Curvatura de las variedades de Riemann

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa ( hiperboloide ), una superficie de curvatura gaussiana cero ( cilindro ) y una superficie de curvatura gaussiana positiva ( esfera ). En dimensiones superiores, una variedad puede tener diferentes curvaturas en diferentes direcciones, descritas por el tensor de curvatura de Riemann .

En matemáticas , específicamente en geometría diferencial , la geometría infinitesimal de las variedades de Riemann con dimensión mayor que 2 es demasiado complicada para ser descrita por un solo número en un punto dado. Riemann introdujo una forma abstracta y rigurosa de definir la curvatura de estas variedades, ahora conocida como el tensor de curvatura de Riemann . Nociones similares han encontrado aplicaciones en todas partes en la geometría diferencial de superficies y otros objetos. La curvatura de una variedad pseudo-riemanniana se puede expresar de la misma manera con solo ligeras modificaciones.

Formas de expresar la curvatura de una variedad de Riemann

El tensor de curvatura de Riemann

La curvatura de una variedad de Riemann se puede describir de varias maneras; la más estándar es el tensor de curvatura, dado en términos de una conexión de Levi-Civita (o diferenciación covariante ) y un corchete de Lie mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}$

Aquí hay una transformación lineal del espacio tangente de la variedad; es lineal en cada argumento. Si y son campos de vectores de coordenadas, entonces y por lo tanto la fórmula se simplifica a ${\displaystyle R(u,v)}$ ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$ ${\displaystyle [u,v]=0}$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}$

es decir, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante .

La transformación lineal también se llama transformación de curvatura o endomorfismo . ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$

NB Hay algunos libros donde el tensor de curvatura se define con signo opuesto.

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura tiene las siguientes simetrías:

${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}$

${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

La última identidad fue descubierta por Ricci , pero a menudo se la llama la primera identidad de Bianchi , simplemente porque se parece a la identidad de Bianchi a continuación. Las dos primeras deben abordarse como antisimetría y propiedad del álgebra de Lie respectivamente, ya que la segunda significa que R ( u , v ) para todos los u , v son elementos del álgebra de Lie pseudoortogonal. Las tres juntas deben llamarse estructura de curvatura pseudoortogonal . Dan lugar a un tensor solo por identificaciones con objetos del álgebra tensorial, pero también hay identificaciones con conceptos en el álgebra de Clifford. Notemos que estos tres axiomas de una estructura de curvatura dan lugar a una teoría de estructura bien desarrollada, formulada en términos de proyectores (un proyector de Weyl, que da lugar a la curvatura de Weyl y un proyector de Einstein, necesario para la configuración de las ecuaciones gravitacionales de Einstein). Esta teoría de estructura es compatible con la acción de los grupos pseudoortogonales más dilataciones . Tiene fuertes vínculos con la teoría de los grupos y álgebras de Lie, las ternas de Lie y las álgebras de Jordan. Véanse las referencias que se dan en la discusión.

Las tres identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisfaga las identidades anteriores, se podría encontrar una variedad de Riemann con dicho tensor de curvatura en algún punto. Cálculos simples muestran que dicho tensor tiene componentes independientes. Otra identidad útil se desprende de estas tres: ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}$

La identidad de Bianchi (a menudo la segunda identidad de Bianchi ) implica las derivadas covariantes:

${\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}$

Curvatura seccional

La curvatura seccional es una descripción adicional, equivalente pero más geométrica, de la curvatura de las variedades de Riemann. Es una función que depende de una sección (es decir, un plano 2 en los espacios tangentes). Es la curvatura de Gauss de la sección en p ; aquí , la sección es una parte de superficie definida localmente que tiene el plano como plano tangente en p , obtenido a partir de geodésicas que comienzan en p en las direcciones de la imagen de bajo el mapa exponencial en p . ${\displaystyle K(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Si son dos vectores linealmente independientes en entonces ${\displaystyle v,u}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle }$

La siguiente fórmula indica que la curvatura seccional describe completamente el tensor de curvatura:

${\displaystyle 6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}}$

${\displaystyle [K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}}$

O en una fórmula más simple:

$${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}}$$

Forma de curvatura

La forma de conexión proporciona una forma alternativa de describir la curvatura. Se utiliza más para fibrados vectoriales generales y para fibrados principales , pero funciona igual de bien para el fibrado tangente con la conexión de Levi-Civita . La curvatura de una variedad riemanniana n -dimensional está dada por una matriz n × n antisimétrica de 2-formas (o equivalentemente una 2-forma con valores en , el álgebra de Lie del grupo ortogonal , que es el grupo de estructura del fibrado tangente de una variedad riemanniana). ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$

Sea una sección local de bases ortonormales. Entonces se puede definir la forma de conexión, una matriz antisimétrica de 1-formas que satisfacen la siguiente identidad ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle }$

Entonces la forma de curvatura se define por ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$.

Tenga en cuenta que la expresión " " es una abreviatura de y, por lo tanto, no necesariamente se anula. A continuación se describe la relación entre la forma de curvatura y el tensor de curvatura: ${\displaystyle \omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}}$

${\displaystyle R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.}$

Este enfoque incorpora todas las simetrías del tensor de curvatura excepto la primera identidad de Bianchi , que toma la forma

${\displaystyle \Omega \wedge \theta =0}$

donde es un n -vector de 1-formas definido por . La segunda identidad de Bianchi toma la forma ${\displaystyle \theta =\theta ^{i}}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle }$

${\displaystyle D\Omega =0}$

D denota la derivada covariante exterior

El operador de curvatura

A veces es conveniente pensar en la curvatura como un operador en bivectores tangentes (elementos de ), que se define de forma única por la siguiente identidad: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)}$

${\displaystyle \langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .}$

Es posible hacer esto precisamente debido a las simetrías del tensor de curvatura (es decir, la antisimetría en el primer y último par de índices, y la simetría en bloque de esos pares).

Otros tensores de curvatura

En general, los siguientes tensores y funciones no describen completamente el tensor de curvatura, pero juegan un papel importante.

Curvatura escalar

La curvatura escalar es una función de cualquier variedad de Riemann, denotada de diversas formas por o . Es la traza completa del tensor de curvatura; dada una base ortonormal en el espacio tangente en un punto ${\displaystyle S,R}$ ${\displaystyle {\text{Sc}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

tenemos

${\displaystyle S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,}$

donde denota el tensor de Ricci . El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. A partir de la dimensión 3, la curvatura escalar no describe completamente el tensor de curvatura. ${\displaystyle {\text{Ric}}}$

Curvatura de Ricci

La curvatura de Ricci es un operador lineal en el espacio tangente en un punto, normalmente denotado por . Dada una base ortonormal en el espacio tangente en p tenemos ${\displaystyle {\text{Ric}}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle {\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}}$

El resultado no depende de la elección de la base ortonormal. Con cuatro o más dimensiones, la curvatura de Ricci no describe completamente el tensor de curvatura.

Expresiones explícitas para el tensor de Ricci en términos de la conexión Levi-Civita se dan en el artículo sobre los símbolos de Christoffel .

Tensor de curvatura de Weyl

El tensor de curvatura de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de curvatura de Riemann, pero con una restricción adicional: su traza (tal como se usa para definir la curvatura de Ricci) debe desaparecer.

El tensor de Weyl es invariante con respecto a un cambio conforme de métrica: si dos métricas están relacionadas como para alguna función escalar positiva , entonces . ${\displaystyle {\tilde {g}}=fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}=W}$

En las dimensiones 2 y 3 el tensor de Weyl se anula, pero en 4 o más dimensiones el tensor de Weyl puede ser distinto de cero. Para una variedad de curvatura constante , el tensor de Weyl es cero. Además, si y solo si la métrica es localmente conforme a la métrica euclidiana . ${\displaystyle W=0}$

Descomposición de Ricci

Aunque individualmente, el tensor de Weyl y el tensor de Ricci no determinan en general el tensor de curvatura completo, el tensor de curvatura de Riemann se puede descomponer en una parte de Weyl y una parte de Ricci. Esta descomposición se conoce como descomposición de Ricci y desempeña un papel importante en la geometría conforme de las variedades de Riemann. En particular, se puede utilizar para demostrar que si la métrica se reescala mediante un factor conforme de , entonces el tensor de curvatura de Riemann cambia a (visto como un tensor (0, 4)): ${\displaystyle e^{2f}}$

${\displaystyle e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)}$

donde denota el producto Kulkarni-Nomizu y Hess es el hessiano. ${\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}}$

Cálculo de curvatura

Para el cálculo de la curvatura

• de hipersuperficies y subvariedades ver segunda forma fundamental ,
• en coordenadas ver lista de fórmulas en geometría de Riemann o derivada covariante ,
• Al mover los marcos, véase la conexión de Cartan y la forma de curvatura .
• La ecuación de Jacobi puede ayudar si uno sabe algo sobre el comportamiento de las geodésicas .

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 (nueva edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.
• Woods, FS (1901). "Espacio de curvatura constante". Anales de Matemáticas . 3 (1/4): 71–112. doi :10.2307/1967636. JSTOR  1967636.

Notas