Serie de Leibniz

Sin embargo, la ecuación no utiliza series infinitas, y se cumple para cualquier valor real de x.

Tomando 5 millones de términos, se obtiene: donde las cifras subrayadas son incorrectas.

El Método Original: este método requiere demasiadas iteraciones, ya que, se ajusta por sobre y luego por debajo del número objetivo, es una serie que tiene como límite Pi, por esto tardara mucho en ir ajustándose, además por cada iteracion realizara un ajuste cada vez más pequeño y así hasta el infinito, pero este método puede ser utilizado como base para un algoritmo de optimización.

Promedios escalonados: en una analogía simple, es como subir por una escalera, en un instante tendrás los dos pies en la escalera, escalones distintos (sacas el promedio entre ambos) y luego subirás solo un peldaño manteniendo un escalón en común con el estado anterior (sacas el promedio entre ambos) Útil en este algoritmo, ya que, se puede apreciar en el gráfico de la Serie de Leibniz y Serie en dos Grupos, que siempre esta por sobre o por debajo del objetivo y como su distancia se acorta bruscamente en comparación entre la primera y las siguientes iteraciones, se puede ver como si las restas fueran más grandes que las sumas, pero solo es un efecto visual, ya que, estas diferencias se va reduciendo por cada iteracion como una curva, por lo que, no sirve promediar todos sus resultados, si se ve la Serie en dos Grupos se notara que los promedios se mantienen alejados del centro objetivo.

Promedios en cascadas: en cuanto se cuente con los últimos N promedios escalonados de la serie, se debe realizar lo mismo para el siguiente nivel, calculando los promedios escalonados a los N resultados, obteniendo como la cantidad de N-1 resultados y luego volver a realizarlo para el siguiente nivel, hasta obtener solo un número como resultado N=1 Por cada N promedio habrá N niveles de profundidad antes de alcanzar un único número como resultado Útil para un ajuste rápido, llegando a ganar incluso un decimal de precisión por cada nivel

Este método logró a obtener los 6 decimales con solo 13 iteraciones y 10 promedios:

El código del algoritmo propuesto por Antonio Molina es el siguiente: Ejemplo pasos del Método 3: Calcular Pi con 7 decimales utilizando el método optimizado por Antonio Molina, para esto iteraremos 16 veces y promediaremos los últimos 9 resultados en cascada y escalonados.

Comparación con otras Series Pi: Se incluye Gráfica animada donde se compara algunas de las series Pi de eficiencia similar con la versión Leibniz optimizada a nivel 6 (por Antonio Molina), esto significa que toma los últimos 6 promedios y los desarrolla en cascada, para acelerar la convergencia, teniendo un bajo costo computacional en comparación a otros cálculos más complejos para alcanzar este nivel.