Paul Erdős ( húngaro : Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] ; 26 de marzo de 1913 - 20 de septiembre de 1996) fue un matemático húngaro. Fue uno de los matemáticos y productores de conjeturas matemáticas [2] más prolíficos del siglo XX. [3] Erdős persiguió y propuso problemas en matemáticas discretas , teoría de grafos , teoría de números , análisis matemático , teoría de aproximación , teoría de conjuntos y teoría de probabilidades . [4] Gran parte de su trabajo se centró en matemáticas discretas, resolviendo muchos problemas previamente no resueltos en este campo. Defendió y contribuyó a la teoría de Ramsey , que estudia las condiciones en las que necesariamente aparece el orden. En general, su trabajo se inclinó hacia la resolución de problemas previamente abiertos , en lugar de desarrollar o explorar nuevas áreas de las matemáticas.
Erdős publicó alrededor de 1.500 artículos matemáticos durante su vida, una cifra que sigue siendo insuperable. [5] Creía firmemente que las matemáticas eran una actividad social, viviendo un estilo de vida itinerante con el único propósito de escribir artículos matemáticos con otros matemáticos. Fue conocido tanto por su práctica social de las matemáticas, trabajando con más de 500 colaboradores, como por su excéntrico estilo de vida; La revista Time lo llamó "El bicho raro del bicho raro". [6] Dedicó sus horas de vigilia a las matemáticas, incluso hasta sus últimos años; de hecho, su muerte se produjo en una conferencia de matemáticas en Varsovia . [7] La prolífica producción de Erdős con coautores impulsó la creación del número de Erdős , el número de pasos en el camino más corto entre un matemático y Erdős en términos de coautorías.
Paul Erdős nació el 26 de marzo de 1913, en Budapest , Austria-Hungría , [8] el único hijo superviviente de Anna ( de soltera Wilhelm) y Lajos Erdős (de soltera Engländer). [9] [10] Sus dos hermanas, de tres y cinco años, murieron de escarlatina unos días antes de que él naciera. [11] Sus padres, ambos judíos , eran profesores de matemáticas de secundaria. Su fascinación por las matemáticas se desarrolló temprano. Fue criado en parte por una institutriz alemana [12] porque su padre estuvo cautivo en Siberia como prisionero de guerra austrohúngaro durante 1914-1920, [10] lo que provocó que su madre tuviera que trabajar muchas horas para mantener a su familia. Su padre había aprendido inglés por su cuenta mientras estaba en cautiverio, pero pronunciaba mal muchas palabras. Más tarde, cuando Lajos le enseñó a su hijo a hablar inglés, Paul aprendió la pronunciación de su padre, que continuó usando por el resto de su vida. [13]
Aprendió por sí mismo a leer textos de matemáticas que sus padres dejaban en su casa. A la edad de cinco años, dada la edad de una persona, podía calcular mentalmente cuántos segundos había vivido. [12] Debido a la muerte de sus hermanas, tenía una relación cercana con su madre, y los dos supuestamente compartieron la misma cama hasta que él se fue a la universidad. [14] [15]
Cuando tenía 16 años, su padre le presentó dos temas que se convertirían en sus favoritos de toda la vida: las series infinitas y la teoría de conjuntos . En la escuela secundaria, Erdős se convirtió en un apasionado solucionador de los problemas que aparecían cada mes en KöMaL , la "Revista de física y matemáticas para escuelas secundarias". [dieciséis]
Erdős comenzó a estudiar en la Universidad de Budapest cuando tenía 17 años después de ganar un examen nacional. En aquella época, la admisión de judíos en las universidades húngaras estaba severamente restringida en virtud del numerus clausus . [13] [17] Cuando tenía 20 años, había encontrado una prueba para el teorema de Chebyshev . [17] En 1934, a la edad de 21 años, obtuvo un doctorado en matemáticas. [17] El asesor de tesis de Erdős fue Lipót Fejér , quien también fue asesor de tesis de John von Neumann , George Pólya y Paul (Pál) Turán . Aceptó una beca postdoctoral en Manchester , ya que los judíos en Hungría sufrían opresión bajo el régimen autoritario . Mientras estuvo allí conoció a Godfrey Harold Hardy y Stan Ulam . [13]
Como era judío, Erdős decidió que Hungría era peligrosa y abandonó el país, trasladándose a los Estados Unidos en 1938. [17] Muchos miembros de la familia de Erdős, incluidos dos de sus tías, dos de sus tíos y su padre, murieron en Budapest. Durante la Segunda Guerra Mundial. Su madre fue la única que sobrevivió. En ese momento vivía en Estados Unidos y trabajaba en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. [17] [18] Sin embargo, su beca en Princeton solo se extendió por 6 meses en lugar del año esperado debido a que Erdős no se ajustaba a los estándares del lugar; lo encontraron "grosero y poco convencional". [13]
Descrito por su biógrafo, Paul Hoffman, como "probablemente el matemático más excéntrico del mundo", Erdős pasó la mayor parte de su vida adulta viviendo en una maleta . [19] Excepto algunos años de la década de 1950, cuando no se le permitió ingresar a los Estados Unidos por la acusación de que era simpatizante comunista, su vida fue una serie continua de ir de una reunión o seminario a otro. [19] Durante sus visitas, Erdős esperaba que sus anfitriones lo alojaran, lo alimentaran y lavaran su ropa, junto con cualquier otra cosa que necesitara, así como que se encargaran de que llegara a su próximo destino. [19]
Ulam dejó su puesto en la Universidad de Wisconsin-Madison en 1943 para trabajar en el Proyecto Manhattan en Los Alamos, Nuevo México, con otros matemáticos y físicos. Invitó a Erdős a unirse al proyecto, pero la invitación fue retirada cuando Erdős expresó su deseo de regresar a Hungría después de la guerra. [13]
El 20 de septiembre de 1996, a la edad de 83 años, sufrió un infarto y murió mientras asistía a una conferencia en Varsovia . [20] Estas circunstancias se acercaban a la forma en que quería morir. Dijo en una ocasión,
Quiero estar dando una conferencia, terminando una prueba importante en la pizarra, cuando alguien del público grita: "¿Qué pasa con el caso general?". Me volveré hacia el público y sonreiré: 'Eso se lo dejaré a la próxima generación', y luego me desplomaré. [20]
Erdős nunca se casó y no tuvo hijos. [9] Está enterrado junto a su madre y su padre en la tumba 17A-6-29 en el cementerio judío de la calle Kozma en Budapest. [21] Para su epitafio , sugirió "Finalmente dejé de volverme más tonto". (húngaro: "Végre nem butulok tovább" ). [22]
El nombre de Erdős contiene la letra húngara " ő " ("o" con doble acento agudo ), pero a menudo se escribe incorrectamente como Erdos o Erdös "por error o por necesidad tipográfica". [23]
En 1934, Erdős se mudó a Manchester , Inglaterra, para ser profesor invitado. En 1938, aceptó su primer puesto estadounidense como becario en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, durante los siguientes diez años. A pesar de los destacados trabajos con Mark Kac y Aurel Wintner sobre teoría probabilística de números , Pál Turán sobre teoría de aproximación y Witold Hurewicz sobre teoría de dimensiones, su beca no continuó y Erdős se vio obligado a ocupar puestos como académico errante en la UPenn , Notre Dame. , Purdue , Stanford y Siracusa . [24] No permanecería mucho tiempo en un solo lugar, sino que viajaría entre instituciones matemáticas hasta su muerte.
Como resultado del miedo rojo y el macartismo , [25] [26] [27] en 1954, el Servicio de Inmigración y Naturalización le negó a Erdős, un ciudadano húngaro, una visa de reingreso a los Estados Unidos. [28] Enseñando en la Universidad de Notre Dame en ese momento, Erdős podría haber elegido permanecer en el país. En cambio, hizo las maletas y se fue, aunque solicitó reconsideración a los Servicios de Inmigración de Estados Unidos a intervalos periódicos. En algún momento se mudó a vivir a Israel y le dieron un puesto durante tres meses en la Universidad Hebrea de Jerusalén y luego un puesto de "profesor visitante permanente" en el Technion.
Hungría en ese momento estaba bajo el Pacto de Varsovia con la Unión Soviética . Aunque Hungría limitó la libertad de sus propios ciudadanos para entrar y salir del país, en 1956 le dio a Erdős el privilegio exclusivo de poder entrar y salir del país cuando quisiera.
En 1963, el Servicio de Inmigración de Estados Unidos le concedió una visa a Erdős y este reanudó la enseñanza y los viajes a instituciones estadounidenses. Diez años más tarde, en 1973, Erdős, de 60 años, abandonó voluntariamente Hungría. [29]
Durante las últimas décadas de su vida, Erdős recibió al menos quince doctorados honoris causa. Se convirtió en miembro de las academias científicas de ocho países, incluida la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos y la Royal Society del Reino Unido . [30] Se convirtió en miembro extranjero de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos en 1977. [31] Poco antes de su muerte, renunció a su título honorífico de la Universidad de Waterloo por lo que consideraba un trato injusto hacia su colega Adrian Bondy. . [32] [33]
Erdős fue uno de los editores de artículos más prolíficos en historia de las matemáticas, comparable sólo con Leonhard Euler ; Erdős publicó más artículos, principalmente en colaboración con otros matemáticos, mientras que Euler publicó más páginas, principalmente por sí mismo. [34] Erdős escribió alrededor de 1.525 artículos matemáticos durante su vida, [35] en su mayoría con coautores. Creía firmemente y practicaba las matemáticas como actividad social, [36] teniendo 511 colaboradores diferentes a lo largo de su vida. [37]
En su estilo matemático, Erdős era mucho más un "solucionador de problemas" que un "desarrollador de teorías" (ver "Las dos culturas de las matemáticas" [38] de Timothy Gowers para una discusión en profundidad de los dos estilos y por qué los solucionadores son quizás menos apreciados). Joel Spencer afirma que "su lugar en el panteón matemático del siglo XX es motivo de cierta controversia porque se concentró resueltamente en teoremas y conjeturas particulares a lo largo de su ilustre carrera". [39] Erdős nunca ganó el premio matemático más importante, la Medalla Fields , ni fue coautor de un artículo con nadie que lo hiciera, [40] un patrón que se extiende a otros premios. [41] Ganó el Premio Wolf , "por sus numerosas contribuciones a la teoría de números , la combinatoria , la probabilidad , la teoría de conjuntos y el análisis matemático , y por estimular personalmente a los matemáticos de todo el mundo". [42] Por el contrario, las obras de los tres ganadores posteriores fueron reconocidas como "sobresalientes", "clásicas" y "profundas", y las tres anteriores como "fundamentales" o "seminales".
De sus aportaciones destaca especialmente el desarrollo de la teoría de Ramsey y la aplicación del método probabilístico . La combinatoria extrema le debe todo un enfoque, derivado en parte de la tradición de la teoría analítica de números . Erdős encontró una prueba del postulado de Bertrand que resultó ser mucho más clara que la original de Chebyshev . También descubrió , junto con Atle Selberg , la primera prueba elemental del teorema de los números primos . Sin embargo, las circunstancias que llevaron a las pruebas, así como los desacuerdos en la publicación, provocaron una amarga disputa entre Erdős y Selberg. [43] [44] Erdős también contribuyó a campos en los que tenía poco interés real, como la topología , donde se le atribuye ser la primera persona en dar un ejemplo de un espacio topológico totalmente desconectado que no es de dimensión cero , el Erdős. espacio . [45]
Erdős tenía fama de plantear nuevos problemas y de resolver los existentes; Ernst Strauss lo llamó "el monarca absoluto de los que plantean problemas". [7] A lo largo de su carrera, Erdős ofrecería pagos por soluciones a problemas no resueltos. [46] Estos iban desde $25 para problemas que él sentía que estaban fuera del alcance del pensamiento matemático actual (tanto el suyo como el de otros) hasta $10,000 [47] para problemas que eran a la vez difíciles de atacar y matemáticamente significativos. Algunos de estos problemas se han resuelto desde entonces, incluido el más lucrativo: la conjetura de Erdős sobre las brechas primas se resolvió en 2014 y se pagaron los 10.000 dólares. [48]
Se cree que quedan al menos mil problemas sin resolver, aunque no existe una lista oficial o exhaustiva. Las ofertas se mantuvieron activas a pesar de la muerte de Erdős; Ronald Graham era el administrador (informal) de las soluciones, y un solucionador podía recibir un cheque original firmado por Erdős antes de su muerte (solo como recuerdo, no se puede cobrar) o un cheque canjeable de Graham. [49] [ necesita actualización ]
Quizás el más notable matemáticamente de estos problemas sea la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas :
Si la suma de los recíprocos de una secuencia de números enteros diverge , entonces la secuencia contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria.
De ser cierto, resolvería varios otros problemas abiertos en la teoría de números (aunque una implicación principal de la conjetura, que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas, se ha demostrado desde entonces de forma independiente como el teorema de Green-Tao ). El pago por la solución del problema asciende actualmente a 5.000 dólares estadounidenses. [50]
El problema más familiar con un premio de Erdős es probablemente la conjetura de Collatz , también llamada problema 3 N + 1. Erdős ofreció 500 dólares por una solución.
Los colaboradores más frecuentes de Erdős incluyen a los matemáticos húngaros András Sárközy (62 artículos) y András Hajnal (56 artículos), y al matemático estadounidense Ralph Faudree (50 artículos). Otros colaboradores frecuentes fueron los siguientes: [51]
Para otros coautores de Erdős, consulte la lista de personas con el número 1 de Erdős en Lista de personas por número de Erdős .
Debido a su prolífica producción, sus amigos crearon el número de Erdős como tributo. Un número Erdős describe el grado de separación de una persona del propio Erdős, en función de su colaboración con él o con otra persona que tenga su propio número Erdős. Solo a Erdős se le asignó el número Erdős de 0 (por ser él mismo), mientras que sus colaboradores inmediatos podían reclamar un número Erdős de 1, sus colaboradores tienen el número Erdős como máximo 2, y así sucesivamente. Aproximadamente 200.000 matemáticos tienen asignado un número de Erdős, [52] y algunos han estimado que el 90 por ciento de los matemáticos activos del mundo tienen un número de Erdős menor que 8 (lo que no sorprende a la luz del fenómeno del mundo pequeño ). Gracias a la colaboración con matemáticos, muchos científicos en campos como la física, la ingeniería, la biología y la economía también tienen números de Erdő. [53]
Varios estudios han demostrado que los principales matemáticos tienden a tener números de Erdős particularmente bajos. [54] Por ejemplo, los aproximadamente 268.000 matemáticos con un número de Erdős conocido tienen un valor mediano de 5. [55] En contraste, el número medio de Erdős de medallistas Fields es 3. [56] A partir de 2015, aproximadamente 11.000 matemáticos tienen un número de Erdős conocido. Número Erdős de 2 o menos. [57] [58] Las distancias de colaboración necesariamente aumentarán en escalas de tiempo largas, a medida que los matemáticos con números de Erdős bajos mueran y dejen de estar disponibles para la colaboración. La Sociedad Estadounidense de Matemáticas proporciona una herramienta en línea gratuita para determinar el número de Erdős de cada autor matemático incluido en el catálogo de Mathematical Reviews . [59]
El número de Erdős probablemente fue definido por primera vez por Casper Goffman, [60] un analista cuyo propio número de Erdős es 2. [61] Goffman publicó sus observaciones sobre la prolífica colaboración de Erdős en un artículo de 1969 titulado "¿Y cuál es su número de Erdős?" [62]
Jerry Grossman ha escrito que se podría argumentar que se puede considerar que el miembro del Salón de la Fama del Béisbol Hank Aaron tiene un número Erdős de 1 porque ambos autografiaron la misma pelota de béisbol (para Carl Pomerance ) cuando la Universidad Emory les otorgó títulos honoríficos el mismo día. [63] También se han propuesto números de Erdő para un bebé, un caballo y varios actores. [64]
Otro techo, otra prueba.
— Paul Erdős [65]
Las posesiones significaban poco para Erdős; la mayoría de sus pertenencias cabrían en una maleta, como dicta su estilo de vida itinerante. Los premios y otras ganancias generalmente se donaban a personas necesitadas y a diversas causas valiosas. Pasó la mayor parte de su vida viajando entre congresos científicos, universidades y casas de colegas de todo el mundo. Obtuvo suficientes estipendios de universidades como profesor invitado y de varios premios de matemáticas para financiar sus viajes y sus necesidades básicas; El dinero sobrante lo utilizó para financiar premios en efectivo por pruebas de los "problemas de Erdős" (ver arriba). Por lo general, aparecía en la puerta de un colega y anunciaba "mi cerebro está abierto", permaneciendo el tiempo suficiente para colaborar en algunos artículos antes de seguir adelante unos días después. En muchos casos, le preguntaba al colaborador actual a quién visitaría a continuación.
Su colega Alfréd Rényi dijo que "un matemático es una máquina para convertir el café en teoremas", [66] y Erdős bebió grandes cantidades; esta cita a menudo se atribuye incorrectamente a Erdős, [67] pero el propio Erdős se la atribuyó a Rényi. [68] Después de la muerte de su madre en 1971, comenzó a tomar antidepresivos y anfetaminas, a pesar de la preocupación de sus amigos, uno de los cuales ( Ron Graham ) le apostó 500 dólares a que no podría dejar de tomarlos durante un mes. Erdős ganó la apuesta, pero se quejó de que esto afectó a su rendimiento: "Me demostraste que no soy un adicto. Pero no hice ningún trabajo. Me levantaba por la mañana y me quedaba mirando una pieza en blanco". "No tendría ideas, como una persona común y corriente. Has retrasado un mes las matemáticas". [69] Después de ganar la apuesta, rápidamente reanudó el uso de Ritalin y Benzedrina . [70]
Tenía su propio vocabulario idiosincrásico; aunque ateo agnóstico , [71] [72] habló de "El Libro", una visualización de un libro en el que Dios había escrito las mejores y más elegantes pruebas de los teoremas matemáticos. [73] En una conferencia en 1985, dijo: "No tienes que creer en Dios, pero debes creer en El Libro ". Él mismo dudaba de la existencia de Dios, a quien llamaba el "Fascista Supremo" (SF). [74] [75] Acusó a SF de ocultar sus calcetines y pasaportes húngaros , y de guardarse las pruebas matemáticas más elegantes para sí mismo. Cuando veía una prueba matemática particularmente hermosa , exclamaba: "¡Ésta es del Libro !" Esto inspiró más tarde un libro titulado Pruebas del libro .
Otros elementos idiosincrásicos del vocabulario de Erdős incluyen: [70]
Dio apodos a muchos países, por ejemplo: Estados Unidos era "samland" (después del Tío Sam ) [70] y la Unión Soviética era "joedom" (después de Joseph Stalin ). [70] Afirmó que el hindi era el mejor idioma porque las palabras para vejez ( bud̩d̩hā ) y estupidez ( buddhū ) sonaban casi igual. [77]
Erdős firmó con su nombre "Paul Erdos PGOM". Cuando cumplió 60 años, añadió "LD", a los 65 "AD", a los 70 "LD" (nuevamente) y a los 75 "CD" [77]
Erdős es el tema de al menos tres libros: dos biografías ( El hombre que amaba sólo los números, de Hoffman , y Mi cerebro está abierto , de Schechter , ambos publicados en 1998) y un libro ilustrado para niños de 2013 escrito por Deborah Heiligman ( El niño que amaba las matemáticas: La improbable vida de Paul Erdős ). [80]
También es el tema del documental biográfico N is a Number: A Portrait of Paul Erdős de George Csicsery , [81] realizado cuando aún estaba vivo.
En 2021, el planeta menor ( asteroide ) 405571 (designado temporalmente 2005 QE87) fue nombrado formalmente "Erdőspál" para conmemorar a Erdős, y la cita lo describe como "un matemático húngaro, gran parte de cuyo trabajo se centró en matemáticas discretas. Su trabajo se inclinó hacia la resolución problemas previamente abiertos, en lugar de desarrollar o explorar nuevas áreas de las matemáticas". [82] El nombre fue propuesto por "K. Sárneczky, Z. Kuli" (siendo Kuli el descubridor del asteroide).
Con gran pesar siento que debo romper mis vínculos con la Universidad de Waterloo, incluso renunciar a mi título honorífico que recibí de la Universidad en 1981 (lo que me causó un gran placer). Me molestó mucho el trato dado al profesor Adrian Bondy. No sostengo que el profesor Bondy fuera inocente, pero en vista de sus logros y distinguidos servicios a la Universidad, creo que "la justicia debe moderarse con la misericordia".
En sus propias palabras, "No estoy calificado para decir si Dios existe o no. Dudo un poco que exista. Sin embargo, siempre digo que la ciencia ficción tiene este libro transfinito que contiene las mejores pruebas de todos los teoremas matemáticos. pruebas elegantes y perfectas... No es necesario creer en Dios, pero sí en el Libro".
Dudo un poco que Él [exista]. Sin embargo, siempre digo que la ciencia ficción tiene este Libro transfinito... que contiene las mejores demostraciones de todos los teoremas, demostraciones elegantes y perfectas... No es necesario creer en Dios, pero sí creer. en el libro.
Erdös, un ateo, llamó "el Libro" al lugar donde Dios guarda pruebas estéticamente perfectas.
