Trabajo (física)

Proceso de transferencia de energía a un objeto mediante la aplicación de fuerza mediante desplazamiento.

En física , el trabajo es la energía transferida hacia o desde un objeto mediante la aplicación de fuerza a lo largo de un desplazamiento . En su forma más simple, para una fuerza constante alineada con la dirección del movimiento, el trabajo es igual al producto de la fuerza y ​​la distancia recorrida. Se dice que una fuerza realiza trabajo positivo si cuando se aplica tiene una componente en la dirección del desplazamiento del punto de aplicación. Una fuerza realiza un trabajo negativo si tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza. ^[1]

Por ejemplo, cuando una pelota se sostiene sobre el suelo y luego se deja caer, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la pelota a medida que cae es positivo y es igual al peso de la pelota (una fuerza) multiplicado por la distancia al suelo. suelo (un desplazamiento). Si la pelota se lanza hacia arriba, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es negativo y es igual al peso multiplicado por el desplazamiento hacia arriba.

Tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores . El trabajo realizado viene dado por el producto escalar de los dos vectores. Cuando la fuerza F es constante y el ángulo θ entre la fuerza y ​​el desplazamiento s también es constante, entonces el trabajo realizado viene dado por:

W = F s porque ⁡ θ {\displaystyle W=Fs\cos {\theta }}

Si la fuerza es variable, entonces el trabajo viene dado por

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$

¿ Dónde está el pequeño cambio en el vector de desplazamiento? ${\displaystyle d{\vec {s}}}$

El trabajo es una cantidad escalar , ^[2] por lo que solo tiene magnitud y no tiene dirección. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro, o de una forma a otra. La unidad de trabajo del SI es el julio (J), la misma unidad que la de energía.

Historia

La comprensión de la física de los antiguos griegos se limitaba a la estática de las máquinas simples (el equilibrio de fuerzas) y no incluía la dinámica ni el concepto de trabajo. Durante el Renacimiento la dinámica de las Fuerzas Mecánicas , como se llamaba a las máquinas simples , comenzó a estudiarse desde el punto de vista de hasta dónde podían levantar una carga, además de la fuerza que podían aplicar, dando lugar eventualmente al nuevo concepto de potencia mecánica. trabajar. La teoría dinámica completa de las máquinas simples fue elaborada por el científico italiano Galileo Galilei en 1600 en Le Meccaniche ( Sobre la mecánica ), en el que mostró la similitud matemática subyacente de las máquinas como amplificadores de fuerza. ^{[3] [4]} Fue el primero en explicar que las máquinas simples no crean energía, sólo la transforman. ^[3]

Conceptos tempranos de trabajo.

Aunque el trabajo no se utilizó formalmente hasta 1826, antes existían conceptos similares. Los primeros nombres para el mismo concepto incluían momento de actividad, cantidad de acción, fuerza viva latente, efecto dinámico, eficiencia e incluso fuerza . ^[5] En 1637, el filósofo francés René Descartes escribió: ^[6]

Levantar 100 lb con un pie dos veces es lo mismo que levantar 200 lb con un pie o 100 lb con dos pies.

—  René Descartes, Carta a Huygens

En 1686, el filósofo alemán Gottfried Leibniz escribió: ^[7]

Se necesita la misma fuerza ["trabajo" en términos modernos] para elevar el cuerpo A de 1 libra (libra) a una altura de 4 yardas (cúbito), que es necesaria para elevar el cuerpo B de 4 libras a una altura de 1 yarda.

—  Gottfried Leibniz, Brevis demostratio

En 1759, John Smeaton describió una cantidad a la que llamó "potencia" "para indicar el ejercicio de fuerza, gravitación, impulso o presión, para producir movimiento". Smeaton continúa diciendo que esta cantidad se puede calcular si "el peso elevado se multiplica por la altura a la que se puede elevar en un tiempo determinado", lo que hace que esta definición sea notablemente similar a la de Coriolis . ^[8]

Etimología

Según el libro de texto de física de 1957 de Max Jammer , ^[9] el término trabajo fue introducido en 1826 por el matemático francés Gaspard-Gustave Coriolis ^[10] como "peso elevado a través de una altura", que se basa en el uso de las primeras máquinas de vapor. para sacar cubos de agua de las minas de mineral inundadas. Según René Dugas, ingeniero e historiador francés, a Salomón de Caux "debemos el término trabajo en el sentido en que se utiliza actualmente en mecánica". ^[11]

Unidades

La unidad de trabajo del SI es el julio (J), llamado así en honor al físico inglés del siglo XIX James Prescott Joule , que se define como el trabajo necesario para ejercer una fuerza de un newton mediante un desplazamiento de un metro .

El newton-metro dimensionalmente equivalente (N⋅m) se utiliza a veces como unidad de medida para el trabajo, pero puede confundirse con la unidad de medida del par . La autoridad SI desaconseja el uso de N⋅m , ya que puede generar confusión sobre si la cantidad expresada en newton-metros es una medida de par o una medida de trabajo. ^[12]

Otra unidad de trabajo es el pie-libra , que proviene del sistema de medida inglés. Como sugiere el nombre de la unidad, es el producto de libras por la unidad de fuerza y ​​pies por la unidad de desplazamiento. Un julio equivale a 0,07376 pies-libras. ^[13]

Las unidades de trabajo no pertenecientes al SI incluyen el newton-metro, el ergio , el pie-libra, el pie-poundal , el kilovatio-hora , el litro-atmósfera y el caballo de fuerza-hora . Debido a que el trabajo tiene la misma dimensión física que el calor , ocasionalmente se utilizan como unidad de medida unidades de medida típicamente reservadas para el contenido de calor o energía, como termia , BTU y calorías .

Trabajo y energía

El trabajo W realizado por una fuerza constante de magnitud F sobre un punto que realiza un desplazamiento s en línea recta en la dirección de la fuerza es el producto

$${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$$

Por ejemplo, si una fuerza de 10 newtons ( F = 10 N ) actúa a lo largo de un punto que recorre 2 metros ( s = 2 m ), entonces W = Fs = (10 N)(2 m) = 20 J. Este es aproximadamente el trabajo realizado al levantar un objeto de 1 kg desde el nivel del suelo hasta por encima de la cabeza de una persona contra la fuerza de gravedad.

El trabajo se duplica levantando el doble de peso la misma distancia o levantando el mismo peso el doble de distancia.

El trabajo está estrechamente relacionado con la energía . La energía comparte la misma unidad de medida con el trabajo (julios) porque la energía del objeto que realiza el trabajo se transfiere a los otros objetos con los que interactúa cuando se realiza el trabajo. ^[13] El principio de trabajo-energía establece que un aumento en la energía cinética de un cuerpo rígido es causado por una cantidad igual de trabajo positivo realizado sobre el cuerpo por la fuerza resultante que actúa sobre ese cuerpo. Por el contrario, una disminución de la energía cinética es causada por una cantidad igual de trabajo negativo realizado por la fuerza resultante. Por tanto, si el trabajo neto es positivo, entonces la energía cinética de la partícula aumenta en la cantidad de trabajo. Si el trabajo neto realizado es negativo, entonces la energía cinética de la partícula disminuye en la cantidad de trabajo. ^[14]

A partir de la segunda ley de Newton , se puede demostrar que el trabajo sobre un cuerpo libre (sin campos), rígido (sin grados de libertad internos), es igual al cambio de energía cinética E _k correspondiente a la velocidad lineal y la velocidad angular de ese cuerpo. ,

$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}.}$$

energía potencialconservativascampo_menos elEp

$${\displaystyle W=-\Delta E_{\text{p}}.}$$

dimensiones físicas

Fuerzas de restricción

Las fuerzas de restricción determinan el desplazamiento del objeto en el sistema, limitándolo dentro de un rango. Por ejemplo, en el caso de una pendiente más gravedad, el objeto está pegado a la pendiente y, cuando está sujeto a una cuerda tensa, no puede moverse hacia afuera para hacer que la cuerda esté más "tensa". Elimina todos los desplazamientos en esa dirección, es decir, la velocidad en la dirección de la restricción se limita a 0, de modo que las fuerzas de la restricción no realizan trabajo sobre el sistema.

Para un sistema mecánico , ^[15] las fuerzas de restricción eliminan el movimiento en direcciones que caracterizan la restricción. Por tanto, el trabajo virtual realizado por las fuerzas de restricción es cero, resultado que sólo es cierto si se excluyen las fuerzas de fricción. ^[dieciséis]

Las fuerzas restrictivas fijas y sin fricción no realizan trabajo sobre el sistema, ^[17] ya que el ángulo entre el movimiento y las fuerzas restrictivas es siempre de 90° . ^[17] Ejemplos de restricciones sin trabajo son: interconexiones rígidas entre partículas, movimiento deslizante sobre una superficie sin fricción y contacto rodante sin deslizamiento. ^[18]

Por ejemplo, en un sistema de poleas como la máquina Atwood , las fuerzas internas sobre la cuerda y en la polea de soporte no actúan sobre el sistema. Por lo tanto, sólo es necesario calcular el trabajo para las fuerzas gravitacionales que actúan sobre los cuerpos. Otro ejemplo es la fuerza centrípeta ejercida hacia adentro por una cuerda sobre una bola en un movimiento circular uniforme hacia los lados que limita la bola a un movimiento circular restringiendo su movimiento lejos del centro del círculo. Esta fuerza no realiza trabajo porque es perpendicular a la velocidad de la pelota.

La fuerza magnética sobre una partícula cargada es F = q v × B , donde q es la carga, v es la velocidad de la partícula y B es el campo magnético . El resultado de un producto vectorial siempre es perpendicular a ambos vectores originales, por lo que F ⊥ v . El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero, por lo que el trabajo W = F ⋅ v = 0 y la fuerza magnética no realizan trabajo. Puede cambiar la dirección del movimiento pero nunca cambiar la velocidad.

calculo matematico

Para objetos en movimiento, la cantidad de trabajo/tiempo (potencia) se integra a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza. Así, en cualquier instante, la tasa del trabajo realizado por una fuerza (medida en julios/segundo, o vatios ) es el producto escalar de la fuerza (un vector) y el vector velocidad del punto de aplicación. Este producto escalar de fuerza y ​​velocidad se conoce como potencia instantánea . Así como las velocidades pueden integrarse en el tiempo para obtener una distancia total, según el teorema fundamental del cálculo , el trabajo total a lo largo de una trayectoria es de manera similar la integral temporal de la potencia instantánea aplicada a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación. ^[19]

El trabajo es el resultado de una fuerza sobre un punto que sigue una curva X , con una velocidad v , en cada instante. La pequeña cantidad de trabajo δW que ocurre durante un instante de tiempo dt se calcula como

$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt}$$

F ⋅ vdt

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,}$$

Cxt ₁xt ₂depende de la trayectoria

Si la fuerza siempre se dirige a lo largo de esta línea y la magnitud de la fuerza es F , entonces esta integral se simplifica a

$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds}$$

sF

$${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs}$$

s

Este cálculo se puede generalizar para una fuerza constante que no se dirige a lo largo de la línea, seguida de la partícula. En este caso el producto escalar F ⋅ d s = F cos θ ds , donde θ es el ángulo entre el vector de fuerza y ​​la dirección del movimiento, ^[19] es decir

$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}$$

Cuando una componente de fuerza es perpendicular al desplazamiento del objeto (como cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular bajo una fuerza central ), no se realiza ningún trabajo, ya que el coseno de 90° es cero. ^[14] Por lo tanto, la gravedad no puede realizar ningún trabajo en un planeta con una órbita circular (esto es ideal, ya que todas las órbitas son ligeramente elípticas). Además, no se realiza ningún trabajo sobre un cuerpo que se mueve circularmente a velocidad constante mientras está limitado por una fuerza mecánica, como si se moviera a velocidad constante en una centrífuga ideal sin fricción.

Trabajo realizado por una fuerza variable.

Calcular el trabajo como "fuerza multiplicada por un segmento de trayectoria recta" solo se aplicaría en las circunstancias más simples, como se señaló anteriormente. Si la fuerza cambia, o si el cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria curva, posiblemente girando y no necesariamente rígido, entonces sólo la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza es relevante para el trabajo realizado, y sólo la componente de la fuerza paralela a la velocidad del punto de aplicación está haciendo trabajo (trabajo positivo cuando está en la misma dirección y negativo cuando está en la dirección opuesta a la velocidad). Esta componente de la fuerza puede describirse mediante la cantidad escalar llamada componente tangencial escalar ( F cos( θ ) , donde θ es el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad). Y luego la definición más general de trabajo se puede formular de la siguiente manera:

El área bajo la curva da el trabajo realizado por F(x).

El trabajo realizado por una fuerza variable es la integral de línea de su componente tangencial escalar a lo largo de la trayectoria de su punto de aplicación.

Si la fuerza varía (por ejemplo, al comprimir un resorte), necesitamos usar cálculo para encontrar el trabajo realizado. Si la fuerza como variable de x está dada por F ( x ) , entonces el trabajo realizado por la fuerza a lo largo del eje x desde x ₁ hasta x ₂ es:

$${\displaystyle W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .}$$

Por tanto, el trabajo realizado para una fuerza variable se puede expresar como una integral definida de fuerza sobre desplazamiento. ^[20]

Si el desplazamiento como variable del tiempo viene dado por ∆ x (t) , entonces el trabajo realizado por la fuerza variable desde t ₁ hasta t ₂ es:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.}$$

Por tanto, el trabajo realizado por una fuerza variable se puede expresar como una integral definida de potencia en el tiempo.

Torque y rotación

Un par de fuerzas resulta de fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre dos puntos diferentes de un cuerpo rígido. La suma ( resultante) de estas fuerzas puede cancelarse, pero su efecto sobre el cuerpo es el par o torque T. El trabajo del par se calcula como

$${\displaystyle \delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,}$$

T ⋅ ωdt

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.}$$

ωdepende de la trayectoria

Si el vector de velocidad angular mantiene una dirección constante, entonces toma la forma,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$$

S. ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,}$$

C ${\displaystyle \phi (t_{1})}$ ${\displaystyle \phi (t_{2})}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

Si el par está alineado con el vector de velocidad angular de modo que, ${\displaystyle \tau }$

T = τ S , {\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,}

^[2]

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$$

Una fuerza de magnitud constante y perpendicular al brazo de palanca.

Este resultado se puede entender de forma más sencilla si se considera que el par surge de una fuerza de magnitud constante F , que se aplica perpendicularmente a un brazo de palanca a una distancia , como se muestra en la figura. Esta fuerza actuará a lo largo de la distancia a lo largo del arco circular , por lo que el trabajo realizado es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l=s=r\phi }$

$${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$$

τ = Fr

$${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$$

Observe que sólo la componente del par en la dirección del vector velocidad angular contribuye al trabajo.

Trabajo y energía potencial.

El producto escalar de una fuerza F y la velocidad v de su punto de aplicación define la potencia de entrada a un sistema en un instante de tiempo. La integración de esta potencia sobre la trayectoria del punto de aplicación, C = x ( t ) , define el trabajo ingresado al sistema por la fuerza.

Dependencia de la trayectoria

Por lo tanto, el trabajo realizado por una fuerza F sobre un objeto que se desplaza a lo largo de una curva C viene dado por la integral de línea :

$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$$

dx ( t )Cv

La derivada temporal de la integral del trabajo da como resultado la potencia instantánea,

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

Independencia del camino

Si el trabajo de una fuerza aplicada es independiente de la trayectoria, entonces el trabajo realizado por la fuerza, según el teorema del gradiente , define una función potencial que se evalúa al inicio y al final de la trayectoria del punto de aplicación. Esto significa que existe una función potencial U ( x ) , que puede evaluarse en los dos puntos x ( t ₁ ) y x ( t ₂ ) para obtener el trabajo sobre cualquier trayectoria entre estos dos puntos. Es tradición definir esta función con signo negativo de modo que el trabajo positivo es una reducción del potencial, es decir

$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$$

La función U ( x ) se llama energía potencial asociada con la fuerza aplicada. Se dice que la fuerza derivada de tal función potencial es conservativa . Ejemplos de fuerzas que tienen energía potencial son la gravedad y las fuerzas de resorte.

En este caso, el gradiente de trabajo produce

∇ W = − ∇ U = − ( ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z ) = F , {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U }{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F},}

F^[21]

Debido a que el potencial U define una fuerza F en cada punto x del espacio, el conjunto de fuerzas se denomina campo de fuerzas . La potencia aplicada a un cuerpo por un campo de fuerza se obtiene del gradiente del trabajo, o potencial, en la dirección de la velocidad V del cuerpo, es decir

PAG ( t ) = - ∇ U ⋅ v = F ⋅ v . {\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

Trabajo por gravedad

La gravedad F = mg funciona W = mgh a lo largo de cualquier camino descendente

En ausencia de otras fuerzas, la gravedad produce una aceleración constante hacia abajo de todo objeto que se mueve libremente. Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad es g = 9,8 m⋅s ⁻² y la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa m es F _g = mg . Conviene imaginar esta fuerza gravitacional concentrada en el centro de masa del objeto.

Si un objeto con peso mg se desplaza hacia arriba o hacia abajo una distancia vertical y ₂ − y ₁ , el trabajo W realizado sobre el objeto es:

$${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y}$$

F _gyy

Trabajo por gravedad en el espacio.

La fuerza de gravedad ejercida por una masa M sobre otra masa m está dada por

$${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}$$

rM a my r̂ esvectorr

Dejemos que la masa m se mueva a la velocidad v ; entonces el trabajo de la gravedad sobre esta masa a medida que se mueve desde la posición r ( t ₁ ) a r ( t ₂ ) viene dado por

$${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$

m

$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$$

e _re _tMm ${\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.}$

$${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$

$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$$

energía potencial gravitacional

Trabajar por un resorte

Fuerzas en resortes ensamblados en paralelo.

Considere un resorte que ejerce una fuerza horizontal F = (− kx , 0, 0) que es proporcional a su deflexión en la dirección x , independientemente de cómo se mueva el cuerpo. El trabajo de este resorte sobre un cuerpo que se mueve a lo largo del espacio con la curva X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , se calcula usando su velocidad, v = ( v _x , v _y , v _z ) , para obtener

$${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$$

t = 0xxv _x dtt1/2x2 ^_ resultado x ²

Trabajar por un gas

El trabajo realizado por una masa de gas en su entorno es: ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle W=\int _{a}^{b}P\,dV}$$

PVab

Principio trabajo-energía

El principio de trabajo y energía cinética (también conocido como principio de trabajo-energía ) establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula (el trabajo de la fuerza resultante) es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. ^[22] Es decir, el trabajo W realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula , ^[2] ${\displaystyle E_{\text{k}}}$

$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$$

velocidadesmmasa ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

La derivación del principio trabajo-energía comienza con la segunda ley del movimiento de Newton y la fuerza resultante sobre una partícula. El cálculo del producto escalar de la fuerza por la velocidad de la partícula evalúa la potencia instantánea agregada al sistema. ^[23] (Las restricciones definen la dirección del movimiento de la partícula al garantizar que no haya ningún componente de velocidad en la dirección de la fuerza de restricción. Esto también significa que las fuerzas de restricción no se suman a la potencia instantánea). La integral de tiempo de este escalar La ecuación produce trabajo a partir de la potencia instantánea y energía cinética del producto escalar de la aceleración con la velocidad. El hecho de que el principio trabajo-energía elimina las fuerzas restrictivas subyace a la mecánica lagrangiana . ^[24]

Esta sección se centra en el principio trabajo-energía aplicado a la dinámica de partículas. En sistemas más generales, el trabajo puede cambiar la energía potencial de un dispositivo mecánico, la energía térmica en un sistema térmico o la energía eléctrica en un dispositivo eléctrico. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro o de una forma a otra.

Derivación para una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta.

En el caso de que la fuerza resultante F sea constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante a a lo largo de una línea recta. ^[25] La relación entre la fuerza neta y la aceleración viene dada por la ecuación F = ma ( segunda ley de Newton ), y el desplazamiento de partículas s se puede expresar mediante la ecuación

$${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$$

Ecuaciones de movimiento ${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$

El trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud y el desplazamiento de la partícula. Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene:

$${\displaystyle W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

Otra derivación:

$${\displaystyle W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}}$$

En el caso general del movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta F no es constante en magnitud, pero sí constante en dirección y paralela a la velocidad de la partícula, el trabajo debe integrarse a lo largo de la trayectoria de la partícula:

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).}$$

Derivación general del principio trabajo-energía para una partícula.

Para cualquier fuerza neta que actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo de cualquier trayectoria curvilínea, se puede demostrar que su trabajo es igual al cambio en la energía cinética de la partícula mediante una derivación simple análoga a la ecuación anterior. Se conoce como principio trabajo-energía :

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}}$$

La identidad requiere algo de álgebra. De la identidad y definición se sigue ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$ ${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ ${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

$${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .}$$

La parte restante de la derivación anterior es simplemente un cálculo simple, igual que en el caso rectilíneo anterior.

Derivación para una partícula en movimiento restringido

En dinámica de partículas, una fórmula que equipara el trabajo aplicado a un sistema con su cambio de energía cinética se obtiene como primera integral de la segunda ley del movimiento de Newton . Es útil notar que la fuerza resultante utilizada en las leyes de Newton se puede separar en fuerzas que se aplican a la partícula y fuerzas impuestas por restricciones al movimiento de la partícula. Sorprendentemente, el trabajo de una fuerza restrictiva es cero; por lo tanto, en el principio de trabajo-energía sólo es necesario considerar el trabajo de las fuerzas aplicadas.

Para ver esto, considere una partícula P que sigue la trayectoria X ( t ) con una fuerza F actuando sobre ella. Aísle la partícula de su entorno para exponer las fuerzas de restricción R , entonces la ley de Newton toma la forma

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$$

m

formulación vectorial

Tenga en cuenta que n puntos encima de un vector indican su enésima derivada temporal . El producto escalar de cada lado de la ley de Newton con el vector velocidad da como resultado

$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$

X ( t ₁ )X ( t ₂ )

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}$$

El lado izquierdo de esta ecuación es el trabajo de la fuerza aplicada mientras actúa sobre la partícula a lo largo de la trayectoria desde el momento t ₁ hasta el momento t ₂ . Esto también se puede escribir como

$${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}$$

X ( t )

El lado derecho de la primera integral de las ecuaciones de Newton se puede simplificar usando la siguiente identidad

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$$

regla del producto

$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},}$$

$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}}$$

Componentes tangenciales y normales.

Es útil resolver los vectores velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales a lo largo de la trayectoria X ( t ) , de modo que

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}$$

$${\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}$$

producto escalar

$${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$$

$${\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}$$

El resultado es el principio trabajo-energía para la dinámica de partículas,

$${\displaystyle W=\Delta K.}$$

Moverse en línea recta (patinar hasta detenerse)

Considere el caso de un vehículo que se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal recta bajo la acción de una fuerza motriz y la gravedad que suman F. Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera definen R , y tenemos

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$

X = ( d , 0)V = ( v , 0)R ⋅ V = 0F ⋅ V = F _x vF _xF

$${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$$

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

F _x

$${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$$

Como ejemplo, considere un automóvil que patina hasta detenerse, donde k es el coeficiente de fricción y W es el peso del automóvil. Entonces la fuerza a lo largo de la trayectoria es F _x = − kW . La velocidad v del automóvil se puede determinar a partir de la longitud s del patín utilizando el principio de trabajo-energía,

$${\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$$

m = W / g

Corredor de gravedad Lotus tipo 119B en la celebración del 60º aniversario de Lotus

Campeonato de carreras de gravedad en Campos Novos, Santa Catarina, Brasil, 8 de septiembre de 2010.

Deslizándose por una superficie inclinada (carreras por gravedad)

Considere el caso de un vehículo que arranca en reposo y desciende por una superficie inclinada (como una carretera de montaña), el principio de trabajo-energía ayuda a calcular la distancia mínima que recorre el vehículo para alcanzar una velocidad V , de digamos 60 mph (88 fps). ). La resistencia a la rodadura y el arrastre del aire reducirán la velocidad del vehículo, por lo que la distancia real será mayor que si se desprecian estas fuerzas.

Sea la trayectoria del vehículo que sigue la carretera X ( t ) , que es una curva en el espacio tridimensional. La fuerza que actúa sobre el vehículo que lo empuja por la carretera es la fuerza de gravedad constante F = (0, 0, W ) , mientras que la fuerza de la carretera sobre el vehículo es la fuerza de restricción R. La segunda ley de Newton produce,

$${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$$

producto escalarV = ( v _x , v _y , v _z )

$${\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$$

VVR ⋅ V = 0

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$$

W

$${\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$$

t ₁

Para determinar la distancia a lo largo del camino, suponga que la pendiente es del 6%, que es un camino empinado. Esto significa que la altitud disminuye 6 pies por cada 100 pies recorridos; para ángulos tan pequeños, las funciones sin y tan son aproximadamente iguales. Por lo tanto, la distancia s en pies hacia abajo una pendiente del 6% para alcanzar la velocidad V es al menos

$${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .}$$

W = mg

Trabajo de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

El trabajo de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un solo cuerpo rígido se puede calcular a partir del trabajo de una fuerza y ​​un par resultantes . Para ver esto, dejemos que las fuerzas F ₁ , F ₂ , ..., F _n actúen sobre los puntos X ₁ , X ₂ , ..., X _n en un cuerpo rígido.

Las trayectorias de X _i , i = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. Este movimiento viene dado por el conjunto de rotaciones [ A ( t )] y la trayectoria d ( t ) de un punto de referencia en el cuerpo. Sean las coordenadas x _i i = 1, ..., n definir estos puntos en el sistema de referencia del cuerpo rígido en movimiento M , de modo que las trayectorias trazadas en el sistema fijo F estén dadas por

$${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Las velocidades de los puntos X _i a lo largo de sus trayectorias son

$${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}$$

ω

$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},}$$

La pequeña cantidad de trabajo de las fuerzas sobre los pequeños desplazamientos δ r _i se puede determinar aproximando el desplazamiento por δ r = v δt entonces

$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}$$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}$$

Esta fórmula se puede reescribir para obtener

$${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,}$$

FTfuerza y ​​el par resultantesdM

Referencias

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Bibliografía

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enlaces externos

• Principio trabajo-energía