Vector de Laplace-Runge-Lenz

Vector utilizado en astronomía

En mecánica clásica , el vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL) es un vector utilizado principalmente para describir la forma y orientación de la órbita de un cuerpo astronómico alrededor de otro, como una estrella binaria o un planeta que gira alrededor de una estrella. Para dos cuerpos que interactúan por gravedad newtoniana , el vector LRL es una constante de movimiento , lo que significa que es el mismo sin importar en qué lugar de la órbita se calcule; ^{[1] [2]} de manera equivalente, se dice que el vector LRL está conservado . De manera más general, el vector LRL se conserva en todos los problemas en los que dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central que varía como el inverso del cuadrado de la distancia entre ellos; Estos problemas se denominan problemas de Kepler . ^{[3] [4] [5] [6]}

El átomo de hidrógeno es un problema de Kepler, ya que comprende dos partículas cargadas que interactúan mediante la ley electrostática de Coulomb , otra fuerza central del cuadrado inverso. El vector LRL fue esencial en la primera derivación mecánica cuántica del espectro del átomo de hidrógeno, ^{[7] [8]} antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, este enfoque rara vez se utiliza en la actualidad.

En la mecánica clásica y cuántica, las cantidades conservadas generalmente corresponden a una simetría del sistema. ^[9] La conservación del vector LRL corresponde a una simetría inusual; El problema de Kepler es matemáticamente equivalente a una partícula que se mueve libremente sobre la superficie de una (hiper)esfera de cuatro dimensiones , ^[10] de modo que todo el problema es simétrico bajo ciertas rotaciones del espacio de cuatro dimensiones. ^[11] Esta mayor simetría resulta de dos propiedades del problema de Kepler: el vector velocidad siempre se mueve en un círculo perfecto y, para una energía total dada , todos esos círculos de velocidad se cruzan entre sí en los mismos dos puntos. ^[12]

El vector Laplace-Runge-Lenz lleva el nombre de Pierre-Simon de Laplace , Carl Runge y Wilhelm Lenz . También se le conoce como vector de Laplace , ^{[13] [14],} vector de Runge-Lenz ^[15] y vector de Lenz . ^[8] Irónicamente, ninguno de esos científicos lo descubrió. ^[15] El vector LRL ha sido redescubierto y reformulado varias veces; ^[15] por ejemplo, es equivalente al vector de excentricidad adimensional de la mecánica celeste . ^{[2] [14] [16]} Se han definido diversas generalizaciones del vector LRL, que incorporan los efectos de la relatividad especial , campos electromagnéticos e incluso diferentes tipos de fuerzas centrales. ^{[17] [18] [19]}

Contexto

Una sola partícula que se mueve bajo cualquier fuerza central conservadora tiene al menos cuatro constantes de movimiento: la energía total E y las tres componentes cartesianas del vector de momento angular L con respecto al centro de fuerza. ^{[20] [21]} La órbita de la partícula está confinada al plano definido por el momento inicial de la partícula p (o, equivalentemente, su velocidad v ) y el vector r entre la partícula y el centro de fuerza ^{[20] [21]} (ver Figura 1). Este plano de movimiento es perpendicular al vector de momento angular constante L = r × p ; esto se puede expresar matemáticamente mediante la ecuación del producto escalar vectorial r ⋅ L = 0 . Dada su definición matemática a continuación, el vector de Laplace-Runge-Lenz (vector LRL) A es siempre perpendicular al vector de momento angular constante L para todas las fuerzas centrales ( A ⋅ L = 0 ). Por tanto, A siempre se encuentra en el plano de movimiento. Como se muestra a continuación, A apunta desde el centro de fuerza hasta el periapsis del movimiento, el punto de mayor aproximación, y su longitud es proporcional a la excentricidad de la órbita. ^[1]

El vector LRL A ​​es constante en longitud y dirección, pero sólo para una fuerza central del cuadrado inverso. ^[1] Para otras fuerzas centrales , el vector A no es constante, sino que cambia tanto en longitud como en dirección. Si la fuerza central es aproximadamente una ley del cuadrado inverso, el vector A tiene una longitud aproximadamente constante, pero gira lentamente en su dirección. ^[14] Se puede definir un vector LRL conservado generalizado para todas las fuerzas centrales, pero este vector generalizado es una función complicada de posición y, por lo general, no se puede expresar en forma cerrada . ^{[18] [19]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El vector LRL se diferencia de otras cantidades conservadas en la siguiente propiedad. Mientras que para cantidades conservadas típicas existe una coordenada cíclica correspondiente en el lagrangiano tridimensional del sistema, no existe tal coordenada para el vector LRL. Por lo tanto, la conservación del vector LRL debe derivarse directamente, por ejemplo, mediante el método de los corchetes de Poisson , como se describe a continuación. Las cantidades conservadas de este tipo se denominan "dinámicas", a diferencia de las leyes de conservación "geométricas" habituales, como por ejemplo la del momento angular.

Historia del redescubrimiento

El vector LRL A ​​es una constante de movimiento del problema de Kepler y es útil para describir órbitas astronómicas, como el movimiento de planetas y estrellas binarias. Sin embargo, nunca ha sido muy conocido entre los físicos, posiblemente porque es menos intuitivo que el momento y el momento angular. En consecuencia, ha sido redescubierto de forma independiente varias veces a lo largo de los últimos tres siglos. ^[15]

Jakob Hermann fue el primero en demostrar que A se conserva para un caso especial de fuerza central del cuadrado inverso ^[22] y resolvió su relación con la excentricidad de la elipse orbital . El trabajo de Hermann fue generalizado a su forma moderna por Johann Bernoulli en 1710. ^[23] A finales de siglo, Pierre-Simon de Laplace redescubrió la conservación de A , derivándola analíticamente, más que geométricamente. ^[24] A mediados del siglo XIX, William Rowan Hamilton derivó el vector de excentricidad equivalente definido a continuación, ^[16] usándolo para mostrar que el vector de impulso p se mueve en un círculo bajo una fuerza central del cuadrado inverso (Figura 3). ). ^[12]

A principios del siglo XX, Josiah Willard Gibbs derivó el mismo vector mediante análisis vectorial . ^[25] La derivación de Gibbs fue utilizada como ejemplo por Carl Runge en un popular libro de texto alemán sobre vectores, ^[26] al que hizo referencia Wilhelm Lenz en su artículo sobre el (antiguo) tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno. ^[27] En 1926, Wolfgang Pauli utilizó el vector LRL para derivar los niveles de energía del átomo de hidrógeno utilizando la formulación de mecánica matricial de la mecánica cuántica, ^[7] después de lo cual pasó a ser conocido principalmente como el vector de Runge-Lenz . ^[15]

Definición matemática

Una fuerza central del cuadrado inverso que actúa sobre una sola partícula se describe mediante la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;}$$

energía potencialkG ⋅ M ⋅ m− k e ⋅ Q ⋅ qk > 0k < 0 ${\displaystyle V(r)=-k/r}$

Figura 1: El vector LRL A ​​(mostrado en rojo) en cuatro puntos (etiquetados 1, 2, 3 y 4) en la órbita elíptica de una partícula puntual ligada que se mueve bajo una fuerza central del cuadrado inverso. El centro de atracción se representa como un pequeño círculo negro del que parten los vectores de posición (también negros). El vector de momento angular L es perpendicular a la órbita. Los vectores coplanares p × L y ( mk / r ) r se muestran en azul y verde, respectivamente; estas variables se definen a continuación. El vector A es constante en dirección y magnitud.

El vector LRL A ​​se define matemáticamente mediante la fórmula ^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,}$

dónde

• m es la masa de la partícula puntual que se mueve bajo la fuerza central,
• p es su vector de impulso,
• L = r × p es su vector de momento angular,
• r es el vector de posición de la partícula (Figura 1),
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$es el vector unitario correspondiente , es decir, y ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$
• r es la magnitud de r , la distancia de la masa al centro de fuerza.

Las unidades SI del vector LRL son julios-kilogramo-metro (J⋅kg⋅m). Esto se deduce porque las unidades de p y L son kg⋅m/s y J⋅s, respectivamente. Esto concuerda con las unidades de m (kg) y de k (N⋅m ² ).

Esta definición del vector LRL A ​​pertenece a una partícula puntual de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza fija. Sin embargo, la misma definición puede extenderse a problemas de dos cuerpos como el problema de Kepler, tomando m como la masa reducida de los dos cuerpos y r como el vector entre los dos cuerpos.

Dado que la fuerza supuesta es conservativa, la energía total E es una constante de movimiento,

$${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}$$

La fuerza asumida es también una fuerza central. Por tanto, el vector de momento angular L también se conserva y define el plano en el que viaja la partícula. El vector LRL A ​​es perpendicular al vector de momento angular L porque tanto p × L como r son perpendiculares a L. Se deduce que A se encuentra en el plano de movimiento.

Se pueden definir formulaciones alternativas para la misma constante de movimiento, generalmente escalando el vector con constantes, como la masa m , el parámetro de fuerza k o el momento angular L. ^[15] La variante más común es dividir A por mk , lo que produce el vector de excentricidad, ^{[2] [16]} un vector adimensional a lo largo del semieje mayor cuyo módulo es igual a la excentricidad de la cónica:

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .}$$

^[14]a^[28]A ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }$$

Ar ${\displaystyle \theta }$

Derivación de las órbitas de Kepler

Figura 2: Versión simplificada de la Figura 1, que define el ángulo θ entre A y r en un punto de la órbita.

La forma y orientación de las órbitas se pueden determinar a partir del vector LRL de la siguiente manera. ^[1] Tomando el producto escalar de A con el vector de posición r se obtiene la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,}$$

θrAtriple producto escalar

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$$

La reorganización produce la solución de la ecuación de Kepler.

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }$

Esto corresponde a la fórmula para una sección cónica de excentricidad e

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)}$$

C^[1] ${\displaystyle e={\frac {A}{\left|mk\right|}}\geq 0}$

Tomando el producto escalar de A consigo mismo se obtiene una ecuación que involucra la energía total E , ^[1]

$${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},}$$

^[1]

$${\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}$$

Así, si la energía E es negativa (órbitas ligadas), la excentricidad es menor que uno y la órbita es una elipse. Por el contrario, si la energía es positiva (órbitas libres, también llamadas "órbitas dispersas" ^[1] ), la excentricidad es mayor que uno y la órbita es una hipérbola . ^[1] Finalmente, si la energía es exactamente cero, la excentricidad es uno y la órbita es una parábola . ^[1] En todos los casos, la dirección de A se encuentra a lo largo del eje de simetría de la sección cónica y apunta desde el centro de fuerza hacia el periapsis, el punto de mayor aproximación. ^[1]

Hodografías de impulso circular

Figura 3: El vector de momento p (que se muestra en azul) se mueve en un círculo mientras la partícula se mueve en una elipse. Los cuatro puntos etiquetados corresponden a los de la Figura 1. El círculo está centrado en el eje y en la posición A / L (mostrada en magenta), con radio mk / L (mostrada en verde). El ángulo η determina la excentricidad e de la órbita elíptica ( cos η = e ). Según el teorema del ángulo inscrito para círculos , η es también el ángulo entre cualquier punto del círculo y los dos puntos de intersección con el eje p _x , p _x = ± p ₀ , que sólo dependen de E , pero no de L.

La conservación del vector LRL A ​​y del vector de momento angular L es útil para mostrar que el vector de momento p se mueve en un círculo bajo una fuerza central del cuadrado inverso. ^{[12] [15]}

Tomando el producto escalar de

$${\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A} }$$

$${\displaystyle (mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} ).}$$

Además, al elegir L a lo largo del eje z y el semieje mayor como eje x , se obtiene la ecuación del lugar geométrico para p ,

${\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-{\frac {A}{L}}\right)^{2}=\left({\frac {mk}{L}}\right)^{2}.}$

En otras palabras, el vector de momento p está confinado a un círculo de radio mk / L = L / ℓ centrado en (0, A / L ) . ^[29] Para órbitas acotadas, la excentricidad e corresponde al coseno del ángulo η que se muestra en la Figura 3. Para órbitas no acotadas, tenemos y por lo tanto el círculo no corta al eje -. ${\displaystyle A>mk}$ ${\displaystyle p_{x}}$

En el límite degenerado de las órbitas circulares, y por lo tanto desapareciendo A , el círculo se centra en el origen (0,0) . Por razones de brevedad, también resulta útil introducir la variable . ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}$

Esta hodógrafa circular es útil para ilustrar la simetría del problema de Kepler.

Constantes de movimiento y superintegrabilidad.

Las siete cantidades escalares E , A y L (al ser vectores, las dos últimas contribuyen con tres cantidades conservadas cada una) están relacionadas por dos ecuaciones, A ⋅ L = 0 y A ² = m ² k ² + 2 mEL ² , dando cinco constantes independientes. de movimiento . (Dado que la magnitud de A , por lo tanto la excentricidad e de la órbita, puede determinarse a partir del momento angular total L y la energía E , sólo la dirección de A se conserva independientemente; además, dado que A debe ser perpendicular a L , contribuye sólo una cantidad conservada adicional.)

Esto es consistente con las seis condiciones iniciales (la posición inicial de la partícula y los vectores de velocidad, cada uno con tres componentes) que especifican la órbita de la partícula, ya que el tiempo inicial no está determinado por una constante de movimiento. De este modo, la órbita unidimensional resultante en un espacio de fases de seis dimensiones queda completamente especificada.

Un sistema mecánico con d grados de libertad puede tener como máximo 2 d − 1 constantes de movimiento, ya que existen 2 d condiciones iniciales y el tiempo inicial no puede determinarse mediante una constante de movimiento. Un sistema con más de d constantes de movimiento se llama superintegrable y un sistema con 2 d − 1 constantes se llama máximamente superintegrable . ^[30] Dado que la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en un sistema de coordenadas puede producir solo d constantes de movimiento, los sistemas superintegrables deben ser separables en más de un sistema de coordenadas. ^[31] El problema de Kepler es máximamente superintegrable, ya que tiene tres grados de libertad ( d = 3 ) y cinco constantes de movimiento independientes; su ecuación de Hamilton-Jacobi es separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas , ^[17] como se describe a continuación.

Los sistemas máximamente superintegrables siguen órbitas unidimensionales cerradas en el espacio de fases , ya que la órbita es la intersección de las isosuperficies del espacio de fases de sus constantes de movimiento. En consecuencia, las órbitas son perpendiculares a todos los gradientes de todas estas isosuperficies independientes, cinco en este problema específico, y por lo tanto están determinadas por los productos cruzados generalizados de todos estos gradientes. Como resultado, todos los sistemas superintegrables se pueden describir automáticamente mediante la mecánica de Nambu , ^[32] de forma alternativa y equivalente a la mecánica hamiltoniana .

Los sistemas máximamente superintegrables se pueden cuantificar utilizando relaciones de conmutación , como se ilustra a continuación. ^[33] Sin embargo, de manera equivalente, también se cuantifican en el marco de Nambu, como este problema clásico de Kepler en el átomo de hidrógeno cuántico. ^[34]

Evolución bajo potenciales perturbados.

Figura 5: Órbita elíptica en precesión gradual, con una excentricidad e  = 0,667. Esta precesión surge en el problema de Kepler si la fuerza central de atracción se desvía ligeramente de una ley del cuadrado inverso. La tasa de precesión se puede calcular utilizando las fórmulas del texto.

El vector A de Laplace-Runge-Lenz se conserva sólo para una fuerza central del cuadrado inverso perfecto. Sin embargo, en la mayoría de los problemas prácticos, como el movimiento planetario, la energía potencial de interacción entre dos cuerpos no es exactamente una ley del cuadrado inverso, sino que puede incluir una fuerza central adicional, la llamada perturbación descrita por una energía potencial h ( r ) . En tales casos, el vector LRL gira lentamente en el plano de la órbita, correspondiente a una lenta precesión absidal de la órbita.

Por suposición, el potencial perturbador h ( r ) es una fuerza central conservadora, lo que implica que la energía total E y el vector de momento angular L se conservan. Por lo tanto, el movimiento todavía se encuentra en un plano perpendicular a L y la magnitud A se conserva, de la ecuación A ² = m ² k ² + 2 mEL ² . El potencial de perturbación h ( r ) puede ser cualquier tipo de función, pero debería ser significativamente más débil que la fuerza principal del cuadrado inverso entre los dos cuerpos.

La velocidad a la que gira el vector LRL proporciona información sobre el potencial perturbador h ( r ) . Utilizando la teoría de la perturbación canónica y las coordenadas del ángulo de acción , es sencillo demostrar ^[1] que A gira a una velocidad de,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}}$$

TL dt = m r ² dθ⟨ h ( r )⟩promediado

Este enfoque se utilizó para ayudar a verificar la teoría de la relatividad general de Einstein , que agrega una pequeña perturbación cúbica inversa efectiva al potencial gravitacional newtoniano normal, ^[35]

$${\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}$$

Insertando esta función en la integral y usando la ecuación

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$$

rθ^[35]

$${\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},}$$

Mercurio ^[36]los púlsares^{[37][38] [39]}

Soportes de Poisson

Las funciones sin escala

La estructura algebraica del problema es, como se explica en secciones posteriores, SO(4)/ Z ₂ ~ SO(3) × SO(3) . ^[11] Las tres componentes Li del vector de momento angular L tienen los corchetes de Poisson _[ ^1]

$${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$$

iεijs es el tensor_de Levi-CivitaskAAL^[40]

$${\displaystyle \{A_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}A_{s}.}$$

A^[41]

$${\displaystyle \{A_{i},A_{j}\}=-2mH\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},}$$

AL ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Finalmente, dado que tanto L como A son constantes de movimiento, tenemos

$${\displaystyle \{A_{i},H\}=\{L_{i},H\}=0.}$$

Los corchetes de Poisson se extenderán a las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica en la siguiente sección y a los corchetes de Lie en la siguiente sección.

Las funciones escaladas

Como se indica a continuación, un vector D escalado de Laplace-Runge-Lenz se puede definir con las mismas unidades que el momento angular dividiendo A por . Dado que D todavía se transforma como un vector, los corchetes de Poisson de D con el vector de momento angular L se pueden escribir de forma similar ^{[11] [8]} ${\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|H|}}}$

$${\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}$$

Los corchetes de Poisson de D consigo mismo dependen del signo de H , es decir, de si la energía es negativa (produciendo órbitas elípticas cerradas bajo una fuerza central del cuadrado inverso) o positiva (produciendo órbitas hiperbólicas abiertas bajo una fuerza central del cuadrado inverso). fuerza). Para energías negativas , es decir, para sistemas ligados, los corchetes de Poisson son ^[42]

$${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$$

DLDso(4)SO(4)^[43]

Por el contrario, para la energía positiva , los corchetes de Poisson tienen el signo opuesto,

$${\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}$$

so(3,1)

La distinción entre energías positivas y negativas surge porque la escala deseada (la que elimina el hamiltoniano del lado derecho de las relaciones entre corchetes de Poisson entre los componentes del vector LRL escalado) involucra la raíz cuadrada del hamiltoniano. Para obtener funciones con valores reales, debemos tomar el valor absoluto del hamiltoniano, que distingue entre valores positivos (donde ) y valores negativos (donde ). ${\displaystyle |H|=H}$ ${\displaystyle |H|=-H}$

Operador de Laplace-Runge-Lenz para el átomo de hidrógeno en el espacio de momento

El operador escalado de Laplace-Runge-Lenz en el espacio de momento se encontró recientemente en ^{[44] [45]} La fórmula para el operador es más simple que en el espacio de posición:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {p} }=\imath ({\hat {l}}_{\mathbf {p} }+1)\mathbf {p} -{\frac {(p^{2}+1)}{2}}\imath \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} },}$

donde "operador de grado"

${\displaystyle {\hat {l}}_{\mathbf {p} }=(\mathbf {p} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} })}$

multiplica un polinomio homogéneo por su grado.

Invariantes de Casimir y los niveles de energía.

Las invariantes de Casimir para energías negativas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}}$$

y tienen corchetes de Poisson que desaparecen con todos los componentes de D y L ,

$${\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0.}$$

C ₂

Sin embargo, la otra invariante, C ₁ , no es trivial y depende sólo de m , k y E . Tras la cuantificación canónica, este invariante permite derivar los niveles de energía de los átomos similares al hidrógeno utilizando únicamente relaciones de conmutación canónicas de la mecánica cuántica, en lugar de la solución convencional de la ecuación de Schrödinger. ^{[8] [43]} Esta derivación se analiza en detalle en la siguiente sección.

Mecánica cuántica del átomo de hidrógeno.

Figura 6: Niveles de energía del átomo de hidrógeno predichos a partir de las relaciones de conmutación del momento angular y los operadores vectoriales de Laplace-Runge-Lenz; Estos niveles de energía han sido verificados experimentalmente.

Los corchetes de Poisson proporcionan una guía sencilla para cuantificar la mayoría de los sistemas clásicos: la relación de conmutación de dos operadores de la mecánica cuántica se especifica mediante el corchete de Poisson de las variables clásicas correspondientes, multiplicado por iħ . ^[46]

Al llevar a cabo esta cuantificación y calcular los valores propios del operador C ₁ Casimir para el problema de Kepler, Wolfgang Pauli pudo derivar los niveles de energía de átomos similares al hidrógeno (Figura 6) y, por tanto, su espectro de emisión atómica. ^[7] Esta elegante derivación de 1926 se obtuvo antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger . ^[47]

Una sutileza del operador de la mecánica cuántica para el vector LRL A ​​es que los operadores de momento y momento angular no conmutan; por lo tanto, el producto cruzado del operador cuántico de p y L debe definirse cuidadosamente. ^[8] Normalmente, los operadores para los componentes cartesianos A _s se definen utilizando un producto simetrizado (hermitiano),

$${\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}\ell _{j}+\ell _{j}p_{i}),}$$

^{[48] ​​[49]} ${\displaystyle 1/(i\hbar )}$

A partir de estos operadores, se pueden definir operadores de escalera adicionales para L ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{0}&=A_{3},\\J_{\pm 1}&=\mp {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right).\end{aligned}}}$$

diferentesL ²

También se puede definir un primer operador invariante de Casimir normalizado, análogo cuántico del anterior,

$${\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}$$

H ⁻¹hamiltonianoIoperador de identidad

Aplicando estos operadores de escalera a los estados propios | ℓ mn 〉 de los operadores de momento angular total, momento angular azimutal y energía, se ve que los valores propios del primer operador de Casimir, C _{1 , están cuantificados,} n ² − 1 . Es importante destacar que, debido a la desaparición del C ₂ , son independientes de los números cuánticos ℓ y m , lo que hace que los niveles de energía degeneren . ^[8]

Por lo tanto, los niveles de energía están dados por

$${\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}$$

fórmula de RydbergAC ₁n ²SO(3)SO(4) / Z ₂ ~ SO(3) × SO(3)^[50]

Conservación y simetría

La conservación del vector LRL corresponde a una sutil simetría del sistema. En la mecánica clásica , las simetrías son operaciones continuas que asignan una órbita a otra sin cambiar la energía del sistema; En mecánica cuántica, las simetrías son operaciones continuas que "mezclan" orbitales electrónicos de la misma energía, es decir, degeneran niveles de energía. Una cantidad conservada suele estar asociada con este tipo de simetrías. [ ^1] Por ejemplo, cada fuerza central es simétrica bajo el grupo de rotación SO(3) , lo que lleva a la conservación del momento angular L. Clásicamente, una rotación general del sistema no afecta la energía de una órbita; En mecánica cuántica, las rotaciones mezclan los armónicos esféricos del mismo número cuántico ℓ sin cambiar la energía.

Figura 7: La familia de hodógrafas de momento circular para una energía dada E. Todos los círculos pasan por los mismos dos puntos en el eje p _x (ver Figura 3). Esta familia de hodógrafas corresponde a una familia de círculos apolíneos y a las isosuperficies σ de coordenadas bipolares . ${\textstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}$

La simetría de la fuerza central del cuadrado inverso es mayor y más sutil. La peculiar simetría del problema de Kepler da como resultado la conservación tanto del vector de momento angular L como del vector LRL A ​​(como se definió anteriormente) y, mecánicamente cuánticamente, asegura que los niveles de energía del hidrógeno no dependan de los números cuánticos de momento angular ℓ y M . Sin embargo, la simetría es más sutil porque la operación de simetría debe tener lugar en un espacio de dimensiones superiores ; Estas simetrías a menudo se denominan "simetrías ocultas". ^[51]

Clásicamente, la mayor simetría del problema de Kepler permite alteraciones continuas de las órbitas que preservan la energía pero no el momento angular; Dicho de otra manera, órbitas de la misma energía pero diferente momento angular (excentricidad) pueden transformarse continuamente unas en otras. Mecánica cuántica, esto corresponde a mezclar orbitales que difieren en los números cuánticos ℓ y m , como los orbitales atómicos s ( ℓ = 0 ) y p ( ℓ = 1 ). Esta mezcla no se puede realizar con traslaciones o rotaciones tridimensionales ordinarias, sino que equivale a una rotación en una dimensión superior.

Para energías negativas , es decir, para sistemas ligados, el grupo de simetría superior es SO(4) , que preserva la longitud de los vectores de cuatro dimensiones.

$${\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}$$

En 1935, Vladimir Fock demostró que el problema de Kepler ligado a la mecánica cuántica es equivalente al problema de una partícula libre confinada a una esfera unitaria tridimensional en un espacio de cuatro dimensiones. ^[10] Específicamente, Fock demostró que la función de onda de Schrödinger en el espacio de momento para el problema de Kepler era la proyección estereográfica de los armónicos esféricos en la esfera. La rotación de la esfera y la reproyección dan como resultado un mapeo continuo de las órbitas elípticas sin cambiar la energía, una simetría SO(4) a veces conocida como simetría de Fock ; ^[52] mecánicamente cuántica, esto corresponde a una mezcla de todos los orbitales del mismo número cuántico de energía n . Valentine Bargmann señaló posteriormente que los corchetes de Poisson para el vector de momento angular L y el vector LRL escalado A formaban el álgebra de Lie para SO(4) . ^{[11] [42]} En pocas palabras, las seis cantidades A y L corresponden a los seis momentos angulares conservados en cuatro dimensiones, asociados con las seis rotaciones simples posibles en ese espacio (hay seis formas de elegir dos ejes entre cuatro). Esta conclusión no implica que nuestro universo sea una esfera tridimensional; simplemente significa que este problema de física particular (el problema de dos cuerpos para fuerzas centrales del cuadrado inverso) es matemáticamente equivalente a una partícula libre en una esfera tridimensional.

Para energías positivas , es decir, para sistemas "dispersos" y no unidos, el grupo de simetría superior es SO(3,1) , que preserva la longitud de Minkowski de los 4 vectores.

$${\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}$$

Tanto el caso de energía negativa como el de energía positiva fueron considerados por Fock ^[10] y Bargmann ^[11] y han sido revisados ​​enciclopédicamente por Bander e Itzykson. ^{[53] [54]}

Las órbitas de los sistemas de fuerza central (y en particular las del problema de Kepler) también son simétricas bajo reflexión . Por lo tanto, los grupos SO(3) , SO(4) y SO(3,1) citados anteriormente no son los grupos de simetría completa de sus órbitas; los grupos completos son O(3) , O(4) y O(3,1) , respectivamente. Sin embargo, sólo los subgrupos conectados , SO(3) , SO(4) y SO ⁺ (3,1) , son necesarios para demostrar la conservación del momento angular y los vectores LRL; la simetría de reflexión es irrelevante para la conservación, que puede derivarse del álgebra de Lie del grupo.

Simetría rotacional en cuatro dimensiones.

Figura 8: Las hodógrafas de momento de la Figura 7 corresponden a proyecciones estereográficas de círculos máximos en la esfera unitaria η tridimensional . Todos los círculos máximos cruzan el eje η _x , que es perpendicular a la página; la proyección es desde el polo norte (el vector unitario w ) al plano η _x − η _y , como se muestra aquí para la hodógrafa magenta mediante las líneas negras discontinuas. El círculo máximo en una latitud α corresponde a una excentricidad e = sen α . Los colores de los grandes círculos que se muestran aquí corresponden a sus correspondientes hodógrafas en la Figura 7.

La conexión entre el problema de Kepler y la simetría rotacional tetradimensional SO(4) puede visualizarse fácilmente. ^{[53] [55] [56]} Denotemos las coordenadas cartesianas de cuatro dimensiones ( w , x , y , z ) donde ( x , y , z ) representan las coordenadas cartesianas del vector de posición normal r . El vector de impulso tridimensional p está asociado con un vector de cuatro dimensiones en una esfera unitaria tridimensional ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&={\frac {mk-rp_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$

¿Dónde está el vector unitario a lo largo del nuevo eje w ? La transformación que asigna p a η se puede invertir de forma única; por ejemplo, la componente x del impulso es igual ${\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }$

$${\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}},}$$

p _yp _zpp ₀ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

Sin pérdida de generalidad, podemos eliminar la simetría rotacional normal eligiendo las coordenadas cartesianas de modo que el eje z esté alineado con el vector de momento angular L y las hodógrafas de momento estén alineadas como en la Figura 7, con los centros de los círculos en el eje y . Dado que el movimiento es plano y p y L son perpendiculares, p _z = η _z = 0 y la atención puede restringirse al vector tridimensional . La familia de círculos apolíneos de hodógrafas de momento (Figura 7) corresponde a una familia de círculos máximos en la esfera tridimensional , todos los cuales intersecan el eje η _x en los dos focos η _x = ±1 , correspondientes a los focos de hodógrafa de momento. en p _x = ± p ₀ . Estos grandes círculos están relacionados mediante una simple rotación alrededor del eje η _x (Figura 8). Esta simetría rotacional transforma todas las órbitas de la misma energía entre sí; sin embargo, dicha rotación es ortogonal a las rotaciones tridimensionales habituales, ya que transforma la cuarta dimensión η _w . Esta mayor simetría es característica del problema de Kepler y corresponde a la conservación del vector LRL. ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\eta _{x},\eta _{y})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

Se puede obtener una solución elegante de variables de ángulo de acción para el problema de Kepler eliminando las coordenadas tetradimensionales redundantes en favor de coordenadas cilíndricas elípticas ( χ , ψ , φ ) ^[57] ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{w}&=\operatorname {cn} \chi \operatorname {cn} \psi ,\\[1ex]\eta _{x}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \cos \phi ,\\[1ex]\eta _{y}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \sin \phi ,\\[1ex]\eta _{z}&=\operatorname {dn} \chi \operatorname {sn} \psi ,\end{aligned}}}$$

sncndnfunciones elípticas de Jacobi

Generalizaciones a otros potenciales y relatividad.

El vector de Laplace-Runge-Lenz también se puede generalizar para identificar cantidades conservadas que se aplican a otras situaciones.

En presencia de un campo eléctrico uniforme E , el vector generalizado de Laplace-Runge-Lenz es ^{[17] [58]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right],}$$

qcarga ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cdot \mathbf {E} }$

Generalizando aún más el vector de Laplace-Runge-Lenz a otros potenciales y la relatividad especial , la forma más general se puede escribir como ^[18]

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

donde u = 1/ r y ξ = cos θ , con el ángulo θ definido por

$${\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}},}$$

y γ es el factor de Lorentz . Como antes, podemos obtener un vector binormal conservado B tomando el producto vectorial con el vector de momento angular conservado

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}$$

Estos dos vectores también pueden combinarse en un tensor diádico conservado W ,

$${\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}$$

A modo de ilustración, se puede calcular el vector LRL para un oscilador armónico isotrópico no relativista. ^[18] Dado que la fuerza es central,

$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} ,}$$

El tensor diádico conservado se puede escribir de forma sencilla.

$${\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}$$

pr

El vector de Runge-Lenz correspondiente es más complicado,

$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\},}$$

$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

$${\displaystyle A=(E^{2}-\omega ^{2}L^{2})^{1/2}/\omega .}$$

Pruebas de que el vector de Laplace-Runge-Lenz se conserva en los problemas de Kepler

Los siguientes son argumentos que muestran que el vector LRL se conserva bajo fuerzas centrales que obedecen a una ley del cuadrado inverso.

Prueba directa de conservación.

Una fuerza central que actúa sobre la partícula es ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }$$

para alguna función del radio . Dado que el momento angular se conserva bajo fuerzas centrales, y ${\displaystyle f(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],}$$

donde el impulso y donde el triple producto cruz se ha simplificado utilizando la fórmula de Lagrange ${\textstyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}$$

La identidad

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}}$$

produce la ecuación

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}$$

Para el caso especial de una fuerza central del cuadrado inverso , esto es igual ${\textstyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}$$

Por lo tanto, A se conserva para fuerzas centrales del cuadrado inverso ^[59]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .}$$

Se obtiene una prueba más breve utilizando la relación entre el momento angular y la velocidad angular, que se cumple para una partícula que viaja en un plano perpendicular a . Especificando fuerzas centrales del cuadrado inverso, la derivada del tiempo de es ${\displaystyle \mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

A ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} }$

Como se describe en otra parte de este artículo, este vector LRL A ​​es un caso especial de un vector conservado general que se puede definir para todas las fuerzas centrales. ^{[18] [19]} Sin embargo, dado que la mayoría de las fuerzas centrales no producen órbitas cerradas (ver el teorema de Bertrand ), el vector análogo rara vez tiene una definición simple y generalmente es una función multivaluada del ángulo θ entre r y . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas

La constancia del vector LRL también se puede derivar de la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas ( ξ , η ) , que están definidas por las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=r+x,\\\eta &=r-x,\end{aligned}}}$$

r

$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

La inversión de estas coordenadas es

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}(\xi -\eta ),\\y&={\sqrt {\xi \eta }},\end{aligned}}}$$

La separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi en estas coordenadas produce las dos ecuaciones equivalentes ^{[17] [60]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi &=-\Gamma ,\\2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta &=\Gamma ,\end{aligned}}}$$

Γp _xp _yΓ

$${\displaystyle \Gamma =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}$$

teorema de noether

La conexión entre la simetría rotacional descrita anteriormente y la conservación del vector LRL se puede hacer cuantitativa mediante el teorema de Noether . Este teorema, que se utiliza para encontrar constantes de movimiento, establece que cualquier variación infinitesimal de las coordenadas generalizadas de un sistema físico

$${\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$$

que hace que el lagrangiano varíe a primer orden por una derivada del tiempo total

$${\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,t)}$$

corresponde a una cantidad conservada Γ

$${\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right).}$$

En particular, la componente del vector LRL conservada A _s corresponde a la variación en las coordenadas ^[61]

$${\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],}$$

donde i es igual a 1, 2 y 3, siendo x _i y p _i los i -ésimos componentes de los vectores de posición y momento r y p , respectivamente; como es habitual, δ _representa el delta de Kronecker . El cambio de primer orden resultante en el lagrangiano es

$${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$$

La sustitución en la fórmula general de la cantidad conservada Γ produce el componente conservado A _s del vector LRL,

$${\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}$$

transformación de mentira

Figura 9: La transformación de Lie de la que se deriva la conservación del vector LRL A. A medida que varía el parámetro de escala λ , la energía y el momento angular cambian, pero la excentricidad e y la magnitud y dirección de A no.

La derivación del teorema de Noether de la conservación del vector LRL A ​​es elegante, pero tiene un inconveniente: la variación de coordenadas _δxi involucra no sólo la posición r , sino también el momento p o, equivalentemente, la velocidad v . ^[62] Este inconveniente puede eliminarse derivando la conservación de A utilizando un enfoque iniciado por Sophus Lie . ^{[63] [64]} Específicamente, se puede definir una transformación de Lie ^[51] en la que las coordenadas r y el tiempo t se escalan mediante diferentes potencias de un parámetro λ (Figura 9),

$${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\qquad \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\qquad \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} .}$$

Esta transformación cambia el momento angular total L y la energía E ,

$${\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\qquad E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E,}$$

EL ²eA

$${\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}$$

La dirección de A también se conserva, ya que los semiejes no se ven alterados por una escala global. Esta transformación también preserva la tercera ley de Kepler , es decir, que el semieje a y el período T forman una constante  T ² / a ³ .

Escalas, símbolos y formulaciones alternativas.

A diferencia de los vectores de momento y momento angular p y L , no existe una definición universalmente aceptada del vector de Laplace-Runge-Lenz; En la literatura científica se utilizan varios factores de escala y símbolos diferentes. La definición más común se da arriba, pero otra alternativa común es dividir por la cantidad mk para obtener un vector de excentricidad conservado adimensional.

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\right)-\mathbf {\hat {r}} ,}$$

donde v es el vector velocidad. Este vector escalado e tiene la misma dirección que A y su magnitud es igual a la excentricidad de la órbita y, por tanto, desaparece en órbitas circulares.

También son posibles otras versiones escaladas, por ejemplo, dividiendo A solo por m .

$${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} ,}$$

p ₀

$${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\},}$$

L.

En casos raros, el signo del vector LRL puede invertirse, es decir, ampliarse en −1 . Otros símbolos comunes para el vector LRL incluyen a , R , F , J y V. Sin embargo, la elección de la escala y el símbolo del vector LRL no afecta su conservación.

Figura 4: El vector de momento angular L , el vector LRL A ​​y el vector de Hamilton, el binormal B , son mutuamente perpendiculares; A y B apuntan a lo largo de los ejes mayor y menor, respectivamente, de una órbita elíptica del problema de Kepler.

Un vector conservado alternativo es el vector binormal B estudiado por William Rowan Hamilton, ^[16]

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right),}$

que se conserva y apunta a lo largo del semieje menor de la elipse. (No está definido para la excentricidad evanescente.)

El vector LRL A ​​= B × L es el producto cruzado de B y L (Figura 4). En la hodógrafa de momento de la sección correspondiente anterior, se ve fácilmente que B conecta el origen de los momentos con el centro de la hodógrafa circular y que posee magnitud A / L . En el perihelio, apunta en la dirección del impulso.

El vector B se denota como "binormal" ya que es perpendicular tanto a A como a L. De manera similar al propio vector LRL, el vector binormal se puede definir con diferentes escalas y símbolos.

Los dos vectores conservados, A y B, se pueden combinar para formar un tensor diádico conservado W , ^[18]

$${\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,}$$

αβproducto tensorialproducto vectorial vectorial ${\displaystyle \otimes }$

$${\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}$$

Al ser perpendiculares entre sí, los vectores A y B pueden verse como los ejes principales del tensor conservado W , es decir, sus vectores propios escalados . W es perpendicular a L ,

$${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0,}$$

ABL , L ⋅ A = L ⋅ B = 0

Más directamente, esta ecuación se lee, en componentes explícitos,

$${\displaystyle \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} \right)_{j}=\alpha \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}A_{i}\right)A_{j}+\beta \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}B_{i}\right)B_{j}=0.}$$

Ver también

• Astrodinámica
  • Orbita
  • Vector de excentricidad
  • Elementos orbitales
• teorema de bertrand
• ecuación de binet
• problema de dos cuerpos

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Otras lecturas

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• Báez, John (2003). "Misterios del problema gravitacional de los dos cuerpos". Archivado desde el original el 21 de octubre de 2008 . Consultado el 11 de diciembre de 2004 .
• Báez, John (2018). "Misterios del problema gravitacional de los dos cuerpos" . Consultado el 31 de mayo de 2021 .Versión actualizada de la fuente anterior.
• D'Eliseo, MM (2007). "La ecuación orbital de primer orden". Revista Estadounidense de Física . 75 (4): 352–355. Código bibliográfico : 2007AmJPh..75..352D. doi : 10.1119/1.2432126.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158.
• lixiviación, PGL; GP Flessas (2003). "Generalizaciones del vector de Laplace-Runge-Lenz". J. Matemáticas no lineales. Física . 10 (3): 340–423. arXiv : math-ph/0403028 . Código Bib : 2003JNMP...10..340L. doi :10.2991/jnmp.2003.10.3.6. S2CID  73707398.