Cálculo de Schubert
Fue un precursor de varias teorías más modernas, por ejemplo las clases características, y en particular sus aspectos algorítmicos siguen siendo de interés actual.
La frase "cálculo de Schubert" se usa a veces para referirse a la geometría enumerativa de subespacios lineales, aproximadamente equivalente a describir el anillo de cohomología de los grasmanianos, y a veces se usa para referirse a la geometría enumerativa más general de variedades no lineales.
Los objetos introducidos por Schubert son las células de Schubert, que son conjuntos localmente cerrados en un grasmaniano definido por las condiciones de incidencia de un subespacio lineal en un espacio proyectivo con una bandera dada.
Para obtener más información, consúltese variedad de Schubert.
En los cálculos detallados, los aspectos combinatorios entran tan pronto como las celdas deben indexarse.
Elevado del grasmaniano, que es un espacio homogéneo, al grupo lineal general que actúa sobre él, preguntas similares están involucradas en la descomposición de Bruhat y la clasificación del subgrupo parabólico (por una matriz en bloque).
El decimoquinto problema de Hilbert consiste en establecer el sistema de Schubert sobre una base rigurosa.
su anillo de Chow; téngase en cuenta que a veces el grasmaniano se denota como
si el espacio vectorial no se da explícitamente.
no depende de la bandera completa, las clases se pueden escribir como
que se denominan clases de Schubert.
Se puede demostrar que estas clases generan el anillo de Chow, y la teoría de la intersección asociada se llama cálculo de Schubert.
Además, las clases de Schubert dadas por un solo entero,
, se corta mediante un sistema de cinco ecuaciones lineales.
No se garantiza que el plano
Estos ciclos luego definen subvariedades especiales de
dada al agregar el elemento base adicional
El producto de intersección se estableció por primera vez utilizando las fórmulas de Pieri y Giambelli.
, hay una fórmula explícita del producto de
La fórmula de Giambelli se lee como la ecuación
es el paquete vectorial trivial de rango
es el paquete vectorial cociente (que existe, ya que el rango es constante en cada una de las fibras).
La secuencia tautológica da la presentación del anillo de Chow como
Uno de los ejemplos clásicos analizados es el grasmaniano
El cálculo de Schubert se puede utilizar para encontrar el número de rectas en una superficie cúbica.
y como grupo abeliano graduado está dado por
[1] Se debe recordar que una línea recta en
se da como un polinomio cúbico homogéneo genérico, a su vez se da como una sección genérica
para obtener el número de puntos donde la sección genérica desaparece en
T, luego, la fórmula de división se lee como la ecuación formal
