Anillo Cohen-Macaulay

En matemáticas , un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo conmutativo con algunas de las propiedades algebro-geométricas de una variedad suave , como la equidimensionalidad local . Bajo supuestos moderados, un anillo local es exactamente de Cohen-Macaulay cuando es un módulo libre finitamente generado sobre un subanillo local regular. Los anillos de Cohen-Macaulay juegan un papel central en el álgebra conmutativa : forman una clase muy amplia y, sin embargo, se entienden bien en muchos sentidos.

Reciben su nombre de Francis Sowerby Macaulay  (1916), quien demostró el teorema de no mezcla para anillos polinómicos, y de Irvin Cohen  (1946), quien demostró el teorema de no mezcla para anillos de series de potencias formales . Todos los anillos de Cohen-Macaulay tienen la propiedad de no mezcla.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones.

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Definición

Para un anillo local noetheriano conmutativo R , un R -módulo finito (es decir, finitamente generado ) es un módulo de Cohen-Macaulay si (en general tenemos: , véase la fórmula de Auslander–Buchsbaum para la relación entre profundidad y dimensión de un cierto tipo de módulos). Por otro lado, es un módulo en sí mismo, por lo que llamamos a un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay como un -módulo. Un módulo de Cohen-Macaulay maximal es un módulo de Cohen-Macaulay M tal que . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)}$

La definición anterior era para anillos locales noetherianos. Pero podemos ampliar la definición para un anillo noetheriano más general: Si es un anillo noetheriano conmutativo, entonces un R -módulo M se llama módulo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay para todos los ideales maximales . (Esta es una especie de definición circular a menos que definamos módulos cero como Cohen-Macaulay. Por lo tanto, definimos módulos cero como módulos de Cohen-Macaulay en esta definición). Ahora, para definir módulos de Cohen-Macaulay maximales para estos anillos, requerimos que sea un -módulo para cada ideal maximal de R . Como en el caso local, R es un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay (como un -módulo en sí mismo). ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle \mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle \mathrm {m} }$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Los anillos noetherianos de los siguientes tipos son Cohen-Macaulay.

• Cualquier anillo local regular . Esto conduce a varios ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay, como los anillos de números enteros , o un anillo de polinomios sobre un cuerpo K , o un anillo de series de potencias . En términos geométricos, todo esquema regular , por ejemplo una variedad suave sobre un cuerpo, es de Cohen-Macaulay. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$
• Cualquier anillo de dimensión 0 (o equivalentemente, cualquier anillo artiniano ).
• Cualquier anillo reducido unidimensional , por ejemplo cualquier dominio unidimensional .
• Cualquier anillo normal bidimensional .
• Cualquier anillo de Gorenstein . En particular, cualquier anillo de intersección completo .
• El anillo de invariantes cuando R es un álgebra de Cohen-Macaulay sobre un cuerpo de característica cero y G es un grupo finito (o más generalmente, un grupo algebraico lineal cuyo componente identidad es reductivo ). Este es el teorema de Hochster-Roberts . ${\displaystyle R^{G}}$
• Cualquier anillo determinante. Es decir, sea R el cociente de un anillo local regular S por el ideal I generado por los menores r × r de alguna matriz p × q de elementos de S . Si la codimensión (o altura ) de I es igual a la codimensión "esperada" ( p − r +1)( q − r +1), R se llama anillo determinante . En ese caso, R es Cohen−Macaulay. ^[2] De manera similar, los anillos de coordenadas de variedades determinantes son Cohen-Macaulay.

Algunos ejemplos más:

1. El anillo K [ x ]/( x ²) tiene dimensión 0 y por lo tanto es Cohen-Macaulay, pero no es reducido y, por lo tanto, no es regular.
2. El subanillo K [ t ² , t ³ ] del anillo polinómico K [ t ], o su localización o completitud en t = 0, es un dominio unidimensional que es de Gorenstein y, por lo tanto, de Cohen-Macaulay, pero no regular. Este anillo también puede describirse como el anillo de coordenadas de la curva cúspide cúbica y ² = x ³ sobre K .
3. El subanillo K [ t ³ , t ⁴ , t ⁵ ] del anillo polinomial K [ t ], o su localización o completitud en t = 0, es un dominio unidimensional que es de Cohen-Macaulay pero no de Gorenstein.

Las singularidades racionales sobre un cuerpo de característica cero son Cohen-Macaulay. Las variedades tóricas sobre cualquier cuerpo son Cohen-Macaulay. ^[3] El programa de modelo mínimo hace un uso destacado de variedades con singularidades klt (Kawamata log terminal); en característica cero, estas son singularidades racionales y, por lo tanto, son Cohen-Macaulay. ^[4] Un análogo exitoso de las singularidades racionales en característica positiva es la noción de singularidades F-racionales ; nuevamente, tales singularidades son Cohen-Macaulay. ^[5]

Sea X una variedad proyectiva de dimensión n ≥ 1 sobre un cuerpo, y sea L un fibrado lineal amplio sobre X . Entonces el anillo de sección de L

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

es Cohen–Macaulay si y solo si el grupo de cohomología H ⁱ ( X , L ^j ) es cero para todo 1 ≤ i ≤ n −1 y todos los enteros j . ^[6] De ello se deduce, por ejemplo, que el cono afín Spec R sobre una variedad abeliana X es Cohen–Macaulay cuando X tiene dimensión 1, pero no cuando X tiene dimensión al menos 2 (porque H ¹ ( X , O ) no es cero). Véase también Anillo de Cohen–Macaulay generalizado .

Esquemas de Cohen-Macaulay

Decimos que un esquema localmente noetheriano es Cohen-Macaulay si en cada punto el anillo local es Cohen-Macaulay. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Curvas de Cohen-Macaulay

Las curvas de Cohen-Macaulay son un caso especial de los esquemas de Cohen-Macaulay, pero son útiles para compactar espacios de módulos de curvas ^[7] donde el límite del lugar geométrico liso es el de las curvas de Cohen-Macaulay. Existe un criterio útil para decidir si las curvas son o no de Cohen-Macaulay. Los esquemas de dimensión son de Cohen-Macaulay si y solo si no tienen primos incrustados. ^[8] Las singularidades presentes en las curvas de Cohen-Macaulay se pueden clasificar completamente observando el caso de la curva plana. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \leq 1}$

No-ejemplos

Utilizando el criterio, hay ejemplos sencillos de curvas no Cohen-Macaulay a partir de la construcción de curvas con puntos incrustados. Por ejemplo, el esquema

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)}$

tiene la descomposición en ideales primos . Geométricamente es el eje con un punto incrustado en el origen, que puede considerarse como un punto gordo . Dada una curva plana proyectiva suave , se puede construir una curva con un punto incrustado utilizando la misma técnica: encuentre el ideal de un punto en y multiplíquelo por el ideal de . Luego ${\displaystyle (x)\cdot (x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)}$

es una curva con un punto incrustado en . ${\displaystyle x}$

Teoría de la intersección

Los esquemas de Cohen-Macaulay tienen una relación especial con la teoría de intersecciones . Precisamente, sea X una variedad suave ^[10] y V , W subesquemas cerrados de dimensión pura. Sea Z un componente propio de la intersección teórica del esquema , es decir, un componente irreducible de dimensión esperada. Si el anillo local A de en el punto genérico de Z es Cohen-Macaulay, entonces la multiplicidad de intersecciones de V y W a lo largo de Z se da como la longitud de A : ^[11] ${\displaystyle V\times _{X}W}$ ${\displaystyle V\times _{X}W}$

${\displaystyle i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)}$.

En general, esa multiplicidad se da como una longitud que caracteriza esencialmente al anillo de Cohen-Macaulay; véase #Propiedades. El criterio de multiplicidad uno , por otra parte, caracteriza aproximadamente un anillo local regular como un anillo local de multiplicidad uno.

Ejemplo

Para dar un ejemplo sencillo, si tomamos la intersección de una parábola con una línea tangente a ella, el anillo local en el punto de intersección es isomorfo a

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}}$

que es Cohen-Macaulay de longitud dos, por lo tanto la multiplicidad de intersección es dos, como se esperaba.

Planitud milagrosa o criterio de Hironaka

Hay una caracterización notable de los anillos de Cohen-Macaulay, a veces llamada planitud milagrosa o criterio de Hironaka . Sea R un anillo local que se genera finitamente como un módulo sobre algún anillo local regular A contenido en R. Tal subanillo existe para cualquier localización R en un ideal primo de un álgebra generada finitamente sobre un cuerpo, por el lema de normalización de Noether ; también existe cuando R es completo y contiene un cuerpo, o cuando R es un dominio completo. ^[12] Entonces R es Cohen-Macaulay si y solo si es plano como un A -módulo; también es equivalente a decir que R es libre como un A -módulo. ^[13]

Una reformulación geométrica es la siguiente. Sea X un esquema afín conexo de tipo finito sobre un cuerpo K (por ejemplo, una variedad afín ). Sea n la dimensión de X . Por normalización de Noether, existe un morfismo finito f desde X al espacio afín A ⁿ sobre K . Entonces X es Cohen-Macaulay si y solo si todas las fibras de f tienen el mismo grado. ^[14] Es sorprendente que esta propiedad sea independiente de la elección de f .

Por último, existe una versión de Miracle Flatness para anillos graduados. Sea R un álgebra graduada conmutativa finitamente generada sobre un cuerpo K ,

${\displaystyle R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .}$

Siempre existe un subanillo polinomial graduado A ⊂ R (con generadores de diversos grados) tal que R se genera finitamente como un módulo A. Entonces R es Cohen-Macaulay si y solo si R es libre como un módulo A graduado . Nuevamente, se deduce que esta libertad es independiente de la elección del subanillo polinomial A .

Propiedades

• Un anillo local noetheriano es Cohen-Macaulay si y solo si su compleción es Cohen-Macaulay. ^[15]
• Si R es un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el anillo polinomial R [ x ] y el anillo de series de potencias R [[ x ]] son ​​de Cohen-Macaulay. ^{[16] [17]}
• Para un divisor distinto de cero u en el ideal máximo de un anillo local noetheriano R , R es Cohen-Macaulay si y solo si R /( u ) es Cohen-Macaulay. ^[18]
• El cociente de un anillo de Cohen-Macaulay por cualquier ideal es universalmente catenario . ^[19]
• Si R es un cociente de un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el lugar geométrico { p ∈ Spec R | R _p es Cohen–Macaulay } es un subconjunto abierto de Spec R . ^[20]
• Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de codimensión de incrustación c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). En términos geométricos, esto es válido para un anillo local de un subesquema de codimensión c en un esquema regular. Para c = 1, R es Cohen-Macaulay si y solo si es un anillo de hipersuperficie . También existe un teorema de estructura para anillos de Cohen-Macaulay de codimensión 2, el teorema de Hilbert-Burch : todos son anillos determinantes, definidos por los menores r × r de una matriz ( r +1) × r para algún r .
• Para un anillo local noetheriano ( R , m ), los siguientes son equivalentes: ^[21]
  1. R es Cohen–Macaulay.
  2. Para cada ideal de parámetro Q (un ideal generado por un sistema de parámetros ),

     ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$ := la multiplicidad de Hilbert–Samuel de Q .

  3. Para algún parámetro ideal Q , . ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$

(Véase el anillo de Cohen-Macaulay generalizado así como el anillo de Buchsbaum para anillos que generalizan esta caracterización).

El teorema de no mezcla

Un ideal I de un anillo noetheriano A se dice que no tiene altura mixta si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de A / I . (Esto es más fuerte que decir que A / I es equidimensional ; ver más abajo).

Se dice que el teorema de no mezcla es válido para el anillo A si cada ideal I generado por un número de elementos igual a su altura no es mixto. Un anillo noetheriano es de Cohen-Macaulay si y solo si el teorema de no mezcla es válido para él. ^[22]

El teorema no mixto se aplica en particular al ideal cero (un ideal generado por cero elementos) y por lo tanto dice que un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo equidimensional ; de hecho, en el sentido fuerte: no hay ningún componente incorporado y cada componente tiene la misma codimensión.

Véase también: anillo cuasi-no mixto (un anillo en el que el teorema no mixto se cumple para el cierre integral de un ideal ).

Contraejemplos

1. Si K es un cuerpo, entonces el anillo R = K [ x , y ]/( x ² , xy ) (el anillo de coordenadas de una línea con un punto inserto) no es Cohen-Macaulay. Esto se deduce, por ejemplo, de Miracle Flatness : R es finito sobre el anillo polinomial A = K [ y ], con grado 1 sobre los puntos de la línea afín Spec A con y ≠ 0, pero con grado 2 sobre el punto y = 0 (porque el espacio vectorial K K [ x ]/( x ² ) tiene dimensión 2).
2. Si K es un cuerpo, entonces el anillo K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de una línea y un plano) es reducido, pero no equidimensional y, por lo tanto, no es de Cohen-Macaulay. Tomando el cociente por el divisor distinto de cero x − z se obtiene el ejemplo anterior.
3. Si K es un cuerpo, entonces el anillo R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de dos planos que se encuentran en un punto) es reducido y equidimensional, pero no Cohen-Macaulay. Para demostrarlo, se puede utilizar el teorema de conectividad de Hartshorne : si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión al menos 2, entonces Spec R menos su punto cerrado es conexo. ^[23]

El producto Segre de dos anillos de Cohen-Macaulay no necesita ser Cohen-Macaulay. ^[24]

Dualidad de Grothendieck

Un significado de la condición de Cohen-Macaulay puede verse en la teoría de dualidad coherente . Una variedad o esquema X es de Cohen-Macaulay si el "complejo dualizante", que a priori se encuentra en la categoría derivada de haces en X , está representado por un solo haz. La propiedad más fuerte de ser Gorenstein significa que este haz es un fibrado lineal . En particular, todo esquema regular es Gorenstein. Por lo tanto, los enunciados de teoremas de dualidad como la dualidad de Serre o la dualidad local de Grothendieck para los esquemas de Gorenstein o Cohen-Macaulay conservan algo de la simplicidad de lo que sucede para los esquemas regulares o variedades suaves.

Notas

1. Bruns y Herzog, a partir de la definición 2.1.1
2. Eisenbud (1995), Teorema 18.18.
3. Fulton (1993), pág. 89.
4. Kollár & Mori (1998), Teoremas 5.20 y 5.22.
5. Schwede y Tucker (2012), Apéndice C.1.
6. Kollár (2013), (3.4).
7. Honsen, Morten, "Compactificación local de curvas proyectivas de Cohen-Macaulay" (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 5 de marzo de 2020
8. "Lema 31.4.4 (0BXG)—El proyecto Stacks", stacks.math.columbia.edu , consultado el 5 de marzo de 2020
9. Wiegand, Roger (diciembre de 1991), "Singularidades de curvas de tipo finito Cohen-Macaulay", Arkiv för Matematik , 29 (1–2): 339–357, Bibcode :1991ArM....29..339W, doi : 10.1007 /BF02384346 , ISSN  0004-2080
10. La suavidad aquí es de alguna manera extraña y se utiliza en parte para dar sentido a un componente apropiado.
11. Fulton 1998, Proposición 8.2. (b)
12. Bruns y Herzog, Teorema A.22.
13. Eisenbud (1995), Corolario 18.17.
14. Eisenbud (1995), Ejercicio 18.17.
15. Matsumura (1989), Teorema 17.5.
16. Matsumura (1989), Teorema 17.7.
17. Matsumura (1989), Teorema 23.5.; NB: aunque la referencia es algo vaga sobre si se supone que un anillo es local o no, la prueba allí no necesita que el anillo sea local.
18. Matsumura (1989), Teorema 17.3.(ii).
19. Matsumura (1989), Teorema 17.9.
20. Matsumura (1989), Ejercicio 24.2.
21. Matsumura (1989), Teorema 17.11.
22. Matsumura (1989), Teorema 17.6.
23. Eisenbud (1995), Teorema 18.12.
24. Chow, Wei Liang (1964), "Sobre el teorema de no mezcla", American Journal of Mathematics , 86 : 799–822, doi :10.2307/2373158, JSTOR  2373158, MR  0171804

Referencias

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• Cohen, IS (1946), "Sobre la estructura y la teoría ideal de anillos locales completos", Transactions of the American Mathematical Society , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990313, MR  0016094El artículo de Cohen fue escrito cuando "anillo local" significaba lo que ahora se llama un "anillo local noetheriano".
• VI Danilov (2001) [1994], "Anillo de Cohen-Macaulay", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
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• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3, Sr.  1658959
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• Schwede, Karl; Tucker, Kevin (2012), "Un estudio de los ideales de prueba", Progress in Commutative Algebra 2 , Berlín: Walter de Gruyter, págs. 39–99, arXiv : 1104.2000 , Bibcode :2011arXiv1104.2000S, MR  2932591

Enlaces externos

• Ejemplos de dominios integrales de Cohen-Macaulay
• Ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay

Véase también

• Teoría de anillos
• Anillos locales
• Anillos locales de Gorenstein
• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat