Óvalo cartesiano

En geometría, un óvalo cartesiano, nombrado en referencia a René Descartes, es una curva plana, formada por el conjunto de puntos que tienen la misma combinación lineal de distancias desde dos puntos fijos.

Sean P y Q dos puntos fijos en el plano, y sean d(P,S) y d(Q,S) las distancias euclídeas de estos dos puntos a un tercer punto variable S. Siendo m y a dos números reales arbitrarios, entonces, el óvalo cartesiano es el lugar geométrico de los puntos S que satisfacen la condición de que Los dos óvalos formados por las cuatro ecuaciones y están estrechamente relacionados; juntos forman una curva cuártica denominada como los óvalos de Descartes.

[1]​ En la ecuación El conjunto de puntos (x,y) que satisface la ecuación algebraica[1]​[2]​ cuártica: donde c es la distancia d(P, Q) entre los dos focos fijos P = (0, 0) y Q = (c, 0), forma dos óvalos, los conjuntos de puntos que satisfacen dos de las cuatro ecuaciones: y que tienen soluciones reales.

Los dos óvalos generalmente son disjuntos, excepto en el caso de que P o Q les pertenezcan.

[2]​ Para una parametrización diferente y el análisis del resultado cuártico, consúltese Lawrence.

Un tercer coeficiente c, que multiplica a la distancia entre los dos focos, completa el lado derecho de la ecuación.

Para hacer una equivalencia entre las dos notaciones, basta dividir por b los coeficientes de la expresión focal.

Haciendo γ = c², la ecuación del óvalo se convierte en:[6]​ donde σ1, σ2 y σ3 son funciones simétricas de los números reales α, β y γ: La naturaleza simétrica de los papeles desempeñados por los valores α, β y γ permite decir que se obtendrá la misma ecuación cartesiana del óvalo con focos F1 y F3 (γ, 0) con la ecuación: así como para el óvalo de focos F2 y F3 con la ecuación: También se puede decidir tomar como origen[7]​ la mitad del segmento [F1F2] o uno de los focos,[8]​ para obtener ecuaciones alternativas.

Si el óvalo no está degenerado, el tercer foco es el baricentro de los puntos F1 y F2, asignándoles los coeficientes siguientes: Si se denominan a las abcisas de los tres focos (x1 para F1, x2 para F2 y x3 para F3), se obtiene la fórmula: Los cuatro vértices del óvalo completo son los centros de gravedad de los puntos F1 y F2, asignándoles los coeficientes: (b - c, a + c), (b - c, - a + c), (b + c, a - c), (b + c, -a -c) La normal al óvalo de ecuación b F1M + a F2M = c F1F2 en el punto M, tiene por vector director:[10]​ Así, si se denomina θ1 al ángulo que forma F1M con la normal y θ2 al ángulo que forma F2M con la normal, se tiene la igualdad: Para 0 < b < a, aparece la ley de Snell.

La cáustica formada por la aberración esférica en este caso, por lo tanto, se puede describir como la evoluta de un óvalo cartesiano.

Un método para dibujar ciertos óvalos cartesianos específicos, ya usado por Descartes, es análogo a una construcción estándar de una elipse utilizando un hilo tenso.