Relaciones del álgebra vectorial

Fórmulas sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional

Las siguientes son identidades importantes en álgebra vectorial . Las identidades que solo involucran la magnitud de un vector y el producto escalar de dos vectores A · B , se aplican a vectores en cualquier dimensión, mientras que las identidades que usan el producto vectorial A × B solo se aplican en tres dimensiones, ya que el producto vectorial solo se define allí. ^{[nb 1] [1]} La mayoría de estas relaciones se pueden fechar hasta el fundador del cálculo vectorial Josiah Willard Gibbs , si no antes. ^[2] ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

Magnitudes

La magnitud de un vector A se puede expresar mediante el producto escalar:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

En el espacio euclidiano tridimensional , la magnitud de un vector se determina a partir de sus tres componentes utilizando el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

Desigualdades

• La desigualdad de Cauchy-Schwarz : ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• La desigualdad del triángulo : ${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• La desigualdad del triángulo inverso : ${\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

Anglos

El producto vectorial y el producto escalar de dos vectores definen el ángulo entre ellos, digamos θ : ^{[1] [3]}

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Para satisfacer la regla de la mano derecha , para θ positivo , el vector B es en sentido antihorario desde A , y para θ negativo es en sentido horario.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

La identidad trigonométrica pitagórica proporciona entonces:

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

Si un vector A = ( A _x , A _y , A _z ) forma ángulos α , β , γ con un conjunto ortogonal de ejes x , y y z , entonces:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

y análogamente para los ángulos β, γ. En consecuencia:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}$

con vectores unitarios a lo largo de las direcciones del eje. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$

Áreas y volúmenes

El área Σ de un paralelogramo cuyos lados A y B contienen el ángulo θ es:

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

que se reconocerá como la magnitud del producto vectorial de los vectores A y B que se encuentran a lo largo de los lados del paralelogramo. Es decir:

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}$

(Si A , B son vectores bidimensionales, esto es igual al determinante de la matriz 2 × 2 con filas A , B ). El cuadrado de esta expresión es: ^[4]

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

donde Γ( A , B ) es el determinante de Gram de A y B definido por:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

De manera similar, el volumen cuadrado V de un paralelepípedo abarcado por los tres vectores A , B , C está dado por el determinante de Gram de los tres vectores: ^[4]

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

Como A , B, C son vectores tridimensionales, esto es igual al cuadrado del triple producto escalar a continuación. ${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$

Este proceso puede extenderse a n dimensiones.

Suma y multiplicación de vectores

• Conmutatividad de la adición: . ${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$
• Conmutatividad del producto escalar: . ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$
• Anticonmutatividad del producto vectorial: . ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$
• Distributividad de la multiplicación por un escalar sobre la suma: . ${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$
• Distributividad del producto escalar sobre la adición: . ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$
• Distributividad del producto vectorial sobre la suma: . ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$
• Producto triple escalar : $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$
• Producto triple vectorial : . ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$
• Identidad de Jacobi : $${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$$
• Identidad de Lagrange : . ${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$

Producto cuádruple

En matemáticas , el producto cuádruple es un producto de cuatro vectores en el espacio euclidiano tridimensional . El nombre "producto cuádruple" se utiliza para dos productos diferentes, ^{[5] el} producto cuádruple escalar de valor escalar y el producto cuádruple vectorial de valor vectorial o producto vectorial de cuatro vectores .

Producto cuádruple escalar

El producto cuádruple escalar se define como el producto escalar de dos productos vectoriales :

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

donde a, b, c, d son vectores en el espacio euclidiano tridimensional. ^[6] Se puede evaluar utilizando la identidad de Binet-Cauchy : ^[6]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ .}$

o utilizando el determinante :

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )={\begin{vmatrix}\mathbf {a\cdot c} &\mathbf {a\cdot d} \\\mathbf {b\cdot c} &\mathbf {b\cdot d} \end{vmatrix}}\ .}$

Producto cuádruple vectorial

El producto cuádruple vectorial se define como el producto vectorial de dos productos vectoriales:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\ ,}$

donde a, b, c, d son vectores en el espacio euclidiano tridimensional. ^[2] Se puede evaluar utilizando la identidad: ^[7]

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=[\mathbf {a,\ b,\ d} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} \ ,}$

utilizando la notación para el producto triple :

${\displaystyle [\mathbf {a,\ b,\ c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\ .}$

Se pueden obtener formas equivalentes utilizando la identidad: ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle [\mathbf {b,\ c,\ d} ]\mathbf {a} -[\mathbf {c,\ d,\ a} ]\mathbf {b} +[\mathbf {d,\ a,\ b} ]\mathbf {c} -[\mathbf {a,\ b,\ c} ]\mathbf {d} =0\ .}$

Esta identidad también se puede escribir utilizando la notación tensorial y la convención de suma de Einstein de la siguiente manera:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\times } (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}c^{j}d^{k}b^{l}-\varepsilon _{ijk}b^{i}c^{j}d^{k}a^{l}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}d^{k}c^{l}-\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}d^{l}}$

donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita .

Relaciones relacionadas:

• Una consecuencia de la ecuación anterior: ^[11] $${\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}$$
• En 3 dimensiones, un vector D se puede expresar en términos de vectores base { A , B , C } como: ^[12] $${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}$$

Aplicaciones

Estas relaciones son útiles para derivar varias fórmulas en geometría esférica y euclidiana. Por ejemplo, si se eligen cuatro puntos en la esfera unitaria, A, B, C, D , y se trazan vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta los cuatro puntos, a, b, c, d respectivamente, la identidad:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

en conjunción con la relación para la magnitud del producto vectorial:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

y el producto escalar:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

donde a = b = 1 para la esfera unitaria, resulta la identidad entre los ángulos atribuidos a Gauss:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

donde x es el ángulo entre a × b y c × d , o equivalentemente, entre los planos definidos por estos vectores. ^[2]

Véase también

• Espacio vectorial
• Álgebra geométrica

Notas

1. También existe un producto vectorial de siete dimensiones de vectores que se relaciona con la multiplicación de los octoniones , pero no satisface estas identidades tridimensionales.

Referencias

1. Lyle Frederick Albright (2008). "§2.5.1 Álgebra vectorial". Manual de ingeniería química de Albright . CRC Press. pág. 68. ISBN 978-0-8247-5362-7.
2. Gibbs & Wilson 1901, págs. 77 y siguientes
3. Francis Begnaud Hildebrand (1992). Métodos de matemáticas aplicadas (Reimpresión de Prentice-Hall 1965 2.ª ed.). Courier Dover Publications. pág. 24. ISBN 0-486-67002-3.
4. Richard Courant, Fritz John (2000). "Áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos en dimensiones superiores". Introducción al cálculo y al análisis, volumen II (reimpresión de la edición original de Interscience de 1974). Springer. págs. 190-195. ISBN 3-540-66569-2.
5. Gibbs & Wilson 1901, §42 de la sección "Productos directos y oblicuos de vectores", p.77
6. Gibbs & Wilson 1901, pág. 76
7. Gibbs y Wilson 1901, pág. 77
8. Gibbs y Wilson 1901, Ecuación 27, pág. 77
9. Vidwan Singh Soni (2009). "§1.10.2 Producto cuádruple vectorial". Mecánica y relatividad . PHI Learning Pvt. Ltd., págs. 11-12. ISBN 978-81-203-3713-8.
10. Edwin Bidwell Wilson y Josiah Willard Gibbs (1901) aplican esta fórmula a la trigonometría esférica . "§42 en Productos directos y oblicuos de vectores ". Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas. Scribner. pp. 77 y siguientes .
11. "Álgebra lineal - Identidad de productos cruzados". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 7 de octubre de 2021 .
12. Joseph George Coffin (1911). Análisis vectorial: una introducción a los métodos vectoriales y sus diversas aplicaciones a la física y las matemáticas (2.ª ed.). Wiley. pág. 56.

Lectura adicional

• Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas. Scribner.