Prueba constructiva

En matemáticas, una prueba constructiva es un método de demostración para constatar la existencia de un objeto matemático creando o proporcionando un método para crear el objeto.Para evitar confusiones con el concepto más fuerte que se trata a continuación, tal prueba constructiva a veces se denomina prueba efectiva.Una prueba constructiva también puede referirse al concepto más fuerte de una prueba que es válida según los criterios de la matemática constructiva.Esto excluye, en particular, el uso del principio del tercero excluido, el axioma del infinito y el axioma de elección, e induce un significado diferente para alguna terminología (por ejemplo, el término "o" tiene un significado más fuerte en las matemáticas constructivas que en las clásicas).[1]​ Algunas demostraciones no constructivas muestran que si cierta proposición es falsa, se produce una contradicción; en consecuencia, la proposición debe ser verdadera (prueba por contradicción).Hasta finales del siglo XIX, todas las demostraciones matemáticas eran esencialmente constructivas.El Nullstellensatz (teorema cero) se puede establecer de la siguiente manera: si[2]​ Veinticinco años después, Grete Hermann proporcionó un algoritmo para calcularPero una forma común de simplificar la prueba de Euclides postula que, contrariamente a la afirmación del teorema, solo hay un número finito de primos, en cuyo caso hay uno más grande, denotado n. ¡Entonces considérese el número n!Una prueba simple de que una potencia de un número irracional elevado a un exponente irracional puede ser racional.Dov Jarden     JerusalénCon un poco más de detalle: En esencia, esta prueba no es constructiva porque se basa en la declaración "O bien q es racional o bien es irracional", una instancia del principio del tercero excluido, que no es válida dentro de una prueba constructiva.La prueba no constructiva no construye un ejemplo de a y b; simplemente da una serie de posibilidades (en este caso, dos posibilidades mutuamente excluyentes) y muestra que una de ellas, pero no muestra "cuál", debe producir el ejemplo deseado.es irracional debido al teorema de Gelfond-Schneider, pero este hecho es irrelevante para la corrección de la prueba no constructiva., entonces, por las propiedades del logaritmo, 9n sería igual a 2m, pero el primero es impar, y el último es par.Un ejemplo más sustancial es el teorema del menor de un grafo.Sin embargo, la prueba de la existencia de este conjunto finito no es constructiva y los menores prohibidos no están realmente especificados,[6]​ y todavía se desconocen.Sin embargo, también es posible dar un contraejemplo brouweriano para demostrar que el enunciado no es constructivo.Por ejemplo, se puede demostrar que un enunciado en particular implica la ley del tercero excluido.El campo de las matemáticas inversas constructivas desarrolla aún más esta idea al clasificar varios principios en términos de "cuán no constructivos" son, al mostrar que son equivalentes a varios fragmentos de la ley del tercero excluido.[8]​ Sin embargo, tales contraejemplos no refutan una declaración; solo muestran que, en la actualidad, no se conoce ninguna prueba constructiva de la declaración.Un contraejemplo débil comienza tomando algún problema matemático sin resolver, como la conjetura de Goldbach, que pregunta si todo número natural par mayor que 4 es la suma de dos números primos.Además, como a es un sucesión de Cauchy con tasa de convergencia fija, a converge a algún número real α, según el tratamiento habitual de los números reales en las matemáticas constructivas.Varios datos sobre el número real α pueden probarse constructivamente.Debido a que no se conoce tal prueba, la declaración citada tampoco debe tener una prueba constructiva conocida.Sin embargo, es muy posible que la conjetura de Goldbach pueda tener una prueba constructiva (ya que no se sabe si la tiene), en cuyo caso la declaración citada también tendría una prueba constructiva, aunque se desconoce en la actualidad.