Teorema de Szemerédi

En combinatoria aritmética, el teorema de Szemerédi (denominado así en referencia al matemático húngaro Endre Szemerédi) es un resultado relativo a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros.En 1936, Erdős y Turán conjeturaron[1]​ que cada conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene k términos en progresión aritmética para cada k. Endre Szemerédi demostró la conjetura en 1975.Se dice que un subconjunto A de números naturales tiene densidad superior positiva si El teorema de Szemerédi afirma que un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k para todos los números enteros positivos k. Una versión finita equivalente de uso frecuente del teorema establece que para cada número entero positivo k y número realUsando un enfoque similar al que usó para el caso k= 3, Roth[4]​ dio una segunda prueba de este teorema en 1972.El caso general se resolvió en 1975, también por Szemerédi,[5]​ quien desarrolló una extensión ingeniosa y complicada de su anterior argumento combinatorio para k= 4 (llamado "una obra maestra del razonamiento combinatorio" por Erdős[6]​).[9]​ Para k pequeño, existen límites más estrechos que en el caso general.Cuando k= 3, Bourgain,[16]​[17]​ Heath-Brown,[18]​ Szemerédi,[19]​ y Sanders[20]​ proporcionaron límites superiores cada vez más pequeños.Los mejores límites actuales son debido a O'Bryant[11]​ y Bloom[21]​ respectivamente.Hillel Furstenberg y Yitzhak Katznelson demostraron por primera vez una generalización multidimensional del teorema de Szemerédi utilizando la teoría ergódica.Alexander Leibman y Vitaly Bergelson[30]​ generalizaron Szemerédi a progresiones polinómicas: siEl resultado de Leibman y Bergelson también es válido en un entorno multidimensional.[31]​ El análogo de campo finito se puede usar como modelo para comprender el teorema en los números naturales.El teorema de Green-Tao afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas.Desde entonces, David Conlon, Jacob Fox y Yufei Zhao han dado un teorema de Szemerédi relativo más general.