Trigonometría racional

Sus ideas se exponen en su libro de 2005 "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry" (Proporciones divinas: de la Trigonometría Racional a la Geometría Universal).[1]​ Según la revista New Scientist, parte de su motivación para una alternativa a la trigonometría tradicional era evitar algunos problemas que afirma que ocurren cuando se usan series infinitas en matemáticas.[2]​ Wildberger se inspira en los matemáticos anteriores a la teoría de conjuntos infinitos de Georg Cantor, como Carl Friedrich Gauss y Euclides, quienes asegura que eran mucho más cautelosos al usar conjuntos infinitos que los matemáticos modernos.[2]​[nb 1]​ Hasta la fecha, la trigonometría racional no se menciona en la literatura matemática convencional.La trigonometría racional, por lo demás, se basa ampliamente en la geometría analítica cartesiana, con un punto definido como un par ordenado de números racionales y una línea en la forma una ecuación de primer grado general con coeficientes racionales a, b y c. Al evitar los cálculos que dependen de operaciones como la raíz cuadrada que dan solo distancias aproximadas entre puntos o funciones trigonométricas estándar (y sus inversas), dar solo polinomios truncados como aproximaciones de ángulos (o sus proyecciones), la geometría se vuelve completamente algebraica.A continuación, se afirma, esto hace que muchos resultados clásicos de la geometría euclidiana se apliquen en forma racional (mediante análogos cuadráticos) sobre cualquier campo que no sea de característica dos.Proporciones divinas fue descartada por el crítico Paul J. Campbell, quien escribió en el Mathematics Magazine de la Mathematical Association of America (MAA): "El autor afirma que esta nueva teoría requerirá 'menos de la mitad del tiempo habitual para aprender'; pero lo dudo, y aún tendría que estar conectado con los conceptos y la notación tradicionales".El crítico William Barker, profesor Isaac Wing de Matemáticas en el Bowdoin College, que también escribió para el MAA, fue más aprobador: "«Proporciones divinas» es sin dudas una valiosa adición a la literatura matemática.[2]​ James Franklin en The Mathematical Intelligencer argumentó que el libro merecía una consideración cuidadosa.[5]​ La cuadranza y la distancia (como su raíz cuadrada) miden la separación de puntos en el espacio euclidiano.Reemplaza el concepto de (y tiene varias diferencias con) el ángulo discutido en la sección que figura a continuación.En consecuencia, la extensión de s es[6]​ Al igual que el ángulo, la extensión depende solo de las pendientes relativas de dos líneas (se eliminan los términos constantes) y es invariable bajo la traslación (es decir, se conserva cuando las líneas se mueven manteniéndose paralelas a sí mismas).Entonces, dadas dos rectas cuyas ecuaciones son se pueden reescribir como dos rectas que se encuentran en el origen (0, 0) con ecuaciones En esta posición, el punto (−b1, a1) satisface la primera ecuación y (−b2, a2) satisface la segunda y los tres puntos (0, 0), (−b1, a1) y (−b2, a2) que forman la extensión darán tres cuadranzas: La ley cruzada -véase más adelante- en términos de extensión es que se convierte en: Esto se simplifica en el numerador a (2a1a2 + 2b1b2)2, dando: (Nota: 1 − s es la expresión del cruce, el cuadrado del coseno de cualquier ángulo entre un par de rectas o vectores, que da su nombre a la ley cruzada).La extensión no es proporcional, sin embargo, a la separación entre líneas como sería el ángulo; con extensiones de 0, 1/4, 1/2, 3/4 y 1 correspondientes a ángulos espaciados de forma desigual 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.es una ecuación cuyas entradas se pueden extender a polinomios de la forma:Los polinomios extendidos satisfacen la composición identidad[1]​ Cuando los coeficientes se consideran miembros de un cuerpo finito Fp, la secuencia {Sn}n = 0, 1, 2,... de polinomios extendidos es periódica con el período p2 − 1/2.En otras palabras, si k = p2 − 1/2, entonces Sn + k = Sn, para todo n. Cuando los coeficientes tomados son números reales, entonces para n ≠ m, se tiene que[1]​ Para n = m, la integral es π/8 a menos que n = m = 0, en cuyo caso es π/4.La función generadora ordinaria es La función generadora exponencial es Sn(s) satisface la ecuación diferencial no homogénea lineal de segundo orden Por cada número entero n y cada número primo p, hay un número natural m tal que Sn(s) es divisible por p precisamente cuando m divide a n. Este número m es un divisor de p − 1 o p + 1.Los primeros polinomios extendidos son los siguientes: Wildberger afirma que existen cinco leyes básicas en la trigonometría racional.También afirma que estas leyes se pueden verificar utilizando matemáticas de nivel secundario.Algunas son equivalentes a fórmulas trigonométricas estándar con las variables expresadas como cuadranzas y extensiones.[6]​ En las siguientes cinco fórmulas, se tiene un triángulo formado por tres puntos A1, A2, A3.Sustituyendo estas cuadranzas en la ecuación anterior: Ahora, si A y B representan puntos distintos, tales como a2 + b2 ≠ 0, se pueden dividir ambos lados por Q(AB)2 = (a2 + b2)2:Esto es equivalente al teorema de Pitágoras (y su inverso).Entonces las dos extensiones están dadas por: Por lo tanto así que eso Usando las primeras dos relaciones del primer conjunto de ecuaciones, esto puede ser reescrito como: Multiplicando ambos lados por Q(BC):Para cualquier triángulo △A1A2A3,[1]​ Esto es análogo al teorema del coseno.Para cualquier triángulo △A1A2A3,[1]​ Esta relación se puede derivar de la fórmula del seno de un ángulo compuesto: en un triángulo (cuyos tres ángulos suman 180°) se tiene que Equivalentemente, describe la relación entre las extensiones de tres líneas concurrentes, ya que la extensión (como el ángulo) no se ve afectada cuando los lados de un triángulo se mueven paralelos a sí mismos para encontrarse en un punto común.Conocer dos extensiones permite que la tercera se calcule resolviendo la fórmula cuadrática asociada, pero, dado que son posibles dos soluciones, se deben usar otras reglas de distribución de triángulos para seleccionar la adecuada.A su vez, se observa que estas relaciones son todas iguales, según la ley de extensión (al menos en mod 13): Dado que la primera y la última relación coinciden (haciendo que el triángulo sea isósceles) simplemente se realiza la multiplicación cruzada, y se toman las extensiones, para mostrar la igualdad con la proporción media también: De lo contrario, se considera que el plano euclídeo estándar consiste únicamente en puntos racionales, ℚ × ℚ, omitiendo los números no algebraicos como soluciones.Sin embargo, para aprovechar esta ventaja, cada problema debe darse o configurarse en términos de cuadranzas y extensiones previas, lo que implica un trabajo adicional.