En particular, nótese que estas condicione se pueden probar equivalentes sin usar el axioma de elección.
Se puede probar en ZF que todo conjunto dualmente infinito-Dedekind satisface las siguientes condiciones equivalentes: (Los conjuntos que satisfacen estas propiedades se denominan a veces débilmente infinitos-Dedekind.)
Se puede probar en ZF que los conjuntos débilmente infinitos-Dedekind son infinitos.
El término lleva el nombre del matemático alemán Richard Dedekind, que fue el primero en introducir explícitamente la definición.
La existencia de conjuntos infinitos e infinitos-Dedekind la estudiaron Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en 1912; estos conjuntos se llamaron inicialmente cardinales medios o cardinales de Dedekind.
Con la aceptación general del axioma de elección en la comunidad matemática, estos problema relacionados con conjuntos infinitos e infinitos-Dedekind se volvieron menos importantes para la mayoría de matemáticos.
Si asumimos el axioma de elección numerable, se sigue que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind.
Sin embargo, la equivalencia de estas dos definiciones es incluso más débil que este axioma.
Que todo conjunto infinito-Dedekind es infinito se puede probar fácilmente en ZF: todo conjunto finito tiene por definición una biyección con algún ordinal finito n, y se puede probar por inducción sobre n que este no es infinito-Dedekind.
Un anillo regular de von Neumann R tiene la propiedad análoga en la categoría de R-módulos (a izquierda o derecha) si y solo si en R, xy = 1 implica yx = 1.