En matemáticas, un haz (plural: haces) es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos, grupos abelianos, anillos) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definidos localmente con respecto a ellos.
Tales datos se comportan bien en el sentido de que pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños, y también los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignados a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original (intuitivamente, cada dato es la suma de sus datos constituyentes).
Los haces se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos.
Por otra parte, a cada mapa continuo se asocia tanto un funtor de imagen directa, que lleva los haces y sus morfismos sobre el dominio a haces y morfismos sobre el codominio, como un funtor de imagen inversa que opera en sentido contrario.
En tales contextos, varias construcciones geométricas como haces vectoriales o divisores se especifican naturalmente en términos de haces.
Además, las generalizaciones de las láminas a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck, han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática y a la teoría de números.
En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas sobre un espacio topológico
(por ejemplo, un colector diferenciable) pueden ser naturalmente localizadas o restringidas a subconjuntos abiertos
: ejemplos típicos incluyen funciones continuas de números reales o de números complejos, diferenciable (real o compleja)
La capacidad de restringir los datos a subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de pretramas[1].
consiste de los siguientes datos: Los morfismos de restricción deben satisfacer dos propiedades (funcionales) adicionales: De manera informal, el segundo axiona indica que no importa si se restringe a W en un paso o se restringe primero a V, y luego a W. Una reformulación funcional concisa de esta definición se provee más adelante.
Ello se puede extender a un haz de funciones holomórficas
y a un haz de funciones suaves
Otra clase común de ejemplos resulta al asignar a
quedan especificadas por sus restricciones a subconjuntos abiertos de
Un haz es un prehaz cuyas secciones son en un sentido técnico, únicamente determinadas por sus restricciones.
[2] En forma axiomática, un haz es un prehaz que satisface los dos axiomas siguientes[2]: En estos dos axiomas, la hipótesis de la cubierta abierta es equivalente a suponer que
cuya existencia queda garantizada por el segundo axioma es denominada el pegado, concatenación, o colación de las secciones si.
que satisfacen la precondición de acuerdo del segundo axioma a menudo son denominadas compatibles; por lo tanto los axiomas 1 y 2 juntos establecen que toda dolección de secciones compatibles por pares pueden ser pegadas de forma única.
[4] El prehaz consistente en las funciones continuas mencionado previamente es un haz.
Ello se concluye de verificar que, dadas las funciones continuas
By contrast, el prehaz constante por lo general no es un haz ya que no satisface el axioma de localidad en el conjunto vacío[2].
es muy común, presumiblemente por la palabra francesa para haz, faisceau.
Es posible demostrar que para especificar un haz, es suficiente con especificar su restricción en conjuntos abiertos de una base para el espacio topológico subyacente.
Es más aún, se puede demostrar que es suficiente con verificar los axiomas de haces indicados previamente relativos a los conjuntos abiertos de una cobertura.
Aquí el espacio topológico en cuestión es el espectro de un anillo conmutativo
forman una base para la topología Zariski en este espacio.
Una forma de arreglar esto es considerar espacios topológicos Noeterianos; todos los conjuntos abiertos son compactos por lo que el cokernel es un haz, dado que los límites proyectivos finitos sonmutan con los límites inductivos[2].
En todos estos ejemplos, los morfismos de restricción se obtienen mediante funciones o formas restrictivas.
no es un haz, dado que no existe, en general, forma de preservar esta propiedad al pasar a un subconjunto abierto más pequeño.