Cúspide (singularidad)

En matemáticas , una cúspide , a veces llamada espinoda en textos antiguos, es un punto de una curva en el que un punto en movimiento debe invertir su dirección. En la figura se da un ejemplo típico. Una cúspide es, por tanto, un tipo de punto singular de una curva .

Para una curva plana definida por una ecuación analítica y paramétrica

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

Una cúspide es un punto en el que ambas derivadas de $f$ y $g$ son cero, y la derivada direccional , en la dirección de la tangente , cambia de signo (la dirección de la tangente es la dirección de la pendiente ). Las cúspides son singularidades locales en el sentido de que involucran solo un valor del parámetro $t$ , en contraste con los puntos de autointersección que involucran más de un valor. En algunos contextos, la condición sobre la derivada direccional puede omitirse, aunque, en este caso, la singularidad puede parecer un punto regular. $\lim(g'(t)/f'(t))$

Para una curva definida por una ecuación implícita

F(x,y)=0,

que es suave , las cúspides son puntos donde los términos de menor grado de la expansión de Taylor de $F$ son una potencia de un polinomio lineal ; sin embargo, no todos los puntos singulares que tienen esta propiedad son cúspides. La teoría de series de Puiseux implica que, si $F$ es una función analítica (por ejemplo un polinomio ), un cambio lineal de coordenadas permite parametrizar la curva , en un entorno de la cúspide, como

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

donde $a$ es un número real , $m$ es un entero par positivo y $S$ $($ $t$ $)$ es una serie de potencias de orden $k$ (grado del término distinto de cero del grado más bajo) mayor que $m$ . El número $m$ a veces se denomina orden o multiplicidad de la cúspide, y es igual al grado de la parte distinta de cero del grado más bajo de $F$ . En algunos contextos, la definición de cúspide se restringe al caso de cúspides de orden dos, es decir, el caso donde $m$ $= 2$ .

Las definiciones de curvas planas y curvas definidas implícitamente han sido generalizadas por René Thom y Vladimir Arnold a curvas definidas por funciones diferenciables : una curva tiene una cúspide en un punto si hay un difeomorfismo de un vecindario del punto en el espacio ambiental, que mapea la curva sobre una de las cúspides definidas anteriormente.

Clasificación en geometría diferencial

Consideremos una función suave de valores reales de dos variables , digamos $f (x, y),$ donde $x$ e $y$ son números reales . Por lo tanto, $f$ es una función del plano a la línea. El espacio de todas esas funciones suaves se ve afectado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea, es decir, cambios difeomórficos de coordenadas tanto en la fuente como en el destino . Esta acción divide todo el espacio de funciones en clases de equivalencia , es decir, órbitas de la acción del grupo .

Una de estas familias de clases de equivalencia se denota por ⁠ ⁠ $A_{k}^{\pm},$ donde $k$ es un entero no negativo. Se dice que una función $f es de tipo$ ⁠ ⁠ $A_{k}^{\pm}$ si se encuentra en la órbita de es decir, existe un cambio difeomórfico de coordenadas en la fuente y el destino que lleva a $f$ a una de estas formas. Se dice que estas formas simples dan formas normales para las singularidades de tipo ⁠ ⁠ . Nótese que ⁠ ⁠ son las mismas que ⁠ ⁠ ya que el cambio difeomórfico de coordenadas ⁠ ⁠ en la fuente lleva a Así que podemos eliminar el ± de la notación ⁠ ⁠ . $x^{2}\pm y^{k+1},$ $x^{2}\pm y^{k+1}$ $A_{k}^{\pm}$ $Estilo de visualización A_{2n}^{+}}$ $Estilo de visualización A_{2n}^{-}}$ $(x,y)\to (x,-y)$ $x^{2}+y^{k+1}$ $x^{2}-y^{2n+1}.$ $A_{2n}^{\pm }$

Las cúspides están dadas entonces por los conjuntos de nivel cero de los representantes de las clases de equivalencia $A_{2n}$ , donde $n \geq 1$ es un número entero. ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos

Una cúspide en la parábola semicúbica $y^{2}=x^{3}$

Una cúspide ordinaria está dada por ie el conjunto de nivel cero de una singularidad de tipo A _{2 . Sea}f ( x , y ) una función suave de x e y y supongamos, por simplicidad, que f (0, 0) = 0 . Entonces una singularidad de tipo A ₂ de f en (0, 0) puede caracterizarse por: $x^{2}-y^{3}=0,$
1. Que tiene una parte cuadrática degenerada, es decir, los términos cuadráticos en la serie de Taylor de $f$ forman un cuadrado perfecto, digamos $L (x, y) 2$ , donde $L (x, y)$ es lineal en $x$ e $y$ , y
2. $L (x, y)$ no divide los términos cúbicos en la serie de Taylor de $f (x, y)$ .
Una cúspide rhamfoidea (del griego 'con forma de pico') denotaba originalmente una cúspide tal que ambas ramas están en el mismo lado de la tangente, como para la curva de la ecuación Como tal singularidad está en la misma clase diferencial que la cúspide de la ecuación que es una singularidad de tipo $A$ $4$ , el término se ha extendido a todas esas singularidades. Estas cúspides no son genéricas como las cáusticas y los frentes de onda . La cúspide rhamfoidea y la cúspide ordinaria no son difeomórficas. Una forma paramétrica es $x^{2}-x^{4}-y^{5}=0.$ $x^{2}-y^{5}=0,$ $x=t^{2},\,y=ax^{4}+x^{5}.$

Para una singularidad de tipo $A 4 ,$ necesitamos que $f$ tenga una parte cuadrática degenerada (esto da el tipo $A \geq2$ ), que $L$ divida los términos cúbicos (esto da el tipo $A \geq3$ ), otra condición de divisibilidad (dando el tipo $A \geq4$ ), y una condición final de no divisibilidad (dando el tipo exactamente $A 4$ ).

Para ver de dónde vienen estas condiciones de divisibilidad adicionales, supongamos que $f$ tiene una parte cuadrática degenerada $L 2$ y que $L$ divide los términos cúbicos. De ello se deduce que la serie de Taylor de tercer orden de $f$ está dada por donde $Q$ es cuadrática en $x$ e $y$ . Podemos completar el cuadrado para mostrar que Ahora podemos hacer un cambio de variable difeomórfico (en este caso simplemente sustituimos polinomios con partes lineales linealmente independientes ) de modo que donde $P$ $1$ es cuártico (orden cuatro) en $x$ $1$ e $y$ $1$ . La condición de divisibilidad para el tipo $A$ $\geq4$ es que $x$ $1$ divide $a P$ $1$ . Si $x$ $1$ no divide $a P$ $1$ entonces tenemos exactamente el tipo $A$ $3$ (el conjunto de nivel cero aquí es un tacnodo ). Si $x$ $1$ divide $a P$ $1$ completamos el cuadrado en y cambiamos las coordenadas de modo que tengamos donde $P$ $2$ es quíntico (orden cinco) en $x$ $2$ e $y$ $2$ . Si $x$ $2$ no divide $a P$ $2$ entonces tenemos exactamente el tipo $A$ $4$ , es decir, el conjunto de nivel cero será una cúspide romboidal. $L^{2}\pm LQ,$ $L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.$ $(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{1}^{2}+P_{1}$ $x_{2}^{2}+P_{2}$

Aplicaciones

Una cúspide ordinaria que se presenta como la cáustica de los rayos de luz en el fondo de una taza de té.

Las cúspides aparecen de forma natural cuando se proyecta sobre un plano una curva suave en el espacio euclidiano tridimensional . En general, dicha proyección es una curva cuyas singularidades son los puntos de autocruce y las cúspides ordinarias. Los puntos de autocruce aparecen cuando dos puntos diferentes de las curvas tienen la misma proyección. Las cúspides ordinarias aparecen cuando la tangente a la curva es paralela a la dirección de proyección (es decir, cuando la tangente se proyecta sobre un único punto). Las singularidades más complicadas se producen cuando se producen varios fenómenos simultáneamente. Por ejemplo, las cúspides romboidales se producen para los puntos de inflexión (y para los puntos de ondulación ) para los que la tangente es paralela a la dirección de proyección.

En muchos casos, y típicamente en visión artificial y gráficos por ordenador , la curva que se proyecta es la curva de los puntos críticos de la restricción a un objeto espacial (liso) de la proyección. Una cúspide aparece así como una singularidad del contorno de la imagen del objeto (visión) o de su sombra (gráficos por ordenador).

Las cáusticas y los frentes de onda son otros ejemplos de curvas que tienen cúspides que son visibles en el mundo real.

Véase también

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Referencias

Bruce, JW; Giblin, Peter (1984). Curvas y singularidades . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-42999-3.
Porteous, Ian (1994). Diferenciación geométrica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7.

Enlaces externos

Los físicos ven el cosmos en una taza de café