[1][2] Otro hito importante en este tema es el teorema de los números primos.Por ejemplo, el método del círculo de Hardy y Littlewood que fue desarrollado para aplicarlo a una serie de potencias cerca del círculo unitario en el plano complejo; actualmente se concibe como función de sumas exponenciales finitas (dentro del círculo unitario, pero con las series de potencias truncadas).Las necesidades de la aproximación diofantina de funciones auxiliares que no son funciones generatrices – sus coeficientes son obtenidos utilizando el Principio del palomar (o de Dirichlet)– y comprende a varias variables complejas.Los campos de la aproximación diofantina y la teoría trascendente se han extendido, al punto que las técnicas se han aplicado a la conjetura de Mordell.El mayor cambio a nivel técnico posterior a 1950 ha sido el desarrollo de los métodos de cribado[6] como herramienta, particularmente útil en problemas multiplicativos.Estos son de naturaleza combinatoria, y sumamente variados.La rama extrema de la teoría combinatoria ha sido a su vez muy influida por el valor dado a la teoría analítica de números para establecer cotas superiores e inferiores.Los teoremas y resultados más importantes de la teoría analítica de números no suelen ser resultados estructurales exactos sobre los enteros, para los cuales las herramientas algebraicas y geométricas son más apropiadas.Euclides demostró que existe un número infinito de primos, pero resulta muy difícil encontrar un método eficiente para determinar si un número es primo o no, especialmente en el caso de números primos muy grandes.En 1859 Bernhard Riemann utilizó análisis complejo y una función especial meromorfa actualmente conocida como función zeta de Riemann para obtener una expresión analítica para los números primos menores o iguales que un número real x.Riemann descubrió que los términos de error en esta expresión y, por lo tanto la forma en que los primos se encuentran distribuidos, están estrechamente relacionados con los ceros complejos de la función zeta.Este resultado notable es lo que actualmente se conoce como el Teorema de los números primos.El teorema de los números primos puede generalizarse para este problema; si π(x,a,q) = { número de primos ≤ x tal que p se encuentra en la progresión aritmética a+nq}, entonces si a y q son coprimos,También existe una gran cantidad de conjeturas complejas y amplias en la teoría de números cuyas demostraciones parecerían ser demasiado difíciles para las técnicas disponibles actualmente, tal como la conjetura de los primos gemelos que se pregunta si existe un número infinito de primos p tales que p + 2 es primo.Suponiendo la validez de la conjetura de Elliott-Halberstam recientemente se ha demostrado (por Daniel Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım) que existe un número infinito de primos p tales que p + k es primo para un número par positivo k menor que 16.El caso de los cuadrados, k = 2, lo resolvió Lagrange en 1770, que demostró que todo número entero positivo es la suma de a lo sumo cuatro cuadrados.El caso general lo demostró Hilbert en 1909, utilizando técnicas algebraicas que no brindaron cotas explícitas.Un avance muy importante fue el uso de técnicas analíticas para atacar el problema que desarrollaron Hardy y Littlewood.Estas técnicas son el denominado método del círculo, y da cotas superiores explícitas de la función G(k), el menor número de potencias késimas necesarias, tal como la cota de Vinogradov Los problemas diofantinos tratan sobre las soluciones enteras a ecuaciones polinómicas, y especialmente cuantas soluciones es esperable encontrar dentro de un cierto intervalo.Uno de los ejemplos más importantes es el problema del círculo de Gauss, que busca puntos enteros del tipo (x y) que satisfacenEn términos geométricos, dado un círculo centrado en el origen en el plano de radio r, el problema se pregunta cuantos puntos de una retícula cuyos vértices sean números enteros se encuentran sobre o dentro del círculo.Nuevamente, la parte difícil y el gran logro de la teoría analítica de números es obtener cotas superiores específicas del término error E(r).En general, un término error del tipo O(r) es posible con el círculo unitario (o, más apropiadamente, el disco unitario cerrado) reemplazado por los dilates de cualquier región plana acotada con una frontera suave de a trozos.En 1915, Hardy y Landau demostraron (cada uno en forma independiente) que no se tiene, el cual es el mejor resultado que haya sido publicado., esta serie puede converger en todo el dominio, en ningún punto, o en una porción del plano.En muchos casos, aun cuando la serie no converge en ningún punto, la función holomórfica que define puede ser extendida analíticamente a una función meromórfica en todo el plano complejo.Más aún, se pueden utilizar técnicas tales como las sumas parciales y los teoremas tauberianos para obtener información sobre los coeficientes a partir de información analítica sobre las series de Dirichlet.Por lo tanto un método usual para estimar una función multiplicativa es expresarla como una serie de Dirichlet (o un producto de series de Dirichlet más simples utilizando identidades de convolución), examinar esta serie como una función compleja y luego convertir esta información analítica en información sobre la función original.En su trabajo fechado en 1859, Riemann hizo la conjetura que todos los ceros "no-triviales" de ζ se encuentran ubicados sobre la línea
The Rieman Zeta Function ζ(s) represented in a rectangular region of the complex plane. It is generated as a matplotlib plot using a version of the Domain coloring method [1]
Representación de la función zeta de Riemann ζ(
s
) en el
plano complejo
. El color en cada punto
s
representa el valor de ζ(
s
): los colores fuertes significan valores próximos a cero. El sector blanco para s = 1 es el polo de la función zeta; los puntos negros en la parte negativa del eje real y sobre la línea crítica Re(s) = 1/2 son sus ceros. Los valores positivos reales son mostrados en color rojo.
