Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)[1] y publicada póstumamente en 1763,[2] que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio
Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.
Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Con la interpretación probabilidad bayesiana, el teorema expresa cómo un grado de creencia, expresado como una probabilidad, debería cambiar racionalmente para tener en cuenta la disponibilidad de pruebas relacionadas.
La inferencia bayesiana es fundamental para la estadística bayesiana, siendo considerada por una autoridad como; "a la teoría de la probabilidad lo que el teorema de Pitágoras es a la geometría.
Bayes utilizó la probabilidad condicional para proporcionar un algoritmo (su Proposición 9) que utiliza la evidencia para calcular los límites de un parámetro desconocido.
Bayes estudió cómo calcular una distribución para el parámetro de probabilidad de una distribución binomial (en terminología moderna).
A la muerte de Bayes, su familia transfirió sus documentos a un amigo, el ministro, filósofo y matemático Richard Price.
[4] Price editó[5] La obra principal de Bayes "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763), que apareció en Philosophical Transactions,[6] y contiene el teorema de Bayes.
[7][8] El 27 de abril se leyó en la Royal Society, y posteriormente se publicó, una carta enviada a su amigo Benjamin Franklin en la que Price aplica este trabajo a la población y al cálculo de las "pensiones vitalicias".
[12] Stephen Stigler utilizó un argumento bayesiano para concluir que el teorema de Bayes fue descubierto por Nicholas Saunderson, un matemático inglés ciego, algún tiempo antes que Bayes;[13][14] esa interpretación, sin embargo, ha sido discutida.
[15] Martyn Hooper[16] y Sharon McGrayne[17] han argumentado que la contribución de Richard Price fue sustancial:
es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales
viene dada por la expresión: donde: Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes: Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional
«ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias».
Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea.
En esencia, los seguidores de la estadística tradicional solo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas.
El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento.
La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
Como observación, se obtiene la siguiente fórmula
Como aplicaciones puntuales: En genética, el teorema de Bayes puede utilizarse para calcular la probabilidad de que un individuo tenga un genotipo específico.
Se puede realizar un análisis bayesiano basado en los antecedentes familiares o en las pruebas genéticas, con el fin de predecir si un individuo desarrollará una enfermedad o la transmitirá a sus hijos.
Las pruebas y la predicción genéticas son una práctica habitual entre las parejas que planean tener hijos pero que están preocupadas por la posibilidad de que ambos sean portadores de una enfermedad, especialmente en comunidades con baja varianza genética.
[19] El primer paso del análisis bayesiano para la genética es proponer hipótesis mutuamente excluyentes: para un alelo específico, un individuo es o no es portador.
