Teorema de Green-Tao

La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi.contiene infinitas progresiones aritméticas de longitudEn particular, todo el conjunto de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.En su trabajo posterior sobre los números primos gemelos generalizados, Green y Tao establecieron y probaron condicionalmente la fórmula asintótica para el número de k-tuplas de números primos[4]​ La prueba de Green y Tao tiene tres componentes principales: Se han encontrado numerosas simplificaciones al argumento del artículo original[1]​.Conlon, Fox y Zhao (2014) proporciona una exposición moderna de la prueba.La demostración del teorema de Green-Tao no muestra cómo encontrar las progresiones aritméticas de números primos; simplemente prueba su existencia, independientemente de que por separado se haya realizado un trabajo computacional para encontrar grandes progresiones aritméticas en los números primos.El artículo de Green-Tao afirma: "En el momento de escribir este artículo, la progresión aritmética de números primos más larga conocida tiene una longitud de 23 y fue encontrada en 2004 por Markus Frind, Paul Underwood y Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k= 0, 1, .Fox y Zhao también simplificaron la prueba Tao-Ziegler.[10]​ En 2006, Tao y Ziegler ampliaron el teorema de Green-Tao para cubrir progresiones polinómicas.[11]​[12]​ Más precisamente, dado cualquier polinomio de valores enteros P1, ..., Pk para una m desconocida, todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x, m tal que x + P1(m), ..., x + Pk (m) que son simultáneamente primos.