En teoría de números y teoría de conjuntos , el problema de superposición mínima es un problema propuesto por el matemático húngaro Paul Erdős en 1955. [1] [2]
Sean A = { a i } y B = { b j } dos subconjuntos complementarios , una división del conjunto de números naturales {1, 2,…, 2 n } , tal que ambos tienen la misma cardinalidad , es decir, n . Denota por M k el número de soluciones de la ecuación a i − b j = k , donde k es un número entero que varía entre −2 n y 2 n . M ( n ) se define como:
El problema es estimar M ( n ) cuando n es suficientemente grande. [2]
Este problema se puede encontrar entre los problemas propuestos por Paul Erdős en teoría combinatoria de números , conocido por los angloparlantes como problema de superposición mínima . Se formuló por primera vez en el artículo de 1955 Algunas observaciones sobre la teoría de números [3] (en hebreo) en Riveon Lematematica, y se ha convertido en uno de los problemas clásicos descritos por Richard K. Guy en su libro Problemas sin resolver en teoría de números . [1]
Desde que se formuló por primera vez, se ha avanzado continuamente en el cálculo de los límites inferiores y superiores de M ( n ) , con los siguientes resultados: [1] [2]
JK Haugland demostró que el límite de M ( n )/ n existe y que es menor que 0,385694. Por su investigación, recibió un premio en un concurso de jóvenes científicos en 1993. [4] En 1996, mejoró el límite superior a 0,38201 utilizando un resultado de Peter Swinnerton-Dyer . [5] [2] Esto ahora se ha mejorado aún más a 0,38093. [6] En 2022, EP White demostró que el límite inferior era al menos 0,379005. [7]
Los valores de M ( n ) para los primeros 15 números enteros positivos son los siguientes: [1]
Es simplemente la Ley de los Números Pequeños que es [1]
