problema de kepler

Caso especial del problema de los dos cuerpos.

En mecánica clásica , el problema de Kepler es un caso especial del problema de dos cuerpos , en el que los dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central F que varía en fuerza como el inverso del cuadrado de la distancia r entre ellos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El problema es encontrar la posición o velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas , posiciones y velocidades . Utilizando la mecánica clásica, la solución se puede expresar como una órbita de Kepler utilizando seis elementos orbitales .

El problema de Kepler lleva el nombre de Johannes Kepler , quien propuso las leyes del movimiento planetario de Kepler (que forman parte de la mecánica clásica y resolvieron el problema de las órbitas de los planetas) e investigó los tipos de fuerzas que darían como resultado órbitas que obedecieran esas leyes (llamadas El problema inverso de Kepler ). ^[1]

Para una discusión del problema de Kepler específico de las órbitas radiales, consulte Trayectoria radial . La relatividad general proporciona soluciones más precisas al problema de los dos cuerpos, especialmente en campos gravitacionales fuertes .

Aplicaciones

El problema de Kepler surge en muchos contextos, algunos más allá de la física estudiada por el propio Kepler. El problema de Kepler es importante en la mecánica celeste , ya que la gravedad newtoniana obedece a una ley del cuadrado inverso . Los ejemplos incluyen un satélite que se mueve alrededor de un planeta, un planeta alrededor de su sol o dos estrellas binarias una alrededor de la otra. El problema de Kepler también es importante en el movimiento de dos partículas cargadas, ya que la ley de la electrostática de Coulomb también obedece a una ley del cuadrado inverso .

El problema de Kepler y el problema del oscilador armónico simple son los dos problemas más fundamentales de la mecánica clásica . Son los dos únicos problemas que tienen órbitas cerradas para cada conjunto posible de condiciones iniciales, es decir, regresan a su punto de partida con la misma velocidad ( teorema de Bertrand ). El problema de Kepler también conserva el vector de Laplace-Runge-Lenz , que desde entonces se ha generalizado para incluir otras interacciones. La solución del problema de Kepler permitió a los científicos demostrar que el movimiento planetario podía explicarse enteramente mediante la mecánica clásica y la ley de gravedad de Newton ; La explicación científica del movimiento planetario jugó un papel importante en el inicio de la Ilustración .

Definición matemática

La fuerza central F entre dos objetos varía en intensidad como el inverso del cuadrado de la distancia r entre ellos:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

donde k es una constante y representa el vector unitario a lo largo de la línea entre ellos. ^[2] La fuerza puede ser atractiva ( k <0) o repulsiva ( k >0). El potencial escalar correspondiente es: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

Solución del problema de Kepler

La ecuación de movimiento para el radio de una partícula de masa que se mueve en un potencial central viene dada por las ecuaciones de Lagrange. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$y el momento angular se conserva. A modo de ilustración, el primer término del lado izquierdo es cero para órbitas circulares y la fuerza aplicada hacia adentro es igual al requisito de fuerza centrípeta , como se esperaba. ${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$ ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr\omega ^{2}}$

Si L no es cero, la definición de momento angular permite un cambio de variable independiente de a ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

La expansión del primer término es

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al realizar el cambio de variables y multiplicar ambos lados por ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Después de la sustitución y reordenamiento:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

Para una ley de fuerza del cuadrado inverso, como el potencial gravitacional o electrostático , el potencial se puede escribir

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

La órbita se puede derivar de la ecuación general. ${\displaystyle u(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

cuya solución es la constante más una sinusoide simple ${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

donde (la excentricidad ) y (el desplazamiento de fase ) son constantes de integración. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

Ésta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un foco en el origen; Corresponde a un círculo , corresponde a una elipse, corresponde a una parábola y corresponde a una hipérbola . La excentricidad está relacionada con la energía total (cf. el vector de Laplace-Runge-Lenz ) ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

Comparando estas fórmulas se muestra que corresponde a una elipse (todas las soluciones que son órbitas cerradas son elipses), corresponde a una parábola y corresponde a una hipérbola . En particular, para órbitas perfectamente circulares (la fuerza central es exactamente igual al requisito de fuerza centrípeta , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado). ${\displaystyle E<0}$ ${\displaystyle E=0}$ ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

Para una fuerza repulsiva ( k  > 0) solo se aplica e  > 1.

Ver también

• Coordenadas del ángulo de acción
• teorema de bertrand
• ecuación de binet
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• órbita de Kepler
• Problema de Kepler en la relatividad general
• ecuación de kepler
• Las leyes del movimiento planetario de Kepler

Referencias

1. Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison Wesley .
2. Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 2ª ed. Nueva York: Springer-Verlag . pag. 38.ISBN​ 978-0-387-96890-2.