En geometría riemanniana, un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica en una variedad riemanniana.
Describe la variación entre la geodésica y otras "infinitesimalmente cercanas", es decir, los campos de este tipo constituyen el espacio tangente a la misma en el espacio de geodésicas.
[1] Reciben su nombre de Carl Jacobi.
denota la derivada covariante con respecto a la conexión de Levi-Civita,
el campo vectorial tangente a la geodésica.
una familia uniparamétrica suave de geodésicas, con
En una variedad riemanniana completa, todo campo de Jacobi proviene de esta construcción.
Ambas familias están dadas por reparametrizaciones de la geodésica.
es una combinación lineal de los ejemplos anteriores y
corresponde a la misma variación infinitesimal en las geodésicas que
En la esfera unidad, las geodésicas a través del polo norte son los círculos máximos que pasan por dicho punto.
, la distancia entre ambas es: Este valor se obtiene a partir de las ecuaciones explícitas de las geodésicas, calculando la distancia mediante la métrica riemanniana.
Es decir, las geodésicas intersecan en el polo sur.
Una motivación para introducir los campos de Jacobi es que es posible detectar tales intersecciones únicamente mediante la variación en las geodésicas.
Efectivamente, si consideramos la derivada con respecto a
Sigue siendo posible detectar la intersección en
Los campos de Jacobi generalizan de manera natural este fenómeno a variedades riemannianas arbitrarias.
obtenida completando a partir de dicho vector.
Esto da lugar, mediante transporte paralelo, a una base ortonormal
Si escribimos el campo de Jacobi en esta base como
, se tiene y, por tanto, la ecuación de Jacobi toma la forma siguiente: Es decir, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son funciones suaves y, por tanto, existe una solución única fijados valores iniciales para
no idénticamente nulo a lo largo de
es un punto crítico de la aplicación exponencial
[1] En ese caso, el correspondiente valor crítico es
, con el procedimiento explicado anteriormente (pues da lugar a un campo de Jacobi con los mismos valores iniciales que
, de modo que coinciden por unicidad).
(el correspondiente campo de Jacobi está dado por una variación en las geodésicas en dirección de
Esta condición equivale a que
y, por tanto, a que el punto
un sistema de referencia ortonormal a lo largo de la misma, obtenido como en la sección anterior.