Ecuaciones competitivas de Lotka-Volterra
Debido a que esta es la versión competitiva del modelo, todas las interacciones deben ser dañinas (competencia) y, por lo tanto, todos los valores α son positivos.
Este modelo se puede generalizar a cualquier número de especies que compitan entre sí.
Para simplificar, todos los términos que interactúan con uno mismo αii a menudo se establecen en 1.
Este valor no es un número entero, indicativo de la estructura fractal inherente a un atractor extraño.
Los valores propios del sistema en este punto son 0.0414 ± 0.1903 i, -0.3342 y -1.0319.
Si la parte real fuera negativa, este punto sería estable y la órbita se atraería de forma asintótica.
Sin embargo, esto no significa que esas colonias lejanas puedan ignorarse.
Hay un efecto transitivo que penetra a través del sistema.
Por lo tanto, si se van a utilizar las ecuaciones competitivas de Lotka-Volterra para modelar tal sistema, deben incorporar esta estructura espacial.
Para simplificar, considere un ejemplo de cinco especies donde todas las especies están alineadas en un círculo, y cada una interactúa solo con los dos vecinos de cada lado con fuerza α−1 y α1 respectivamente.
A menudo es útil imaginar una función de Lyapunov como la energía del sistema.
Los valores propios de una matriz circulante están dados por[14] para k = 0N−1 y donde
Aquí cj es el j-ésimo valor en la primera fila de la matriz circulante.
Considere el sistema donde α−2 = a, α−1 = b, α1 = c y α2 = d. La función de Lyapunov existe si para k = 0, ... , N − 1.
Si α 1 = 0.5, entonces todos los valores propios son negativos y el único atractor es un punto fijo.
Este cambio elimina la función de Lyapunov descrita anteriormente para el sistema en un círculo, pero lo más probable es que haya otras funciones de Lyapunov que no se hayan descubierto.
