Grupo unitario

Grupo de matrices unitarias

En matemáticas , el grupo unitario de grado n , denotado U( n ), es el grupo de matrices unitarias n  ×  n , con la operación de grupo de multiplicación de matrices . El grupo unitario es un subgrupo del grupo lineal general GL( n , C ) , y tiene como subgrupo al grupo unitario especial , constituido por aquellas matrices unitarias con determinante 1.

En el caso simple n = 1 , el grupo U(1) corresponde al grupo circular , constituido por todos los números complejos con valor absoluto 1, en virtud de la multiplicación. Todos los grupos unitarios contienen copias de este grupo.

El grupo unitario U( n ) es un grupo de Lie real de dimensión n ² . El álgebra de Lie de U( n ) consiste en matrices antihermíticas n  ×  n , con el corchete de Lie dado por el conmutador .

El grupo unitario general (también llamado grupo de similitudes unitarias ) consiste en todas las matrices A tales que A ^∗ A es un múltiplo distinto de cero de la matriz identidad , y es simplemente el producto del grupo unitario con el grupo de todos los múltiplos positivos de la matriz identidad.

Los grupos unitarios también pueden definirse sobre cuerpos distintos de los números complejos. El grupo hiperortogonal es un nombre arcaico para el grupo unitario, especialmente sobre cuerpos finitos .

Propiedades

Como el determinante de una matriz unitaria es un número complejo con norma 1 , el determinante da un homomorfismo de grupo

${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).}$

El núcleo de este homomorfismo es el conjunto de matrices unitarias con determinante 1. Este subgrupo se denomina grupo unitario especial y se denota por SU( n ) . Tenemos entonces una breve secuencia exacta de grupos de Lie:

${\displaystyle 1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.}$

La función anterior de U( n ) a U(1) tiene una sección: podemos ver a U(1) como el subgrupo de U( n ) que son diagonales con e ^iθ en la esquina superior izquierda y 1 en el resto de la diagonal. Por lo tanto, U( n ) es un producto semidirecto de U(1) con SU( n ) .

El grupo unitario U( n ) no es abeliano para n > 1 . El centro de U( n ) es el conjunto de matrices escalares λI con λ ∈ U(1) ; esto se sigue del lema de Schur . El centro es entonces isomorfo a U(1) . Dado que el centro de U( n ) es un subgrupo normal abeliano unidimensional de U( n ) , el grupo unitario no es semisimple , sino reductivo .

Topología

El grupo unitario U( n ) está dotado de la topología relativa como un subconjunto de M( n , C ) , el conjunto de todas las matrices complejas n × n , que es en sí mismo homeomorfo a un espacio euclidiano ^{bidimensional 2} n .

Como espacio topológico, U( n ) es compacto y conexo . Para demostrar que U( n ) es conexo, recordemos que cualquier matriz unitaria A puede ser diagonalizada por otra matriz unitaria S . Cualquier matriz unitaria diagonal debe tener números complejos de valor absoluto 1 en la diagonal principal. Por lo tanto, podemos escribir

${\displaystyle A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

Un camino en U( n ) desde la identidad hasta A viene dado por

${\displaystyle t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.}$

El grupo unitario no está simplemente conexo ; el grupo fundamental de U( n ) es cíclico infinito para todo n : ^[1]

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .}$

Para ver esto, note que la división anterior de U( n ) como un producto semidirecto de SU( n ) y U(1) induce una estructura de producto topológico en U( n ), de modo que

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).}$

Ahora bien, el primer grupo unitario U(1) es topológicamente un círculo , del que se sabe bien que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z , mientras que es simplemente conexo. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

La función determinante det: U( n ) → U(1) induce un isomorfismo de grupos fundamentales, y la división U(1) → U( n ) induce la inversa.

El grupo de Weyl de U( n ) es el grupo simétrico S _n , que actúa sobre el toro diagonal permutando las entradas:

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)}$

Grupos relacionados

2 de 3 propiedades

El grupo unitario es la triple intersección de los grupos ortogonal , complejo y simpléctico :

${\displaystyle \operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).}$

Por lo tanto, una estructura unitaria puede verse como una estructura ortogonal, una estructura compleja y una estructura simpléctica, que deben ser compatibles (lo que significa que se utiliza la misma J en la estructura compleja y en la forma simpléctica, y que esta J es ortogonal; escribir todos los grupos como grupos matriciales fija una J (que es ortogonal) y asegura la compatibilidad).

De hecho, es la intersección de dos cualesquiera de estos tres; por lo tanto, una estructura ortogonal y compleja compatible induce una estructura simpléctica, y así sucesivamente. ^{[3] [4]}

A nivel de ecuaciones esto se puede ver de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}}$

Cualquiera de estas dos ecuaciones implica la tercera.

A nivel de formas, esto se puede ver al descomponer una forma hermítica en sus partes reales e imaginarias: la parte real es simétrica (ortogonal) y la parte imaginaria es antisimétrica (simpléctica), y estas están relacionadas por la estructura compleja (que es la compatibilidad). En una variedad casi Kähler , se puede escribir esta descomposición como h = g + iω , donde h es la forma hermítica, g es la métrica riemanniana , i es la estructura casi compleja y ω es la estructura casi simpléctica .

Desde el punto de vista de los grupos de Lie , esto puede explicarse en parte de la siguiente manera: O(2 n ) es el subgrupo compacto máximo de GL(2 n , R ) , y U( n ) es el subgrupo compacto máximo de GL( n , C ) y Sp(2 n ). Por lo tanto, la intersección O(2 n ) ∩ GL( n , C ) o O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) es el subgrupo compacto máximo de ambos, por lo que U( n ). Desde esta perspectiva, lo inesperado es la intersección GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Grupos unitarios especiales y unitarios proyectivos

Así como el grupo ortogonal O( n ) tiene como subgrupo al grupo ortogonal especial SO( n ) y como cociente al grupo ortogonal proyectivo PO( n ), y como subcociente al grupo ortogonal especial proyectivo PSO( n ) , el grupo unitario U( n ) tiene asociados al grupo unitario especial SU( n ), al grupo unitario proyectivo PU( n ), y al grupo unitario especial proyectivo PSU( n ). Estos están relacionados como en el diagrama conmutativo de la derecha; en particular, ambos grupos proyectivos son iguales: PSU( n ) = PU( n ) .

Lo anterior es para el grupo unitario clásico (sobre los números complejos); para grupos unitarios sobre campos finitos, se obtienen de manera similar grupos unitarios especiales y unitarios proyectivos, pero en general . ${\displaystyle \operatorname {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatorname {PU} \left(n,q^{2}\right)}$

Estructura G: casi hermítica

En el lenguaje de las G-estructuras , una variedad con una U( n )-estructura es una variedad casi hermítica .

Generalizaciones

Desde el punto de vista de la teoría de Lie , el grupo unitario clásico es una forma real del grupo de Steinberg , que es un grupo algebraico que surge de la combinación del automorfismo de diagrama del grupo lineal general (invirtiendo el diagrama de Dynkin A _n , que corresponde a la transposición inversa) y el automorfismo de cuerpo de la extensión C / R (es decir, conjugación compleja ). Ambos automorfismos son automorfismos del grupo algebraico, tienen orden 2 y conmutan, y el grupo unitario son los puntos fijos del automorfismo del producto, como un grupo algebraico. El grupo unitario clásico es una forma real de este grupo, correspondiente a la forma hermítica estándar Ψ, que es definida positiva. ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

Esto se puede generalizar de varias maneras:

• generalizando a otras formas hermíticas se obtienen grupos unitarios indefinidos U( p , q ) ;
• La extensión del campo puede ser reemplazada por cualquier álgebra separable de grado 2, más notablemente una extensión de grado 2 de un campo finito;
• Generalizando a otros diagramas se obtienen otros grupos de tipo Lie , a saber, los otros grupos de Steinberg (además de ) y los grupos de Suzuki-Ree ${\displaystyle {}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},}$ ${\displaystyle {}^{2}\!A_{n}}$

  ${\displaystyle {}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);}$

• Considerando un grupo unitario generalizado como un grupo algebraico, se pueden tomar sus puntos sobre varias álgebras.

Formas indefinidas

De manera análoga a los grupos ortogonales indefinidos , se puede definir un grupo unitario indefinido , considerando las transformadas que preservan una forma hermítica dada, no necesariamente definida positiva (pero generalmente considerada como no degenerada). Aquí se trabaja con un espacio vectorial sobre los números complejos.

Dada una forma hermítica Ψ en un espacio vectorial complejo V , el grupo unitario U(Ψ) es el grupo de transformadas que preservan la forma: la transformada M tal que Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) para todo v , w ∈ V . En términos de matrices, representando la forma por una matriz denotada Φ, esto dice que M ^∗ Φ M = Φ .

Al igual que para las formas simétricas sobre los números reales, las formas hermíticas están determinadas por la signatura , y todas son unitariamente congruentes con una forma diagonal con p entradas de 1 en la diagonal y q entradas de −1. El supuesto de no degeneración es equivalente a p + q = n . En una base estándar, esto se representa como una forma cuadrática como:

${\displaystyle \lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}}$

y como forma simétrica como:

${\displaystyle \Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.}$

El grupo resultante se denota U( p , q ) .

Campos finitos

Sobre el cuerpo finito con q = p ^r elementos, F _q , existe un cuerpo de extensión cuadrático único, F _{q ²} , con automorfismo de orden 2 (la potencia r del automorfismo de Frobenius ). Esto permite definir una forma hermítica sobre un espacio vectorial F _{q ²} V , como una función F _q -bilineal tal que y para c ∈ F _{q ²} . ^{[ aclaración necesaria ]} Además, todas las formas hermíticas no degeneradas sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo finito son unitariamente congruentes con la estándar, representada por la matriz identidad; es decir, cualquier forma hermítica es unitariamente equivalente a ${\displaystyle \alpha \colon x\mapsto x^{q}}$ ${\displaystyle \Psi \colon V\times V\to K}$ ${\displaystyle \Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)}$ ${\displaystyle \Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)}$

${\displaystyle \Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}}$

donde representan las coordenadas de w , v ∈ V en alguna base F _{q ²} particular del espacio n -dimensional V (Grove 2002, Teoría 10.3). ${\displaystyle w_{i},v_{i}}$

Así, se puede definir un grupo unitario (único) de dimensión n para la extensión F _{q ²} / F _q , denotado como U( n , q ) o U( n , q ² ) dependiendo del autor. El subgrupo del grupo unitario que consiste en matrices de determinante 1 se llama grupo unitario especial y se denota SU( n , q ) o SU( n , q ² ) . Por conveniencia, este artículo utilizará la convención U( n , q ² ) . El centro de U( n , q ² ) tiene orden q + 1 y consiste en las matrices escalares que son unitarias, es decir, aquellas matrices cI _V con . El centro del grupo unitario especial tiene orden mcd( n , q + 1) y consiste en aquellos escalares unitarios que también tienen orden que divide a n . El cociente del grupo unitario por su centro se llama grupo unitario proyectivo , PU( n , q ² ) , y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial proyectivo PSU( n , q ² ) . En la mayoría de los casos ( n > 1 y ( n , q ² ) ∉ {(2, 2 ² ), (2, 3 ² ), (3, 2 ² )} ), SU( n , q 2 ) es un grupo perfecto y PSU( n , q ² ) es un grupo simple finito , ( ^Grove 2002 , Teoría 11.22 y 11.26). ${\displaystyle c^{q+1}=1}$

Álgebras separables de grado 2

De manera más general, dado un campo k y una k-álgebra K separable de grado 2 ( que puede ser una extensión del campo pero no necesariamente), se pueden definir grupos unitarios con respecto a esta extensión.

En primer lugar, existe un k -automorfismo único de K que es una involución y fija exactamente k ( si y sólo si a ∈ k ). ^[5] Esto generaliza la conjugación compleja y la conjugación de extensiones de campo finito de grado 2, y permite definir formas hermíticas y grupos unitarios como los anteriores. ${\displaystyle a\mapsto {\bar {a}}}$ ${\displaystyle a={\bar {a}}}$

Grupos algebraicos

Las ecuaciones que definen un grupo unitario son ecuaciones polinómicas sobre k (pero no sobre K ): para la forma estándar Φ = I , las ecuaciones se dan en matrices como A ^∗ A = I , donde es la transpuesta conjugada . Dada una forma diferente, son A ^∗ Φ A = Φ . El grupo unitario es, por tanto, un grupo algebraico , cuyos puntos sobre una k -álgebra R se dan por: ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.}$

Para la extensión de campo C / R y la forma hermítica estándar (definida positiva), estos producen un grupo algebraico con puntos reales y complejos dados por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}}$

De hecho, el grupo unitario es un grupo algebraico lineal .

Grupo unitario de un módulo cuadrático

El grupo unitario de un módulo cuadrático es una generalización del grupo algebraico lineal U que acabamos de definir, que incorpora como casos especiales muchos grupos algebraicos clásicos diferentes . La definición se remonta a la tesis de Anthony Bak. ^[6]

Para definirlo, primero hay que definir los módulos cuadráticos:

Sea R un anillo con antiautomorfismo J , tal que para todo r en R y . Definir ${\displaystyle \varepsilon \in R^{\times }}$ ${\displaystyle r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}}$

Sea Λ ⊆ R un subgrupo aditivo de R , entonces Λ se llama parámetro de forma si y . Un par ( R , Λ) tal que R es un anillo y Λ un parámetro de forma se llama anillo de forma . ${\displaystyle \Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}}$ ${\displaystyle r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda }$

Sea M un R -módulo y f una forma J -sesquilineal en M (es decir, para cualquier y ). Definamos y , entonces se dice que f define la forma Λ-cuadrática ( h , q ) en M . Un módulo cuadrático sobre ( R , Λ) es una tripleta ( M , h , q ) tal que M es un R -módulo y ( h , q ) es una forma Λ-cuadrática. ${\displaystyle f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle r,s\in R}$ ${\displaystyle h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R}$ ${\displaystyle q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda }$

A cualquier módulo cuadrático ( M , h , q ) definido por una forma J -sesquilínea f en M sobre un anillo de formas ( R , Λ) se le puede asociar el grupo unitario

${\displaystyle U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.}$

El caso especial donde Λ = Λ _max , con J cualquier involución no trivial (es decir, y ε = −1 devuelve el grupo unitario "clásico" (como un grupo algebraico). ${\displaystyle J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}}$

Invariantes polinomiales

Los grupos unitarios son los automorfismos de dos polinomios en variables reales no conmutativas:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}}$

Se puede ver fácilmente que estas son las partes real e imaginaria de la forma compleja . Los dos invariantes por separado son invariantes de O(2 n ) y Sp(2 n ). Combinados forman los invariantes de U( n ), que es un subgrupo de ambos grupos. Las variables deben ser no conmutativas en estos invariantes, de lo contrario el segundo polinomio es idénticamente cero. ${\displaystyle Z{\overline {Z}}}$

Clasificando el espacio

El espacio de clasificación para U( n ) se describe en el artículo Espacio de clasificación para U( n ) .

Véase también

• Grupo unitario especial
• Grupo unitario proyectivo
• Grupo ortogonal
• Grupo simpléctico

Notas

1. Propuesta 13.11 del Salón 2015
2. Propuesta 13.11 del Salón 2015
3. Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (segunda edición). Springer. pág. 225.
4. Baez, John. «Simpléctico, cuaterniónico, fermiónico» . Consultado el 1 de febrero de 2012 .
5. Milne, Grupos algebraicos y grupos aritméticos, pág. 103
6. Bak, Anthony (1969), "Sobre módulos con formas cuadráticas", Teoría K algebraica y sus aplicaciones geométricas (editores: Moss RMF, Thomas CB), Lecture Notes in Mathematics, vol. 108, págs. 55-66, Springer. doi :10.1007/BFb0059990

Referencias

• Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Graduate Studies in Mathematics , vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, Sr.  1859189
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666