encontrada por primera vez por Pierre-Simon Laplace , aunque hubo algunos errores en su solución al problema de las ondas lineales. La teoría completa de las ondas lineales del agua, incluida la dispersión, fue derivada por George Biddell Airy y publicada alrededor de 1840. Philip Kelland también encontró una ecuación similar aproximadamente al mismo tiempo (pero cometiendo algunos errores en su derivación de la teoría ondulatoria). . ^[15]

El límite de aguas poco profundas (con h / λ pequeño ), ω ² = gh k ² , fue obtenido por Joseph Louis Lagrange .

Efectos de la tensión superficial

Dispersión de ondas gravitatorias capilares en la superficie de aguas profundas. Velocidad de fase y grupo dividida por en función de la longitud de onda relativa inversa . Líneas azules (A): velocidad de fase, Líneas rojas (B): velocidad de grupo. Líneas dibujadas: relación de dispersión para ondas gravitatorias-capilares. Líneas discontinuas: relación de dispersión de ondas de gravedad en aguas profundas. Líneas de puntos y puntos: relación de dispersión válida para ondas capilares de aguas profundas. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$

En el caso de ondas de gravedad-capilares, donde la tensión superficial afecta a las ondas, la relación de dispersión se convierte en: ^[5]

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma }{\rho }}k^{3}\right)\tanh(kh),}$

con σ la tensión superficial (en N/m).

Para una interfaz agua-aire (con σ = 0,074 N/m y ρ = 1000 kg/m ³ ), las ondas pueden aproximarse como ondas capilares puras, dominadas por efectos de tensión superficial, para longitudes de onda inferiores a 0,4 cm (0,2 pulgadas). . Para longitudes de onda superiores a 7 cm (3 pulgadas), las ondas son, con buena aproximación, ondas de gravedad superficial pura con muy pocos efectos de tensión superficial. ^[dieciséis]

Ondas interfaciales

Movimiento ondulatorio en la interfaz entre dos capas de fluidos homogéneos no viscosos de diferente densidad, confinados entre límites rígidos horizontales (en la parte superior e inferior). El movimiento es forzado por la gravedad. La capa superior tiene una profundidad media h y una densidad ρ , mientras que la capa inferior tiene una profundidad media h y una densidad ρ . La amplitud de onda es a , la longitud de onda se denota por λ .

Para dos capas homogéneas de fluidos, de espesor medio h debajo de la interfaz y h ′ arriba – bajo la acción de la gravedad y delimitadas arriba y abajo por paredes rígidas horizontales – se proporciona la relación de dispersión ω ²  = Ω ² ( k ) para ondas de gravedad. por: ^[17]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {g\,k(\rho -\rho ')}{\rho \,\coth(kh)+\rho '\,\coth(kh')}},}$

donde nuevamente ρ y ρ ′ son las densidades por debajo y por encima de la interfaz, mientras que coth es la función cotangente hiperbólica . Para el caso de que ρ ′ sea cero, esto se reduce a la relación de dispersión de las ondas de gravedad superficiales en agua de profundidad finita h .

Cuando la profundidad de las dos capas de fluido se vuelve muy grande ( h →∞, h ′ →∞), las cotangentes hiperbólicas en la fórmula anterior se acercan al valor de uno. Entonces:

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g\,k.}$

Efectos no lineales

Agua poco profunda

Los efectos de dispersión de amplitud aparecen, por ejemplo, en la onda solitaria : una única joroba de agua que viaja con velocidad constante en aguas poco profundas con un lecho horizontal. Tenga en cuenta que las ondas solitarias son casi solitones , pero no exactamente: después de la interacción de dos ondas solitarias (que chocan o se adelantan), su amplitud ha cambiado un poco y queda un residuo oscilatorio. ^[18] La solución de un solo solitón de la ecuación de Korteweg-de Vries , de una altura de ola H en una profundidad de agua h lejos de la cresta de la ola, viaja con la velocidad:

${\displaystyle c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.}$

Entonces, para esta onda de gravedad no lineal, es la profundidad total del agua debajo de la cresta de la onda la que determina la velocidad, y las olas más altas viajan más rápido que las olas más bajas. Tenga en cuenta que las soluciones de ondas solitarias solo existen para valores positivos de H , las ondas de depresión de gravedad solitarias no existen.

Aguas profundas

La relación de dispersión lineal, que no se ve afectada por la amplitud de la onda, también es correcta para las ondas no lineales en el segundo orden de la expansión de la teoría de la perturbación , con los órdenes en términos de la pendiente de la onda ka (donde a es la amplitud de la onda ). Para el tercer orden, y para aguas profundas, la relación de dispersión es ^[19]

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\left[1+(ka)^{2}\right],}$  entonces  ${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g}{k}}}\,\left[1+{\tfrac {1}{2}}\,(ka)^{2}\right]+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

Esto implica que las ondas grandes viajan más rápido que las pequeñas de la misma frecuencia. Esto sólo se nota cuando la pendiente ka de la onda es grande.

Ondas en una corriente media: desplazamiento Doppler

Las ondas de agua en un flujo medio (es decir, una onda en un medio en movimiento) experimentan un desplazamiento Doppler . Supongamos que la relación de dispersión para un medio inmóvil es:

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k),\,}$

con k el número de onda. Entonces, para un medio con un vector de velocidad medio V , la relación de dispersión con el desplazamiento Doppler se convierte en: ^[20]

${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {V} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),}$

donde k es el vector de número de onda, relacionado con k como: k = | k |. El producto escalar k • V es igual a: k • V = kV cos α , siendo V la longitud del vector velocidad media V : V = | V |. Y α el ángulo entre la dirección de propagación de la onda y la dirección media del flujo. Para ondas y corrientes en la misma dirección, k • V = kV .

Ver también

Otros artículos sobre dispersión

• Ecuación diferencial parcial dispersiva
• onda capilar

Modelos dispersivos de ondas de agua.

• Teoría de las ondas aéreas
• Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony
• Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)
• onda cnoidal
• Ecuación de Camassa-Holm
• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (también conocida como ecuación KP)
• Ecuación de Korteweg-de Vries (también conocida como ecuación de KdV)
• El principio variacional de Lucas
• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Ecuaciones de aguas poco profundas
• Teoría de las ondas de Stokes
• onda trocoidal
• Turbulencia de las olas
• Ecuación de Whitham

Notas

1. Estanque, S.; Pickard, GL (1978), Introducción a la oceanografía dinámica , Pergamon Press, págs. 170-174, ISBN 978-0-08-021614-0
2. Véase Lamb (1994), §229, págs.
3. Véase Whitham (1974), p.11.
4. medio homogéneo que no se mueve , por lo que en el caso de olas de agua para una profundidad de agua constante y sin corriente media.
5. Véase Phillips (1977), pág. 37.
6. Véase, por ejemplo, Dingemans (1997), pág. 43.
7. Véase Phillips (1977), pág. 25.
8. Reynolds, O. (1877), "Sobre la velocidad de progresión de grupos de ondas y la velocidad a la que las ondas transmiten energía", Nature , 16 (408): 343–44, Bibcode :1877Natur..16R.341 ., doi : 10.1038/016341c0
   Lord Rayleigh (JW Strutt) (1877), "Sobre ondas progresivas", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 9 : 21–26, doi :10.1112/plms/s1-9.1.21Reimpreso como Apéndice en: Theory of Sound 1 , MacMillan, segunda edición revisada, 1894.
9. Véase Lamb (1994), §237, págs. 382–384.
10. Véase Dingemans (1997), sección 2.1.2, págs.
11. Véase Lamb (1994), §236, págs.
12. Henderson, KL; Peregrino, DH ; Dold, JW (1999), "Modulaciones de ondas de agua inestables: soluciones totalmente no lineales y comparación con la ecuación de Schrödinger no lineal", Wave Motion , 29 (4): 341–361, Bibcode :1999WaMot..29..341H, CiteSeerX 10.1. 1.499.727 , doi :10.1016/S0165-2125(98)00045-6 
13. Véase Phillips (1977), pág. 102.
14. Véase Dean y Dalrymple (1991), página 65.
15. Véase Craik (2004).
16. Véase Lighthill (1978), págs. 224-225.
17. Turner, JS (1979), Efectos de la flotabilidad en fluidos , Cambridge University Press, p. 18, ISBN 978-0521297264
18. Véase, por ejemplo: Craig, W.; Guyenne, P.; Hammack, J.; Henderson, D.; Sulem, C. (2006), "Interacciones de ondas de agua solitarias", Física de fluidos , 18 (57106): 057106–057106–25, Bibcode :2006PhFl...18e7106C, doi :10.1063/1.2205916
19. Véase Lamb (1994), §250, págs. 417–420.
20. Véase Phillips (1977), pág. 24.

Referencias

• Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Revisión anual de mecánica de fluidos , 36 : 1–28, Bibcode :2004AnRFM..36....1C, doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802. 122118
• Decano, RG; Dalrymple, RA (1991), "Mecánica de las ondas de agua para ingenieros y científicos", Eos Transactions , Advanced Series on Ocean Engineering, 2 (24): 490, Bibcode :1985EOSTr..66..490B, doi :10.1029/EO066i024p00490-06 , ISBN 978-981-02-0420-4, OCLC  22907242
• Dingemans, MW (1997), Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares , Serie Avanzada sobre Ingeniería Oceánica, vol. 13, Científico Mundial, pág. 25769, ISBN 978-981-02-0427-3, OCLC  36126836, 2 Partes, 967 páginas.
• Lamb, H. (1994), Hidrodinámica (6ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC  30070401Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987), Mecánica de fluidos , Curso de física teórica, vol. 6 (2ª ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0
• Lighthill, MJ (1978), Ondas en fluidos , Cambridge University Press, 504 págs., ISBN 978-0-521-29233-7, OCLC  2966533
• Phillips, OM (1977), La dinámica de la capa superior del océano (2ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29801-8, OCLC  7319931
• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-94090-6, OCLC  815118

enlaces externos

• Los aspectos matemáticos de las ondas dispersivas se analizan en Dispersive Wiki.