Parametrización de Weierstrass-Enneper
En matemáticas, la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es una pieza clásica de la geometría diferencial.
Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.
dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde
tenga un polo de orden
tenga un cero de orden
(o equivalentemente, tal que el producto
se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera: Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.
[1] Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f(z)= 1, g(z)= zm.
El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima
ω = u + v i
), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas: donde
son funciones holomorfas de
representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:[2] La superficie normal está dada por El jacobiano
conduce a una serie de propiedades importantes:
Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima.
[3] Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental: y la matriz de la segunda forma fundamental Finalmente, un punto
en el plano complejo se asigna a un punto
para todas las superficies mínimas del documento, excepto en la superficie mínima de Costa, en la que
Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas embebidas en
con topología finita incluyen el plano, la catenoide, el helicoide y la superficie mínima de Costa.
La superficie de Costa involucra a las funciones elípticas de Weierstraß
se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro Eligiendo los parámetros de la superficie como
: En los extremos, la superficie es una catenoide
representa un ángulo de la mezcla.
La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje
de forma helicoidal.
Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de
, por ejemplo Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como Uno de sus vectores propios es
, que representa la dirección principal en el dominio complejo.
[6] Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio
