Valor p-ádico
En teoría de números, el valor p-ádico (también conocido como valoración p-ádica u orden p-ádico) de un número entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p dado que divide a n. Se denota como
De manera equivalente,
es el exponente con el que aparece
en la descomposición en factores primos de
El valor p-ádico es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual.
Mientras que el espacio métrico completo de los números racionales respecto al valor absoluto habitual da como resultado los números reales
, al completar los números racionales respecto al valor absoluto
-ádico se obtienen como resultado los números p-ádicos
[1] Sea p un número primo.
La valoración p-ádica de un entero
denota el conjunto de los números naturales y
denota la divisibilidad de
es un entero positivo, entonces esto se sigue directamente de que
La valoración p-ádica se puede extender a los números racionales como la función definida por Por ejemplo,
Algunas de sus propiedades son: Además, si
es el mínimo (es decir, el menor de los dos).
El valor absoluto p-ádico sobre los números racionales
es la función definida por Por lo tanto,
El valor absoluto p-ádico satisface las siguientes propiedades: De la multiplicatividad
para las raíces de la unidad
se deriva de la desigualdad triangular no arquimediana
La elección de la base p en la potenciación
no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto: donde el producto se toma entre todos los números primos p y el valor absoluto habitual, denotado como
Esto se deriva simplemente de tomar la factorización en números primos: cada factor de potencia primo
contribuye con su recíproco a su valor absoluto p-ádico, y luego el valor absoluto habitual arquimediano los cancela a todos.
El valor absoluto p-ádico a veces se denomina "norma p-ádica", aunque en realidad no es una norma propiamente dicha porque no cumple con el requisito de homogeneidad.
Se puede formar un espacio métrico en el conjunto
con una métrica (no arquimediana e invariante respecto a las traslaciones): definido por La operación de completar
con respecto a esta métrica conduce al conjunto
de los números p-ádicos.
