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*-álgebra

En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , una *-álgebra (o álgebra involutiva ; leída como "álgebra en estrella") es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos R y A , donde R es conmutativo y A tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre R. Las álgebras involutivas generalizan la idea de un sistema numérico dotado de conjugación, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja , matrices sobre los números complejos y transpuesta conjugada , y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y adjuntos hermíticos . Sin embargo, puede suceder que un álgebra no admita involución . [a]

Definiciones

*-anillo

En matemáticas , un *-anillo es un anillo con una función *: AA que es un antiautomorfismo y una involución .

Más precisamente, se requiere que * satisfaga las siguientes propiedades: [1]

para todo x ,  y en A .

También se denomina anillo involutivo , anillo involutivo y anillo con involución . El tercer axioma está implícito en el segundo y cuarto axiomas, lo que lo hace redundante.

Los elementos tales que x * = x se denominan autoadjuntos . [2]

Ejemplos arquetípicos de un *-anillo son los cuerpos de números complejos y números algebraicos con conjugación compleja como involución. Se puede definir una forma sesquilínea sobre cualquier *-anillo.

Además, se pueden definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos , con el requisito de que sean * -invariantes : xIx * ∈ I y así sucesivamente.


Los *-anillos no están relacionados con los semianillos estelares en la teoría de la computación.

*-álgebra

Un *-álgebra A es un *-anillo, [b] con involución * que es un álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo R con involución , tal que ( r x )* = r x * ∀ rR , xA . [3]

El anillo base * R es a menudo el de los números complejos (con actuando como conjugación compleja).

De los axiomas se deduce que * en A es conjugado-lineal en R , lo que significa

( λ x + μ y )* = λ x * + μ y *

para λ ,  μR , x ,  yA .

Un *-homomorfismo f  : AB es un homomorfismo algebraico que es compatible con las involuciones de A y B , es decir,

Filosofía de la operación *

La operación * en un *-anillo es análoga a la conjugación compleja en los números complejos. La operación * en un *-álgebra es análoga a tomar adjuntos en álgebras de matrices complejas .

Notación

La involución * es una operación unaria escrita con un glifo de estrella posfijo centrado encima o cerca de la línea media :

xx * , o
xx ( TeX :x^*),

pero no como " x "; consulte el artículo sobre el asterisco para obtener más detalles.

Ejemplos

Las álgebras de Hopf involutivas son ejemplos importantes de *-álgebras (con la estructura adicional de una comultiplicación compatible ); el ejemplo más conocido es:

No-ejemplo

No todas las álgebras admiten una involución:

Consideremos las matrices 2×2 sobre los números complejos. Consideremos la siguiente subálgebra:

Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma: [4] para cualquier número complejo .

De ello se deduce que cualquier antiautomorfismo no trivial no es involutivo:

Concluyendo que el subálgebra no admite involución.

Estructuras adicionales

Muchas propiedades de la transpuesta son válidas para las *-álgebras generales:

Estructuras sesgadas

Dado un *-anillo, también existe la función −* : x ↦ − x * . No define una estructura de *-anillo (a menos que la característica sea 2, en cuyo caso −* es idéntico al * original), ya que 1 ↦ −1 , ni es antimultiplicativo, pero satisface los otros axiomas (lineal, involución) y, por lo tanto, es bastante similar al *-álgebra donde xx * .

Los elementos fijados por este mapa (es decir, tales que a = − a * ) se denominan hermíticos sesgados .

Para los números complejos con conjugación compleja, los números reales son los elementos hermíticos y los números imaginarios son los hermíticos antihorarios.

Véase también

Notas

  1. ^ En este contexto, se entiende por involución un antiautomorfismo involutivo, también conocido como antiinvolución .
  2. ^ La mayoría de las definiciones no requieren que un *-álgebra tenga la unidad , es decir, solo se permite que un *-álgebra sea un * -rng .

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. (2015). "Álgebra C-Star". Wolfram MathWorld .
  2. ^ abc Baez, John (2015). "Octoniones". Departamento de Matemáticas . Universidad de California, Riverside. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015 .
  3. ^ Álgebra estelar en el laboratorio n
  4. ^ Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). "Semigrupos, antiautomorfismos e involuciones: una solución informática a un problema abierto, I". Matemáticas de la computación . 37 (156): 533–545. doi :10.2307/2007445. ISSN  0025-5718.