Combinatoria aritmética

En matemáticas , la combinatoria aritmética es un campo en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico .

Alcance

La combinatoria aritmética trata sobre estimaciones combinatorias asociadas con operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial en el que solo están involucradas las operaciones de suma y resta.

Ben Green explica la combinatoria aritmética en su reseña de "Additive Combinatorics" de Tao y Vu . ^[1]

Resultados importantes

Teorema de Szemerédi

El teorema de Szemerédi es un resultado de la combinatoria aritmética sobre progresiones aritméticas en subconjuntos de números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron ^[2] que cada conjunto de números enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k . Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden .

Teorema de Green-Tao y extensiones

El teorema de Green-Tao , demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004, ^[3] establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, existen progresiones aritméticas de números primos, con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La prueba es una extensión del teorema de Szemerédi .

En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler ampliaron el resultado para cubrir progresiones polinómicas. ^[4] Más precisamente, dados polinomios con valores enteros P ₁ ,..., P _k en una m desconocida todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x  +  P ₁ ( m ), . .., x  +  P _k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de números primos de longitud k .

Teorema de Breuillard-Green-Tao

El teorema de Breuillard-Green-Tao, demostrado por Emmanuel Breuillard , Ben Green y Terence Tao en 2011, ^[5] ofrece una clasificación completa de grupos aproximados. Este resultado puede verse como una versión nobeliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico .

Ejemplo

Si A es un conjunto de N enteros, ¿qué tan grande o pequeño puede ser el conjunto sumario?

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}$

el conjunto de diferencias

${\displaystyle A-A:=\{x-y:x,y\in A\},}$

y el conjunto de productos

${\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}$

ser, y ¿cómo se relacionan los tamaños de estos conjuntos? (No debe confundirse: los términos conjunto de diferencias y conjunto de productos pueden tener otros significados).

Extensiones

Los conjuntos que se estudian también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, por ejemplo, grupos , anillos y campos . ^[6]

Ver también

• Teoría de números aditiva
• Grupo aproximado
• Teorema de las esquinas
• Teoría ergódica de Ramsey
• Problemas que involucran progresiones aritméticas.
• densidad de Schnirelmann
• Lema de Shapley-Folkman
• conjunto de sidon
• Conjunto sin suma
• Problema de suma-producto

Notas

1. Verde, Ben (julio de 2009). "Reseñas de libros: combinatoria aditiva, de Terence C. Tao y Van H. Vu" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 46 (3): 489–497. doi : 10.1090/s0273-0979-09-01231-2 .
2. Erdős, Paul ; Turán, Pablo (1936). "Sobre algunas secuencias de números enteros" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 11 (4): 261–264. doi :10.1112/jlms/s1-11.4.261. SEÑOR  1574918..
3. Verde, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Anales de Matemáticas . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . doi : 10.4007/annals.2008.167.481. SEÑOR  2415379. S2CID  1883951..
4. Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2008). "Los números primos contienen progresiones polinomiales arbitrariamente largas". Acta Matemática . 201 (2): 213–305. arXiv : matemáticas/0610050 . doi :10.1007/s11511-008-0032-5. SEÑOR  2461509. S2CID  119138411..
5. Breuillard, Emmanuel ; Verde, Ben ; Tao, Terence (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221. arXiv : 1110.5008 . doi :10.1007/s10240-012-0043-9. SEÑOR  3090256. S2CID  119603959..
6. Bourgain, Jean; Katz, redes; Tao, Terence (2004). "Una estimación de suma producto en campos finitos y aplicaciones". Análisis Geométrico y Funcional . 14 (1): 27–57. arXiv : matemáticas/0301343 . doi :10.1007/s00039-004-0451-1. SEÑOR  2053599. S2CID  14097626.

Referencias

• Łaba, Izabella (2008). "Del análisis armónico a la combinatoria aritmética". Toro. América. Matemáticas. Soc . 45 (1): 77-115. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01189-5 .
• Combinatoria aditiva e informática teórica Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009
• Bibak, Khodakhast (2013). "Combinatoria aditiva con miras a la informática y la criptografía". En Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim (eds.). Teoría de números y campos relacionados: en memoria de Alf van der Poorten . vol. 43. Nueva York: Procedimientos Springer en Matemáticas y Estadística. págs. 99-128. arXiv : 1108.3790 . doi :10.1007/978-1-4614-6642-0_4. ISBN 978-1-4614-6642-0. S2CID  14979158.
• Problemas abiertos en combinatoria aditiva, E Croot, V Lev
• De las agujas giratorias a la estabilidad de las ondas: conexiones emergentes entre la combinatoria, el análisis y la PDE, Terence Tao , AMS Notices, marzo de 2001
• Tao, Terencia ; Vu, Van H. (2006). Combinatoria aditiva . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 105. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-85386-9. SEÑOR  2289012. Zbl  1127.11002.
• Granville, Andrés ; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József , eds. (2007). Combinatoria aditiva . Actas de CRM y notas de conferencias. vol. 43. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl  1124.11003.
• Mann, Henry (1976). Teoremas de la suma: los teoremas de la suma de la teoría de grupos y la teoría de números (reimpresión corregida de 1965 Wiley ed.). Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 164. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. SEÑOR  1395371.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de sumas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 165. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. SEÑOR  1477155.

Otras lecturas

• Algunos aspectos destacados de la combinatoria aritmética, recursos de Terence Tao
• Combinatoria aditiva: invierno de 2007, K Soundararajan
• Primeras conexiones entre la combinatoria aditiva y la informática, Luca Trevisan