En matemática, el teorema del buen orden establece que todo conjunto puede ser bien ordenado.
Un conjunto X está bien ordenado por un orden estricto si todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo bajo dicho orden.
También se conoce como teorema de Zermelo y es equivalente al axioma de elección.
[1][2] Ernst Zermelo introdujo el axioma de elección como un "principio lógico irrefutable" para demostrar el teorema del buen orden.
Esto es importante porque hace susceptible a todo conjunto a la poderosa técnica de inducción transfinita.
El teorema del buen orden tiene consecuencias que pueden parecer paradójicas, como por ejemplo la paradoja de Banach–Tarski.
Georg Cantor consideró el teorema del buen orden como un "principio fundamental de pensamiento".
La mayoría de los matemáticos sin embargo encuentran difícil visualizar un buen orden de, por ejemplo, el conjunto
En 1904, Gyula Kőnig anunció haber demostrado que semejante buen orden no puede existir.
Pocas semanas después, Felix Hausdorff detectó un error en la demostración.
Aun así resultó que el teorema del buen orden es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cada uno junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es suficiente para demostrar el otro, en lógica de primer orden (lo mismo aplica al lema de Zorn).
En lógica de segundo orden, no obstante, el teorema del buen orden es más estricto que el axioma de elección: del teorema del buen orden se deduce el axioma de elección, pero del axioma de elección no se puede deducir el teorema del buen orden.
El teorema del buen orden se obtiene del lema de Zorn.
puede ser parcialmente ordenado a continuación.
Podemos, pues, aplicar el lema de Zorn para concluir que
es mayor que todos los elementos de
Este conjunto bien ordenado es una prolongación de
, contradiciendo su maximalidad, de modo que
[4] El axioma de elección puede deducirse del teorema del buen orden de la siguiente forma.
Para crear una función de elección para una colección de conjuntos no vacíos,
, tómese la unión de todos los conjuntos en
Existe un buen orden de
le asocia el elemento más pequeño de
es una función de elección para
Un punto esencial de esta deducción es que solamente hace referencia a una elección sencilla arbitraria, la de
; aplicar el teorema del buen orden a cada miembro
no funcionaría, ya que el teorema solo afirma la existencia de un buen orden, y elegir para todo miembro
un buen orden no sería más fácil que escoger un elemento.