Integral de línea
En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva.
Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.
La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.
una curva suave a trozos parametrizada por una función
(también llamada integral de trayectoria), está definida como La función
es una parametrización biyectiva arbitraria de
son los puntos iniciales y finales respectivamente.
, entonces obtenemos la longitud de la curva
denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces Geométricamente, cuando el campo escalar
z = f ( x , y )
es grande, la longitud de arco
Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio
un campo vectorial continuo en una región
una curva suave a trozos parametrizada por una función
, la integral de línea del campo vectorial
son los puntos iniciales y finales respectivamente.
, para este tipo de integrales, si
denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
{\displaystyle \mathbf {r'} (t)\neq \mathbf {0} ,\;\forall \;t\in [a,b]}
si denota un vector tangente unitario a
, por lo tanto Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente.
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=\left(M,N\right)}
Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en
es una curva cerrada simple entonces es común la notación y para la forma diferencial Sea
, en este caso decimos que
una curva suave a trozos parametrizada por una función
es una curva orientada cerrada y simple Lo anterior dice que cuando
En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado.
es una región abierta en el plano complejo,
es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.
