Campo vectorial conservativo

Un campo vectorial conservativo es también irrotacional; en tres dimensiones, esto significa que tiene rotacional evanescente.Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservativo siempre que el dominio sea simplemente conexo.Los campos vectoriales conservativos aparecen de forma natural en mecánica: Son campos vectoriales que representan fuerzas de sistema físicos en los que la energía es conservada.En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitos caminos entre los dos puntos: además de la línea recta formada entre los dos puntos, se podría elegir un camino curvo de mayor longitud, como se muestra en la figura.Por lo tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado.que no tienen una componente a lo largo de la recta entre los dos puntos.Para visualizarlo, imaginemos a dos personas escalando un acantilado; una decide escalar el acantilado subiendo verticalmente por él, y la segunda decide caminar por un sendero sinuoso que es más largo en longitud que la altura del acantilado, pero con sólo un pequeño ángulo respecto a la horizontal.Aunque los dos excursionistas hayan tomado rutas diferentes para llegar a la cima del acantilado, en la cima ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitatoria.Esto se debe a que un campo gravitatorio es conservativo.El grabado litográfico de M. C. Escher Ascendente y descendente ilustra un campo vectorial no conservativo, imposiblemente hecho para que parezca el gradiente de la altura variable sobre el suelo a medida que uno se mueve por la escalera.Es rotacional en el sentido de que uno puede seguir subiendo o bajando mientras da vueltas en círculos.No es conservativa, ya que se puede volver al punto de partida ascendiendo más de lo que se desciende o viceversa.Su gradiente sería un campo vectorial conservativo y es irrotacional.Las dos expresiones son equivalentes ya que cualquier trayectoria cerraday la última igualdad se mantiene debido a la independencia de la trayectoriaDado que el teorema del gradiente es aplicable para una trayectoria diferenciable, la independencia de trayectoria de un campo vectorial conservativo sobre curvas diferenciales a trozos también se demuestra mediante la prueba por componente de curva diferenciable.[5]​ Hasta ahora se ha demostrado que un campo vectorial conservativoes (integral de línea) trayectoria-independiente, entonces es un campo vectorial conservativo, por lo que la siguiente declaración bicondicional es válida:[4]​independientemente del camino que se elija entre estos puntos.El segundo segmento de esta trayectoria es paralelo al ejePor la independencia del camino, su derivada parcial con respecto aEs una identidad del cálculo vectorial que para cualquier campo escalarsea un espacio abierto simplemente conexo (a grandes rasgos, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero en su interior), la inversa de esto también es cierta: Todo campo vectorial irrotacional en un espacio abierto simplemente conexose define no es un espacio abierto simplemente conectado.Digamos de nuevo que, en una región abierta simplemente conectada, un campo vectorial irrotacionalAsí, se concluye que En una región abierta simplemente conectada, cualquierMás abstractamente, en presencia de una métrica riemanniana, los campos vectoriales corresponden a formas diferencialesLa vorticidad de un campo irrotacional es cero en todas partes.Nótese que la vorticidad no implica nada sobre el comportamiento global de un fluido.Si el campo vectorial asociado a una fuerza