Distribución normal

[2]​ La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores.El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.[cita requerida] A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre incidencia, más abajo., y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.Para una distribución normal, la función generatriz de momentos es: como puede comprobarse al completar el cuadrado en el exponente.La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad imaginaria.es el máximo número entero no superior (o función suelo) aEsta fórmula se demuestra probando, mediante la Regla de Leibniz, que la funciónEl Teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (como pueden ser independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita), la suma de un gran número de variables aleatorias se distribuye aproximadamente como una normal.Para ser más precisos, el área bajo la curva campana entre μ − nσ y μ + nσ en términos de la función de distribución normal viene dada por donde erf es la función error.No obstante, ni ésta, ni la raíz cuadrada de la cuasivarianza muestral proporcionan un estimador insesgado para la desviación típica (véase estimación insesgada de la desviación típica para una fórmula particular para la distribución normal).Las distribuciones aproximadamente normales aparecen por doquier, como queda explicado por el teorema central del límite.Hay métodos estadísticos para probar empíricamente esta asunción, por ejemplo, el test de D'Agostino-Pearson.La distribución de las variables directamente observadas en este caso se denomina log-normal.Finalmente, si hay una simple influencia externa que tiene un gran efecto en la variable en consideración, la asunción de normalidad no está tampoco justificada.Esto es cierto incluso si, cuando la variable externa se mantiene constante, las distribuciones marginales resultantes son, en efecto, normales.A continuación se muestran una lista de situaciones que estarían, aproximadamente, normalmente distribuidas.La asunción de que el tamaño lineal de los especímenes biológicos es normal (más que lognormal) nos lleva a una distribución no normal del peso (puesto que el peso o el volumen es proporcional al cuadrado o el cubo de la longitud y las distribuciones gaussianas solo mantienen las transformaciones lineales).Esto es un problema porque, a priori, no hay razón por la que cualquiera de ellas (longitud, masa corporal u otras) debería estar normalmente distribuida.Por otra parte, hay algunas medidas biológicas donde se asume normalidad, tales como la presión sanguínea en humanos adultos.Ya en 1900 Louis Bachelier propuso representar los precios de cambio usando la distribución normal.Se han sugerido correcciones a este modelo por parte de matemáticos como Benoît Mandelbrot, quien observó que los cambios en el logaritmo durante breves periodos de tiempo (como un día) se aproximan bien por distribuciones que no tienen una varianza finita y, por consiguiente, el teorema central del límite no puede aplicarse.Sin embargo, la cuestión acerca de si la inteligencia en sí está normalmente distribuida es más complicada porque se trata de una variable latente y, por consiguiente, no puede observarse directamente.Para simulaciones por ordenador es útil, en ocasiones, generar valores que podrían seguir una distribución anormal.Una aproximación simple a estos métodos es programarlos como sigue: simplemente súmense 12 desviaciones uniformes (0,1) y réstense 6 (la mitad de 12).[15]​ El método de Box-Muller dice que, si tienes dos números aleatorios U y V uniformemente distribuidos en [0, 1], (por ejemplo, la salida de un generador de números aleatorios), entonces X e Y son dos variables aleatorias estándar normalmente distribuidas, donde: Esta formulación aparece porque la distribución χ² con dos grados de libertad (véase la propiedad 4, más arriba) es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada (la cual corresponde a la cantidad lnU en estas ecuaciones).Así, un ángulo elegido uniformemente alrededor de un círculo vía la variable aleatoria V y un radio elegido para ser exponencial se transforman entonces en coordenadas x e y normalmente distribuidas.Hay también alguna investigación sobre la conexión entre la rápida transformación de Hadamard y la distribución normal, en virtud de que la transformación emplea solo adición y sustracción y por el teorema central del límite los números aleatorios de casi cualquier distribución serán transformados en la distribución normal.La función de distribución normal se usa extensamente en computación científica y estadística.