Problema de los tres cuerpos

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución analítica mediante el método de las cuadraturas integrales, ya que es un sistema integrable, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, lo que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.Como demostró el matemático francés Henri Poincaré, no existe una fórmula que lo rija.Además de estas 10 integrales, no existe ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente.Esto no implica, sin embargo, que no exista una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie.Entre muchos otros logros, en su trabajo aparece ya el caos, y aplica la teoría de la perturbación, que consiste en resolverlo como un problema de dos cuerpos y considerar que el tercero perturba la posición de los otros dos.Se trata de un caso de inestabilidad, denominado el «problema teórico fundamental de la estabilidad del equilibrio», un fenómeno que en términos actuales puede denominarse movimiento caótico y que no pudo ser abordado hasta 1949 cuando el matemático uruguayo José Luis Massera lo caracterizó en términos de las funciones de Lyapunov.En 1776 el matemático francés Pierre Simon Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité de la Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro.Durante más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados y se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el sistema solar sería estable para siempre.Poincaré fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de un comportamiento que dependiera sensiblemente de las condiciones iniciales.En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.(Para una discusión del caso donde el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de masa menor, véase el artículo sobre la esfera de Hill; para los sistemas binarios, véase el lóbulo de Roche; para soluciones estables del sistema, véase puntos de Lagrange).El problema restringido (circular y elíptico) fue estudiado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, como Lagrange en el siglo XVIII y Henri Poincaré al final del siglo XIX.Los otros dos se localizan en el tercer vértice formando con las dos masas principales triángulos equiláteros.En el sistema Sol-Júpiter los puntos lagrangianos están en la misma órbita de Júpiter pero 60° por delante o por detrás y forman con el Sol y Júpiter dos triángulos equiláteros.El que estos puntos estén ocupados por los asteroides troyanos constituye una bella confirmación.Típicamente muchos sistemas de tres cuerpos pueden ser pensados como un sistema binario (dos masas cercanas en fuerte interacción), unidas a una tercera masa más lejana que perturba el sistema binario.Si bien las ecuaciones presentadas en esta sección son generales es más fácil sacar conclusiones a partir de ella, si el sistema inicialmente es un sistema binario unido a un tercer cuerpo más lejano.Conceptualizando las cosas el sistema de tres cuerpos puede ser pensado como un "sistema binario interior" acoplado a un "sistema binario exterior" (este último formado por el centro del masas del sistema binario interior y el tercer cuerpo), y las coordenadas de Jacobi están basadas en esa idea.se usan distancia relativa dentro del sistema binario interior(esto es similar al tratamiento del problema de los dos cuerpos) y la distancia relativa del centro de masas del sistema binario interior al tercer cuerpoes paralela a una recta que va del centro de gravedad del sistema binario interior al tercer cuerpo y contiene el centro de masa de los tres cuerpos.Debido a las simetrías rotacionales globales de este sistema podemos reducir el número de variables escogiendo adecuadamente algunas cosas.Primero, definimos dos masas reducidas para el sistema binario interior y el exterior: (1)Con estas definiciones, podemos estudiar el sistema mediante un conjunto de 12 variables,Si usamos ecuaciones diferencias de segundo orden el sistema queda descrito por: (2)contiene toda la información sobre como la órbita interior y la órbita exterior intercambian energía y momento angular.[1]​ Si se pretende identificar las configuraciones inestables de sistemas de tres cuerpos, que permitirían que uno de los tres cuerpos fuera impulsado hasta el infinito geométrico, se requiere ver qué pasa con la función perturbativa, que es la clave para estudiar ese y otros aspectos, como la resonancia que se da entre los dos sistemas binarios (interno y externo).