El cálculo vectorial o análisis vectorial es una rama de las matemáticas que se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales , principalmente en el espacio euclidiano tridimensional . [1] El término cálculo vectorial se utiliza a veces como sinónimo del tema más amplio del cálculo multivariable , que abarca el cálculo vectorial, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple . El cálculo vectorial juega un papel importante en la geometría diferencial y en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales . Se utiliza ampliamente en física e ingeniería, especialmente en la descripción de campos electromagnéticos , campos gravitacionales y flujo de fluidos .
El cálculo vectorial fue desarrollado a partir de la teoría de los cuaterniones por J. Willard Gibbs y Oliver Heaviside cerca de finales del siglo XIX, y la mayor parte de la notación y la terminología fueron establecidas por Gibbs y Edwin Bidwell Wilson en su libro de 1901, Análisis vectorial . En su forma estándar, que utiliza el producto vectorial , el cálculo vectorial no se generaliza a dimensiones superiores, pero el enfoque alternativo del álgebra geométrica , que utiliza el producto exterior , sí lo hace (consulte el § Generalizaciones a continuación para obtener más información).
Un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto de un espacio. El escalar es un número matemático que representa una cantidad física . Entre los ejemplos de campos escalares en aplicaciones se incluyen la distribución de temperatura en el espacio, la distribución de presión en un fluido y los campos cuánticos de espín cero (conocidos como bosones escalares ), como el campo de Higgs . Estos campos son el tema de la teoría de campos escalares .
Un campo vectorial es la asignación de un vector a cada punto de un espacio . [2] Un campo vectorial en el plano, por ejemplo, puede visualizarse como una colección de flechas con una magnitud y dirección dadas, cada una unida a un punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento en el espacio, o la intensidad y la dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro. Esto se puede utilizar, por ejemplo, para calcular el trabajo realizado sobre una línea.
En tratamientos más avanzados, se distinguen además los campos pseudovectoriales y los campos pseudoescalares , que son idénticos a los campos vectoriales y escalares, excepto que cambian de signo bajo una función de inversión de orientación: por ejemplo, el rotacional de un campo vectorial es un campo pseudovectorial, y si se refleja un campo vectorial, el rotacional apunta en la dirección opuesta. Esta distinción se aclara y se desarrolla en álgebra geométrica , como se describe a continuación.
Las operaciones algebraicas (no diferenciales) en el cálculo vectorial se denominan álgebra vectorial , y se definen para un espacio vectorial y luego se aplican puntualmente a un campo vectorial. Las operaciones algebraicas básicas consisten en:
También se utilizan comúnmente los dos productos triples :
El cálculo vectorial estudia diversos operadores diferenciales definidos en campos escalares o vectoriales, que se expresan típicamente en términos del operador del ( ), también conocido como "nabla". Los tres operadores vectoriales básicos son: [3]
También se utilizan comúnmente los dos operadores de Laplace:
Una cantidad llamada matriz jacobiana es útil para estudiar funciones cuando tanto el dominio como el rango de la función son multivariables, como un cambio de variables durante la integración.
Los tres operadores vectoriales básicos tienen teoremas correspondientes que generalizan el teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores:
En dos dimensiones, los teoremas de divergencia y de rizo se reducen al teorema de Green:
Las aproximaciones lineales se utilizan para reemplazar funciones complicadas por funciones lineales que son casi iguales. Dada una función diferenciable f ( x , y ) con valores reales, se puede aproximar f ( x , y ) para ( x , y ) cerca de ( a , b ) mediante la fórmula
El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de z = f ( x , y ) en ( a , b ) .
Para una función continuamente diferenciable de varias variables reales , un punto P (es decir, un conjunto de valores para las variables de entrada, que se considera como un punto en R n ) es crítico si todas las derivadas parciales de la función son cero en P o, equivalentemente, si su gradiente es cero. Los valores críticos son los valores de la función en los puntos críticos.
Si la función es suave o, al menos, dos veces continuamente diferenciable, un punto crítico puede ser un máximo local , un mínimo local o un punto de silla . Los diferentes casos pueden distinguirse considerando los valores propios de la matriz hessiana de derivadas segundas.
Por el teorema de Fermat , todos los máximos y mínimos locales de una función diferenciable se dan en puntos críticos. Por lo tanto, para hallar los máximos y mínimos locales, teóricamente basta con calcular los ceros del gradiente y los valores propios de la matriz hessiana en estos ceros.
El cálculo vectorial también puede generalizarse a otras variedades tridimensionales y espacios de dimensiones superiores .
El cálculo vectorial se define inicialmente para el espacio tridimensional euclidiano , que tiene una estructura adicional más allá de ser simplemente un espacio vectorial real tridimensional, a saber: una norma (que da una noción de longitud) definida mediante un producto interno (el producto escalar ), que a su vez da una noción de ángulo, y una orientación , que da una noción de zurdo y diestro. Estas estructuras dan lugar a una forma de volumen y también al producto vectorial , que se utiliza de forma generalizada en el cálculo vectorial.
El gradiente y la divergencia requieren solo el producto interno, mientras que el rizo y el producto vectorial también requieren que se tenga en cuenta la lateralidad del sistema de coordenadas (ver Producto vectorial § Lateralidad para más detalles).
El cálculo vectorial se puede definir en otros espacios vectoriales reales tridimensionales si tienen un producto interno (o más generalmente una forma simétrica no degenerada ) y una orientación; esto requiere menos datos que un isomorfismo al espacio euclidiano, ya que no requiere un conjunto de coordenadas (un marco de referencia), lo que refleja el hecho de que el cálculo vectorial es invariante bajo rotaciones (el grupo ortogonal especial SO(3) ).
En términos más generales, el cálculo vectorial se puede definir en cualquier variedad riemanniana orientada tridimensional o, más generalmente , en cualquier variedad pseudoriemanniana . Esta estructura simplemente significa que el espacio tangente en cada punto tiene un producto interno (en términos más generales, una forma simétrica no degenerada) y una orientación, o, de manera más global, que existe un tensor métrico simétrico no degenerado y una orientación, y funciona porque el cálculo vectorial se define en términos de vectores tangentes en cada punto.
La mayoría de los resultados analíticos se entienden fácilmente, en una forma más general, utilizando la maquinaria de la geometría diferencial , de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto. Grad y div se generalizan inmediatamente a otras dimensiones, al igual que el teorema del gradiente, el teorema de la divergencia y el laplaciano (que produce el análisis armónico ), mientras que el rotacional y el producto vectorial no se generalizan tan directamente.
Desde un punto de vista general, los diversos campos en el cálculo vectorial (tridimensional) se consideran uniformemente como campos k -vectoriales: los campos escalares son campos 0-vectoriales, los campos vectoriales son campos 1-vectoriales, los campos pseudovectoriales son campos 2-vectoriales y los campos pseudoescalares son campos 3-vectoriales. En dimensiones superiores hay tipos adicionales de campos (escalares, vectoriales, pseudovectoriales o pseudoescalares correspondientes a 0 , 1 , n − 1 o n dimensiones, lo cual es exhaustivo en dimensión 3), por lo que no se puede trabajar solo con (pseudo)escalares y (pseudo)vectores.
En cualquier dimensión, suponiendo una forma no degenerada, grad de una función escalar es un campo vectorial, y div de un campo vectorial es una función escalar, pero sólo en dimensión 3 o 7 [4] (y, trivialmente, en dimensión 0 o 1) el rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial, y sólo en 3 o 7 dimensiones se puede definir un producto vectorial (las generalizaciones en otras dimensionalidades requieren que los vectores produzcan 1 vector, o son álgebras de Lie alternativas , que son productos bilineales antisimétricos más generales). La generalización de grad y div, y cómo se puede generalizar el rotacional se desarrolla en Curl § Generalizaciones ; en resumen, el rotacional de un campo vectorial es un campo bivectorial , que puede interpretarse como el álgebra de Lie ortogonal especial de rotaciones infinitesimales; Sin embargo, esto no se puede identificar con un campo vectorial porque las dimensiones difieren: hay 3 dimensiones de rotaciones en 3 dimensiones, pero 6 dimensiones de rotaciones en 4 dimensiones (y más generalmente, dimensiones de rotaciones en n dimensiones).
Existen dos generalizaciones alternativas importantes del cálculo vectorial. La primera, el álgebra geométrica , utiliza k campos vectoriales en lugar de campos vectoriales (en 3 dimensiones o menos, cada k campo vectorial puede identificarse con una función escalar o un campo vectorial, pero esto no es cierto en dimensiones superiores). Esto reemplaza el producto vectorial, que es específico de 3 dimensiones, tomando dos campos vectoriales y dando como salida un campo vectorial, por el producto exterior , que existe en todas las dimensiones y toma dos campos vectoriales, dando como salida un campo bivector (2-vector). Este producto produce álgebras de Clifford como la estructura algebraica en espacios vectoriales (con una orientación y una forma no degenerada). El álgebra geométrica se utiliza principalmente en generalizaciones de la física y otros campos aplicados a dimensiones superiores.
La segunda generalización utiliza formas diferenciales ( k -cocampos vectoriales) en lugar de campos vectoriales o k -campos vectoriales, y se utiliza ampliamente en matemáticas, particularmente en geometría diferencial , topología geométrica y análisis armónico , en particular produciendo la teoría de Hodge sobre variedades pseudo-riemannianas orientadas. Desde este punto de vista, grad, curl y div corresponden a la derivada exterior de las formas 0, 1 y 2, respectivamente, y los teoremas clave del cálculo vectorial son todos casos especiales de la forma general del teorema de Stokes .
Desde el punto de vista de ambas generalizaciones, el cálculo vectorial identifica implícitamente objetos matemáticamente distintos, lo que hace que la presentación sea más sencilla pero la estructura matemática subyacente y las generalizaciones menos claras. Desde el punto de vista del álgebra geométrica, el cálculo vectorial identifica implícitamente k -cuerpos vectoriales con cuerpos vectoriales o funciones escalares: 0-vectores y 3-vectores con escalares, 1-vectores y 2-vectores con vectores. Desde el punto de vista de las formas diferenciales, el cálculo vectorial identifica implícitamente k -formas con cuerpos escalares o cuerpos vectoriales: 0-formas y 3-formas con cuerpos escalares, 1-formas y 2-formas con cuerpos vectoriales. Así, por ejemplo, el rotacional toma naturalmente como entrada un cuerpo vectorial o una 1-forma, pero naturalmente tiene como salida un cuerpo vectorial o una 2-forma (de ahí el nombre de pseudocuerpo vectorial), que luego se interpreta como un cuerpo vectorial, en lugar de tomar directamente un cuerpo vectorial como cuerpo vectorial; Esto se refleja en el rizo de un campo vectorial en dimensiones superiores al no tener como salida un campo vectorial.
