Problema clásico de fuerza central

Clase de problemas en mecánica clásica.

En la mecánica clásica, el problema de la fuerza central consiste en determinar el movimiento de una partícula en un único campo potencial central . Una fuerza central es una fuerza (posiblemente negativa) que apunta desde la partícula directamente hacia un punto fijo en el espacio, el centro, y cuya magnitud sólo depende de la distancia del objeto al centro. En unos pocos casos importantes, el problema se puede resolver analíticamente, es decir, en términos de funciones bien estudiadas, como las funciones trigonométricas .

La solución de este problema es importante para la mecánica clásica , ya que muchas fuerzas que ocurren naturalmente son centrales. Los ejemplos incluyen la gravedad y el electromagnetismo descritos por la ley de gravitación universal de Newton y la ley de Coulomb , respectivamente. El problema también es importante porque algunos problemas más complicados de la física clásica (como el problema de dos cuerpos con fuerzas a lo largo de la línea que conecta los dos cuerpos) pueden reducirse a un problema de fuerza central. Finalmente, la solución al problema de la fuerza central a menudo constituye una buena aproximación inicial del movimiento verdadero, como al calcular el movimiento de los planetas en el Sistema Solar .

Lo esencial

La esencia del problema de la fuerza central es resolver la posición r ^{[nota 1]} de una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza central F , ya sea en función del tiempo t o en función del ángulo φ relativo a la centro de fuerza y ​​un eje arbitrario.

Definición de fuerza central

Una fuerza central de atracción que actúa sobre un cuerpo en la posición P (mostrada en rojo). Por definición, una fuerza central debe apuntar hacia un punto fijo O (si es atractiva) o lejos de él (si es repulsiva).

Una fuerza central conservativa F tiene dos propiedades definitorias. [ 1 ^] En primer lugar, debe impulsar las partículas directamente hacia o lejos de un punto fijo en el espacio, el centro de fuerza, que a menudo se denomina O. En otras palabras, una fuerza central debe actuar a lo largo de la línea que une O con la posición actual de la partícula. En segundo lugar, una fuerza central conservativa depende sólo de la distancia r entre O y la partícula en movimiento; no depende explícitamente del tiempo ni de otros descriptores de posición.

Esta doble definición puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera. El centro de fuerza O se puede elegir como origen de un sistema de coordenadas. El vector r que une O con la posición actual de la partícula se conoce como vector de posición . Por lo tanto, una fuerza central debe tener la forma matemática ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$

rrr̂rvector unitariola segunda ley del movimiento de NewtonFam^{[nota 2]}

$${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {a} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$$

Para fuerzas de atracción, F ( r ) es negativa, porque trabaja para reducir la distancia r al centro. Por el contrario, para fuerzas repulsivas, F ( r ) es positiva.

Energía potencial

Si la fuerza central es una fuerza conservativa , entonces la magnitud F ( r ) de una fuerza central siempre se puede expresar como la derivada de una función de energía potencial independiente del tiempo U ( r ) ^[3]

$${\displaystyle F(r)=-{\frac {dU}{dr}}}$$

Por tanto, la energía total de la partícula (la suma de su energía cinética y su energía potencial U ) es una constante; se dice que la energía se conserva . Para demostrar esto, basta con que el trabajo W realizado por la fuerza depende sólo de las posiciones inicial y final, no del camino seguido entre ellas.

$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}F(r){\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =\int _{r_{1}}^{r_{2}}Fdr=U(r_{1})-U(r_{2})}$$

De manera equivalente, basta con que la curvatura del campo de fuerza F sea cero; usando la fórmula para el rizo en coordenadas esféricas ,

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial F}{\partial \varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial F}{\partial \theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=0}$$

derivadas parcialesFcoordenadas esféricas

Dado que el potencial escalar V ( r ) depende sólo de la distancia r al origen, tiene simetría esférica . En este sentido, el problema de la fuerza central es análogo a las geodésicas de Schwarzschild en la relatividad general y a los tratamientos de la mecánica cuántica de partículas en potenciales de simetría esférica .

problema unidimensional

Si la velocidad inicial v de la partícula está alineada con el vector de posición r , entonces el movimiento permanece para siempre en la línea definida por r . Esto se debe a que la fuerza (y según la segunda ley de Newton, también la aceleración a ) también está alineada con r . Para determinar este movimiento basta resolver la ecuación

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=F(r)}$$

Un método de solución es utilizar la conservación de la energía total.

$${\displaystyle |{\dot {r}}|={\Big |}{\frac {dr}{dt}}{\Big |}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}$$

Tomando el recíproco e integrando obtenemos:

$${\displaystyle |t-t_{0}|={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int {\frac {|dr|}{\sqrt {E_{\text{tot}}-U(r)}}}}$$

Durante el resto del artículo, se supone que la velocidad inicial v de la partícula no está alineada con el vector de posición r , es decir, que el vector de momento angular L = r × m v no es cero.

Movimiento circular uniforme

Toda fuerza central puede producir un movimiento circular uniforme, siempre que el radio inicial r y la velocidad v satisfagan la ecuación de la fuerza centrípeta.

$${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}=F(r)}$$

Si esta ecuación se satisface en los momentos iniciales, se cumplirá en todos los momentos posteriores; la partícula continuará moviéndose en un círculo de radio r con velocidad v para siempre.

Relación con el problema clásico de dos cuerpos

Las posiciones x ₁ y x ₂ de dos cuerpos se pueden expresar en términos de su separación relativa r y la posición de su centro de masa R _cm .

El problema de la fuerza central se refiere a una situación ideal (un "problema de un solo cuerpo") en la que una sola partícula es atraída o repelida desde un punto inmóvil O , el centro de fuerza. ^[4] Sin embargo, las fuerzas físicas generalmente se dan entre dos cuerpos; y por la tercera ley de Newton, si el primer cuerpo aplica una fuerza sobre el segundo, el segundo cuerpo aplica una fuerza igual y opuesta sobre el primero. Por lo tanto, ambos cuerpos se aceleran si hay una fuerza entre ellos; no existe un centro de fuerza perfectamente inamovible. Sin embargo, si un cuerpo es abrumadoramente más masivo que el otro, su aceleración relativa al otro puede despreciarse; el centro del cuerpo más macizo puede considerarse aproximadamente fijo. ^[5] Por ejemplo, el Sol es abrumadoramente más masivo que el planeta Mercurio; por lo tanto, se puede aproximar al Sol como un centro de fuerza inmóvil, reduciendo el problema al movimiento de Mercurio en respuesta a la fuerza aplicada por el Sol. En realidad, sin embargo, el Sol también se mueve (aunque sólo ligeramente) en respuesta a la fuerza aplicada por el planeta Mercurio.

Cualquier problema clásico de dos cuerpos debe convertirse en un problema equivalente de un cuerpo. La masa μ de un cuerpo equivalente es igual a la masa reducida de los dos cuerpos originales, y su posición r es igual a la diferencia de sus posiciones.

Sin embargo, tales aproximaciones son innecesarias. Las leyes del movimiento de Newton permiten convertir cualquier problema clásico de dos cuerpos en un correspondiente problema exacto de un solo cuerpo. ^[6] Para demostrar esto, sean x ₁ y x ₂ las posiciones de las dos partículas, y sea r = x ₁ − x ₂ su posición relativa. Entonces, por la segunda ley de Newton,

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{21}}$$

La ecuación final deriva de la tercera ley de Newton ; la fuerza del segundo cuerpo sobre el primer cuerpo ( F ₂₁ ) es igual y opuesta a la fuerza del primer cuerpo sobre el segundo ( F ₁₂ ). Por tanto, la ecuación de movimiento para r se puede escribir en la forma

$${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} }$$

masa reducida? ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$

Como caso especial, el problema de dos cuerpos que interactúan mediante una fuerza central puede reducirse a un problema de fuerza central de un cuerpo.

Propiedades cualitativas

movimiento plano

Ilustración del movimiento plano. El vector de momento angular L es constante; por lo tanto, el vector de posición r y el vector de velocidad v deben estar en el plano amarillo perpendicular a L.

El movimiento de una partícula bajo una fuerza central F siempre permanece en el plano definido por su posición inicial y su velocidad. ^[7] Esto puede verse por simetría. Dado que la posición r , la velocidad v y la fuerza F se encuentran en el mismo plano, nunca hay una aceleración perpendicular a ese plano, porque eso rompería la simetría entre "arriba" y "debajo" del plano.

Para demostrar esto matemáticamente, basta demostrar que el momento angular de la partícula es constante. Este momento angular L está definido por la ecuación

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$$

mpmomento lineal^{[nota 3]}Lrv^{[nota 4]}

En general, la tasa de cambio del momento angular L es igual al par neto r × F ^[8]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$

El primer término m v × v es siempre cero, porque el producto vectorial vectorial siempre es cero para dos vectores cualesquiera que apunten en direcciones iguales o opuestas. Sin embargo, cuando F es una fuerza central, el término restante r × F también es cero porque los vectores r y F apuntan en direcciones iguales o opuestas. Por tanto, el vector de momento angular L es constante. Entonces

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {p} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {r} )=0}$$

En consecuencia, la posición r de la partícula (y por tanto la velocidad v ) siempre se encuentra en un plano perpendicular a L. ^[9]

Coordenadas polares

El vector de posición r de un punto P en el plano se puede especificar por su distancia r desde el centro (el origen O ) y su ángulo azimutal φ . Las componentes cartesianas x e y del vector son r  cos  φ y r  sen  φ , respectivamente.

Dado que el movimiento es plano y la fuerza radial, se acostumbra cambiar a coordenadas polares . ^[9] En estas coordenadas, el vector de posición r se representa en términos de la distancia radial r y el ángulo azimutal φ .

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

Tomando la primera derivada con respecto al tiempo se obtiene el vector de velocidad de la partícula v

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )}$$

De manera similar, la segunda derivada de la posición de la partícula r es igual a su aceleración a

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$$

La velocidad v y la aceleración a se pueden expresar en términos de los vectores unitarios radial y azimutal. El vector unitario radial se obtiene dividiendo el vector de posición r por su magnitud r , como se describió anteriormente

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )}$$

El vector unitario azimutal viene dado por ^{[nota 5]}

$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )}$$

Por tanto, la velocidad se puede escribir como

$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{r}\mathbf {\hat {r}} +v_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{r}\mathbf {\hat {r}} +a_{\varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})\mathbf {\hat {r}} +(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

Momento angular específico

El momento angular específico h es igual a la velocidad v multiplicada por r _⊥ , la componente del vector de posición r perpendicular al vector de velocidad v . h también es igual a la distancia radial r multiplicada por la componente azimutal v _φ de la velocidad. Ambas fórmulas son iguales a rv cos β.

Dado que F = ma por la segunda ley del movimiento de Newton y que F es una fuerza central, entonces sólo la componente radial de la aceleración a puede ser distinta de cero; el componente angular a _φ debe ser cero

$${\displaystyle a_{\varphi }=2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }}=0}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right)=r(2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}+r{\ddot {\varphi }})=ra_{\varphi }=0}$$

Esta expresión entre paréntesis generalmente se denota h

$${\displaystyle h=r^{2}{\dot {\varphi }}=rv_{\varphi }=\left|\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right|=vr_{\perp }={\frac {L}{m}}}$$

que es igual a la velocidad v multiplicada por r _⊥ , la componente del vector de radio perpendicular a la velocidad. h es la magnitud del momento angular específico porque es igual a la magnitud L del momento angular dividida por la masa m de la partícula.

Para abreviar, la velocidad angular a veces se escribe ω

$${\displaystyle \omega ={\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}}$$

Sin embargo, no se debe suponer que ω es constante. Como h es constante, ω varía con el radio r según la fórmula ^[10]

$${\displaystyle \omega ={\frac {h}{r^{2}}}}$$

Dado que h es constante y r ² es positivo, el ángulo φ cambia monótonamente en cualquier problema de fuerza central, ya sea aumentando continuamente ( h positivo) o disminuyendo continuamente ( h negativo). ^[11]

Velocidad de área constante

Dado que el área A es igual a 1 ⁄ 2  r _⊥ vt , la velocidad de área dA / dt (la velocidad a la que A es arrastrada por la partícula) es igual a 1 ⁄ 2 r _⊥ v  =  1 ⁄ 2 h . 

La magnitud de h también es igual al doble de la velocidad área , que es la velocidad a la que la partícula barre el área con respecto al centro. ^[12] Por lo tanto, la velocidad áreal es constante para una partícula sobre la que actúa cualquier tipo de fuerza central; esta es la segunda ley de Kepler . ^[13] Por el contrario, si el movimiento bajo una fuerza conservativa F es plano y tiene una velocidad área constante para todas las condiciones iniciales del radio r y velocidad v , entonces la aceleración azimutal a _φ es siempre cero. Por tanto, según la segunda ley de Newton, F = m a , la fuerza es una fuerza central.

La constancia de la velocidad superficial se puede ilustrar mediante un movimiento circular y lineal uniforme. En un movimiento circular uniforme, la partícula se mueve con velocidad constante v alrededor de la circunferencia de un círculo de radio r . Dado que la velocidad angular ω = v / r es constante, el área barrida en un tiempo Δ t es igual a ω r ² Δ ​​t ; por lo tanto, áreas iguales se barren en tiempos iguales Δ t . En el movimiento lineal uniforme (es decir, movimiento en ausencia de una fuerza, según la primera ley del movimiento de Newton), la partícula se mueve con velocidad constante, es decir, con rapidez constante v a lo largo de una línea. En un tiempo Δ t , la partícula barre un área 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ (el parámetro de impacto ). ^{[nota 6]} La distancia r _⊥ no cambia a medida que la partícula se mueve a lo largo de la línea; representa la distancia de máxima aproximación de la línea al centro O (el parámetro de impacto ). Dado que la velocidad v tampoco cambia, la velocidad área 1 ⁄ 2 vr _⊥ es una constante de movimiento; la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

El área A de un sector circular es igual a 1 ⁄ 2 r ² φ =  1 ⁄ 2 r ² ω t  =  1 ⁄ 2 r v _φ t . Por lo tanto, la velocidad área dA/dt es igual a 1 ⁄ 2 r v _φ  =  1 ⁄ 2 h . Para un movimiento circular uniforme, r y v _φ son constantes; por tanto, dA/dt también es constante.       

Campo de fuerza paralelo equivalente

Mediante una transformación de variables, ^[14] cualquier problema de fuerzas centrales se puede convertir en un problema de fuerzas paralelas equivalente. ^{[nota 7]} En lugar de las coordenadas cartesianas x e y ordinarias , se definen dos nuevas variables de posición ξ = x / y y η = 1/ y , al igual que una nueva coordenada de tiempo τ

$${\displaystyle \tau =\int {\frac {dt}{y^{2}}}}$$

Las ecuaciones de movimiento correspondientes para ξ y η están dadas por

$${\displaystyle {\frac {d\xi }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {x}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=\left({\frac {{\dot {x}}y-{\dot {y}}x}{y^{2}}}\right)y^{2}=-h}$$

$${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\tau }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{y}}\right){\frac {dt}{d\tau }}=-{\frac {\dot {y}}{y^{2}}}y^{2}=-{\dot {y}}}$$

Como la tasa de cambio de ξ es constante, su segunda derivada es cero

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=0}$$

Como ésta es la aceleración en la dirección ξ y como F = ma según la segunda ley de Newton, se deduce que la fuerza en la dirección ξ es cero. Por lo tanto, la fuerza es sólo a lo largo de la dirección η , que es el criterio para un problema de fuerzas paralelas. Explícitamente, la aceleración en la dirección η es igual

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}={\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\eta }{d\tau }}\right)=-y^{2}{\ddot {y}}=-{\frac {y^{3}}{mr}}F(r)}$$

y

$${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {1}{m}}F_{y}={\frac {1}{m}}F(r)\,{\frac {y}{r}}}$$

Aquí, F _y denota la componente y de la fuerza central, y y / r es igual al coseno del ángulo entre el eje y y el vector radial r .

solución general

ecuación de binet

Dado que una fuerza central F actúa sólo a lo largo del radio, sólo la componente radial de la aceleración es distinta de cero. Según la segunda ley del movimiento de Newton, la magnitud de F es igual a la masa m de la partícula multiplicada por la magnitud de su aceleración radial ^[15]

$${\displaystyle F(r)=m{\ddot {r}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {mh^{2}}{r^{3}}}}$$

Esta ecuación tiene factor de integración. ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(r)\,dr&=F(r){\frac {dr}{dt}}\,dt\\&=m\left({\frac {dr}{dt}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {h^{2}}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\right)\,dt\\&={\frac {m}{2}}\,d\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$$

Integrando rendimientos

$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {m}{2}}\left[\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Si h no es cero, la variable independiente se puede cambiar de t a ϕ ^[16]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}=\omega {\frac {d}{d\varphi }}={\frac {h}{r^{2}}}{\frac {d}{d\varphi }}}$$

^[17]

$${\displaystyle \int ^{r}F(r)\,dr={\frac {mh^{2}}{2}}\left[\left(-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {1}{r}}\right)^{2}\right]}$$

Haciendo el cambio de variables al radio inverso u = 1/ r ^[17] se obtiene

donde C es una constante de integración y la función G ( u ) está definida por

$${\displaystyle G(u)=-{\frac {2}{mh^{2}}}\int ^{\frac {1}{u}}F(r)\,dr}$$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al diferenciar por ϕ

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {1}{mh^{2}u^{2}}}F(1/u)}$$

Esto se conoce como ecuación de Binet . Integrando ( 1 ) se obtiene la solución para ϕ ^[18]

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{\frac {1}{r}}{\frac {du}{\sqrt {C-u^{2}-G(u)}}}}$$

ϕ ₀

órbita de la partícula

Tome el producto escalar de la segunda ley del movimiento de Newton por la velocidad de la partícula donde la fuerza se obtiene de la energía potencial.

$${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )\qquad \left/\;\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right.}$$

$${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}m{\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)=-{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}={\frac {dU}{dt}}}$$

regla de la cadena ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\ddot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(x,y,z)=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )\right)=0}$$

^[19] ${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }}$

Además, si el potencial es central, la fuerza es en la dirección radial. En este caso, el producto cruzado de la segunda ley del movimiento de Newton con el vector de posición de la partícula debe desaparecer ya que el producto cruzado de dos vectores paralelos es cero: ${\displaystyle U(x,y,z)=U(r)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0}$$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}=0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L=mrv_{\varphi }=r^{2}{\dot {\varphi }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}^{2}=v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}={\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\varphi }})^{2}}$

$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+U_{\mathrm {eff} }(r)}$$

^[20]

$${\displaystyle U_{\mathrm {eff} }(r)=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

${\displaystyle {\dot {r}}}$

$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {dr/dt}{d\varphi /dt}}={\frac {\dot {r}}{\dot {\varphi }}}={\frac {mr^{2}}{L}}{\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}$$

^[21]

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U_{\mathrm {eff} }(r)}}}}}$$

Cambiando la variable de integración al radio inverso se obtiene la integral ^[22]

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}E_{\mathrm {tot} }-{\frac {2m}{L^{2}}}U(1/u)-u^{2}}}}}$$

CmE _totL ²GumUuL ²E _totUr

Puntos de inflexión y órbitas cerradas

La tasa de cambio de r es cero siempre que la energía potencial efectiva sea igual a la energía total ^[23]

$${\displaystyle E_{\mathrm {tot} }=U(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}$$

Los puntos donde se satisface esta ecuación se conocen como puntos de inflexión . ^[23] La órbita a ambos lados de un punto de inflexión es simétrica; en otras palabras, si el ángulo azimutal se define de manera que φ = 0 en el punto de giro, entonces la órbita es la misma en direcciones opuestas, r ( φ ) = r (− φ ). ^[24]

Si hay dos puntos de inflexión tales que el radio r está limitado entre r _min y r _max , entonces el movimiento está contenido dentro de un anillo de esos radios. ^[23] Como el radio varía de un punto de giro a otro, el cambio en el ángulo azimutal φ es igual a ^[23]

$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int _{r_{\min }}^{r_{\max }}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

La órbita se cerrará sobre sí misma ^{[nota 8]} siempre que Δφ sea igual a una fracción racional de 2 π , es decir, ^[23]

$${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {m}{n}}}$$

mnmnnúmero tan racionalFrrFrr ²ley del cuadrado inverso^[25]

En general, si el momento angular L es distinto de cero, el término L ² /2 mr ² evita que la partícula caiga en el origen, a menos que la energía potencial efectiva llegue al infinito negativo en el límite de r que va a cero. ^[26] Por lo tanto, si hay un único punto de inflexión, la órbita generalmente va al infinito; el punto de inflexión corresponde a un punto de radio mínimo.

Soluciones específicas

problema de kepler

La gravedad clásica es una fuerza central. Resolver ese problema de fuerza central muestra que una partícula ligada sigue una órbita elíptica en la que áreas iguales son barridas en tiempos iguales, como lo describe la segunda ley de Kepler .

En la física clásica , muchas fuerzas importantes siguen una ley del cuadrado inverso, como la gravedad o la electrostática . La forma matemática general de tales fuerzas centrales del cuadrado inverso es

$${\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}$$

${\displaystyle \alpha }$

Este caso especial del problema clásico de la fuerza central se denomina problema de Kepler . Para una fuerza del cuadrado inverso, la ecuación de Binet derivada anteriormente es lineal

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}.}$$

La solución de esta ecuación es

$${\displaystyle u(\varphi )=-{\frac {\alpha }{mh^{2}}}\left[1+e\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]}$$

sección cónicaeφ ₀fórmula del medio ángulo para el seno

$${\displaystyle u(\varphi )=u_{1}+(u_{2}-u_{1})\sin ^{2}\left({\frac {\varphi -\varphi _{0}}{2}}\right)}$$

Como ocurre con todas las fuerzas centrales, la partícula del problema de Kepler barre áreas iguales en tiempos iguales, como lo ilustran los dos sectores elípticos azules. El centro de fuerza está situado en uno de los focos de la órbita elíptica.

donde u ₁ y u ₂ son constantes, con u ₂ mayor que u ₁ . Las dos versiones de la solución están relacionadas por las ecuaciones.

$${\displaystyle u_{1}+u_{2}={\frac {-2\alpha }{mh^{2}}}}$$

$${\displaystyle e={\frac {u_{2}-u_{1}}{u_{2}+u_{1}}}}$$

Dado que la función sen ² es siempre mayor que cero, u ₂ es el valor más grande posible de u y el inverso del valor más pequeño posible de r , es decir, la distancia de máxima aproximación ( periapsis ). Dado que la distancia radial r no puede ser un número negativo, tampoco lo puede ser su inversa u ; por lo tanto, u ₂ debe ser un número positivo. Si u ₁ también es positivo, es el valor más pequeño posible de u , que corresponde al valor más grande posible de r , la distancia de mayor aproximación ( apoapsis ). Si u ₁ es cero o negativo, entonces el valor más pequeño posible de u es cero (la órbita llega al infinito); en este caso, los únicos valores relevantes de φ son aquellos que hacen que u sea positivo.

Para una fuerza de atracción (α < 0), la órbita es una elipse , una hipérbola o una parábola , dependiendo de si u ₁ es positivo, negativo o cero, respectivamente; esto corresponde a una excentricidad e menor que uno, mayor que uno o igual a uno. Para una fuerza repulsiva (α > 0), u ₁ debe ser negativo, ya que u ₂ es positivo por definición y su suma es negativa; por tanto, la órbita es una hipérbola. Naturalmente, si no hay fuerza (α=0), la órbita es una línea recta.

Fuerzas centrales con soluciones exactas.

La ecuación de Binet para u ( φ ) se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central F (1/ u ). Sin embargo, sólo un puñado de fuerzas dan como resultado fórmulas para u en términos de funciones conocidas. Como se derivó anteriormente, la solución para φ se puede expresar como una integral sobre u

$${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}$$

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración puede resolverse en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley potencial, es decir, si F ( r ) = α r ⁿ , entonces u puede expresarse en términos de funciones circulares y/o funciones elípticas si n es igual a 1, -2, -3 (funciones circulares) y -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 y -7/3 (funciones elípticas). ^[27] De manera similar, sólo seis posibles combinaciones lineales de leyes de potencia dan soluciones en términos de funciones circulares y elípticas ^{[28] [29]}

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{3}+Dr^{5}}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br+Cr^{-5}+Dr^{-7}}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr+D}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-4}+Dr^{-5}}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}+Cr^{-3/2}+Dr^{-5/2}}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-1/3}+Cr^{-5/3}+Dr^{-7/3}}$$

Los siguientes casos especiales de los dos primeros tipos de fuerza siempre resultan en funciones circulares.

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br}$$

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-3}+Br^{-2}}$$

El caso especial

$${\displaystyle F(r)=Ar^{-5}}$$

Órbitas giratorias

Ilustración del teorema de Newton sobre las órbitas giratorias. El planeta verde completa una órbita (subarmónica) por cada tres órbitas del planeta azul ( k =1/3). Aquí se encuentra una versión GIF de esta animación .

El término r ⁻³ aparece en todas las leyes de fuerza anteriores, lo que indica que la suma de la fuerza del cubo inverso no influye en la solubilidad del problema en términos de funciones conocidas. Newton demostró que, con ajustes en las condiciones iniciales, la adición de tal fuerza no afecta el movimiento radial de la partícula, sino que multiplica su movimiento angular por un factor constante k . Mahomed y Vawda descubrieron una extensión del teorema de Newton en 2000. ^[29]

Supongamos que una partícula se mueve bajo una fuerza central arbitraria F ₁ ( r ), y denotemos su radio r y su ángulo azimutal φ como r ( t ) y φ ₁ ( t ) en función del tiempo t . Ahora considere una segunda partícula con la misma masa m que comparte el mismo movimiento radial r ( t ), pero cuya velocidad angular es k veces más rápida que la de la primera partícula. En otras palabras, los ángulos azimutales de las dos partículas están relacionados por la ecuación φ ₂ ( t ) = k  φ ₁ ( t ). Newton demostró que la fuerza que actúa sobre la segunda partícula es igual a la fuerza F ₁ ( r ) que actúa sobre la primera partícula, más una fuerza central del cubo inverso ^[30]

$${\displaystyle F_{2}(r)=F_{1}(r)+{\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)}$$

L _{1 es la magnitud del} momento angular

Si k ² es mayor que uno, F ₂ − F ₁ es un número negativo; por lo tanto, la fuerza agregada del cubo inverso es atractiva . Por el contrario, si k ² es menor que uno, F ₂ − F ₁ es un número positivo; la fuerza agregada del cubo inverso es repulsiva . Si k es un número entero como 3, se dice que la órbita de la segunda partícula es un armónico de la órbita de la primera partícula; por el contrario, si k es la inversa de un número entero, como 1 ⁄ 3 , se dice que la segunda órbita es un subarmónico de la primera órbita.

Desarrollo historico

Figura 10: Prueba geométrica de Newton de que una partícula en movimiento barre áreas iguales en tiempos iguales si y sólo si la fuerza que actúa sobre ella en el punto B es una fuerza central. Aquí, el triángulo OAB tiene la misma área que los triángulos OBC y OBK.

derivación de Newton

El problema clásico de la fuerza central fue resuelto geométricamente por Isaac Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , en la que Newton introdujo sus leyes del movimiento . Newton utilizó un equivalente de integración de salto para convertir el movimiento continuo en uno discreto, de modo que se puedan aplicar métodos geométricos. En este enfoque, la posición de la partícula se considera sólo en puntos de tiempo espaciados uniformemente. A modo de ilustración, la partícula en la Figura 10 está ubicada en el punto A en el momento t  = 0, en el punto B en el momento t  = Δ t , en el punto C en el momento t  = 2Δ t , y así sucesivamente para todos los tiempos t  =  n Δ t , donde n es un número entero. Se supone que la velocidad es constante entre estos puntos de tiempo. Por lo tanto, el vector r _AB  =  r _B  −  r _A es igual a Δ t multiplicado por el vector velocidad v _AB (línea roja), mientras que r _BC  =  r _C  −  r _B es igual a v _BC Δ t (línea azul). Como la velocidad es constante entre puntos, se supone que la fuerza actúa instantáneamente en cada nueva posición; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre la partícula en el punto B cambia instantáneamente la velocidad de v _AB a v _BC . El vector de diferencia Δ r  =  r _BC  −  r _AB es igual a Δ v Δ t (línea verde), donde Δ v  =  v _BC  −  v _AB es el cambio de velocidad resultante de la fuerza en el punto B. Dado que la aceleración a es paralela a Δ v y dado que F  =  m a , la fuerza F debe ser paralela a Δ v y Δ r . Si F es una fuerza central, debe ser paralela al vector r _B desde el centro O hasta el punto B (línea verde discontinua); en ese caso, Δ r también es paralelo a r _B.

Si no actúa ninguna fuerza en el punto B , la velocidad no cambia y la partícula llega al punto K en el tiempo t  = 2Δ t . Las áreas de los triángulos OAB y OBK son iguales porque comparten la misma base ( r _AB ) y altura ( r _⊥ ). Si Δ r es paralelo a r _B , los triángulos OBK y OBC son igualmente iguales, porque comparten la misma base ( r _B ) y la altura no cambia. En ese caso, las áreas de los triángulos OAB y OBC son iguales y la partícula barre áreas iguales en el mismo tiempo. Por el contrario, si las áreas de todos esos triángulos son iguales, entonces Δ r debe ser paralelo a r _B , de lo que se deduce que F es una fuerza central. Por tanto, una partícula barre áreas iguales en tiempos iguales si y sólo si F es una fuerza central.

Derivaciones alternativas de las ecuaciones de movimiento.

Mecánica lagrangiana

La fórmula de la fuerza radial también se puede obtener mediante la mecánica lagrangiana . En coordenadas polares, la L lagrangiana de una sola partícula en un campo de energía potencial U ( r ) viene dada por

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}-U(r)}$$

Entonces las ecuaciones de movimiento de Lagrange

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial r}}}$$

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=mr{\dot {\varphi }}^{2}-{\frac {dU}{dr}}={\frac {mh^{2}}{r^{3}}}+F(r)}$$

FrUr

Mecánica hamiltoniana

La fórmula de la fuerza radial también se puede derivar utilizando la mecánica hamiltoniana . En coordenadas polares, el hamiltoniano se puede escribir como

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}\right)+U(r)}$$

Dado que el ángulo azimutal φ no aparece en el hamiltoniano, su momento conjugado p _φ es una constante del movimiento. Este momento conjugado es la magnitud L del momento angular, como lo muestra la ecuación de movimiento hamiltoniana para φ

$${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{\varphi }}}={\frac {p_{\varphi }}{mr^{2}}}={\frac {L}{mr^{2}}}}$$

La ecuación de movimiento correspondiente para r es

$${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{r}}}={\frac {p_{r}}{m}}}$$

Tomando la segunda derivada de r con respecto al tiempo y usando la ecuación de movimiento de Hamilton para p _r se obtiene la ecuación de fuerza radial.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {1}{m}}{\frac {dp_{r}}{dt}}=-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\partial H}{\partial r}}\right)={\frac {p_{\varphi }^{2}}{m^{2}r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {dU}{dr}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}+{\frac {1}{m}}F(r)}$$

Ecuación de Hamilton-Jacobi

La ecuación orbital se puede derivar directamente de la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^[31] Adoptando la distancia radial r y el ángulo azimutal φ como coordenadas, se puede escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi para un problema de fuerza central

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left({\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}\right)^{2}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

SS _φφS _rrE _tot tla función principal de HamiltonE _tottecuaciones diferenciales ordinariasφ

$${\displaystyle {\frac {dS_{\varphi }}{d\varphi }}=p_{\varphi }=L}$$

p _φconstante del movimientoLS _φL

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(r)=E_{\mathrm {tot} }}$$

Integrando esta ecuación para S _r se obtiene

$${\displaystyle S_{r}(r)={\sqrt {2m}}\int dr{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}$$

Tomando la derivada de S con respecto a L se obtiene la ecuación orbital derivada arriba

$${\displaystyle \varphi _{0}={\frac {\partial S}{\partial L}}={\frac {\partial S_{\varphi }}{\partial L}}+{\frac {\partial S_{r}}{\partial L}}=\varphi -{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{r}{\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-U(r)-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}}}}}}$$

Ver también

• Portal de astronomía
• Portal de física

• Geodésicas de Schwarzschild , lo análogo en la relatividad general
• Partícula en un potencial esféricamente simétrico , el análogo en mecánica cuántica
• Átomo similar al hidrógeno , el problema de Kepler en mecánica cuántica
• Potencial cuadrado inverso

Notas

1. A lo largo de este artículo, se utiliza negrita para indicar que cantidades como r y F son vectores , mientras que los números ordinarios se escriben en cursiva. Brevemente, un vector v es una cantidad que tiene una magnitud v (también escrita | v |) y una dirección. Los vectores suelen estar especificados por sus componentes. Por ejemplo, el vector de posición r = ( x , y ) en coordenadas cartesianas se describe como un par ordenado de sus coordenadas xey .
2. En este artículo, la notación de Newton para derivadas ("notación de puntos") se utiliza a veces para facilitar la lectura de las fórmulas; no tiene otro significado. En esta notación, un solo punto sobre una variable significa su primera derivada con respecto al tiempo, por ejemplo,
   $${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}}$$
   De manera similar, un doble punto sobre una variable significa su segunda derivada con respecto al tiempo, por ejemplo,
   $${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}}$$
3. Aquí, el símbolo de multiplicación × indica el producto vectorial , no una simple multiplicación.
4. Si a y b son vectores tridimensionales, su producto vectorial vectorial c = a × b es siempre perpendicular al plano definido por a y b .
5. Esta fórmula para el vector unitario azimutal se puede verificar mediante cálculo; su magnitud es igual a uno
   $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin \varphi )^{2}+(\cos \varphi )^{2}=1}$$
   y su producto escalar con r es igual a cero
   $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\cdot \mathbf {\hat {r}} =-\sin \varphi \cos \varphi +\cos \varphi \sin \varphi =0}$$
   Por tanto, es un vector unitario perpendicular al vector radial r .
6. El área de un triángulo es igual a la mitad de la base por su altura. En este caso, la base viene dada por v Δ t y la altura es igual al parámetro de impacto r _⊥ .
7. Un problema de fuerzas paralelas es aquel en el que la fuerza es exactamente cero en una dirección.
8. Una órbita cerrada es aquella que regresa a su posición inicial después de un tiempo finito con exactamente la misma velocidad. Por tanto, ejecuta exactamente el mismo movimiento una y otra vez.

Referencias

1. Goldstein, pag. 71; Landau y Lifshitz, pág. 30; Sommerfeld, pág. 39; Simón, pág. 121.
2. Landau y Lifshitz, pág. 30; Simón, pág. 121.
3. Goldstein, pag. 4; Landau y Lifshitz, pág. 30; Simón, pág. 122.
4. Goldstein, pag. 71; Landau y Lifshitz, pág. 30; Whittaker, pág. 77.
5. Sommerfeld, pag. 39; Simón, pág. 123.
6. Goldstein, págs. 70–71; Landau y Lifshitz, pág. 29; Symon, págs. 182-185; Whittaker, págs. 76–77.
7. Goldstein, pag. 72; Landau y Lifshitz, pág. 30; Whittaker, pág. 77.
8. Goldstein, págs. 2–3, 6–7.
9. Goldstein, pág. 72.
10. Goldstein, pag. 73; Landau y Lifshitz, págs. 30-31; Sommerfeld, págs. 39 y 40; Symon, págs.124, 127.
11. Landau y Lifshitz, pág. 31.
12. Goldstein, pag. 73; Landau y Lifshitz, págs. 30-31; Sommerfeld, págs. 36, 39; Symon, págs. 127-128.
13. Goldstein, pag. 73; Landau y Lifshitz, pág. 31; Sommerfeld, pág. 39; Simón, pág. 135.
14. Whittaker, págs. 93–94.
15. Goldstein, pag. 73.
16. Goldstein, pag. 75, 86.
17. Goldstein, pág. 86.
18. Whittaker, págs. 80-81.
19. Goldstein, pag. 4.
20. Goldstein, págs. 76–82.
21. Goldstein, pag. 87.
22. Goldstein, pag. 88.
23. Landau y Lifshitz, pag. 32.
24. Landau y Lifshitz, págs. 32-33.
25. Goldstein, págs. 601–605.
26. Landau y Lifshitz, pág. 33.
27. Whittaker, págs. 80–95.
28. Broucke R (1980). "Notas sobre la fuerza central r ⁿ ". Astrofísica y Ciencias Espaciales . 72 (1): 33–53. Código Bib : 1980Ap&SS..72...33B. doi :10.1007/BF00642162. S2CID  123025228.
29. Mahomed FM, Vawda F (2000). "Aplicación de simetrías a problemas de fuerzas centrales". Dinámica no lineal . 21 (4): 307–315. doi :10.1023/A:1008317327402. S2CID  116319304.
30. Newton, Principia , sección IX del Libro I, Proposiciones 43–45, págs. 135–147.
31. Goldstein, págs. 454–457; Landau y Lifshitz, págs. 149-151; Misner, Thorne y Wheeler, págs. 644–649; Sommerfeld, págs. 235-238.

Bibliografía

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1976). Mecánica . Curso de Física Teórica (3ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. ISBN 0-08-029141-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Misner, CW , Thorne, K. y Wheeler, JA (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Sommerfeld, A. (1970). Mecánica . Conferencias de Física Teórica . vol. Yo (4ª ed.). Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-12-654670-5.
• Symon KR (1971). Mecánica (3ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Whittaker, et al. (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-521-35883-5.

enlaces externos

• Problemas de fuerza central de dos cuerpos por DE Gary del Instituto de Tecnología de Nueva Jersey
• Movimiento en un campo de fuerza central Archivado el 21 de septiembre de 2018 en la Wayback Machine por A. Brizard de Saint Michael's College.
• Movimiento bajo la influencia de una fuerza central por GW Collins, II de la Universidad Case Western Reserve
• Videoconferencia de WHG Lewin del Instituto Tecnológico de Massachusetts