Multivector

Elemento de un álgebra exterior

En álgebra multilineal , un multivector , a veces llamado número de Clifford o multor , ^[1] es un elemento del álgebra exterior Λ( V ) de un espacio vectorial V . Esta álgebra es graduada , asociativa y alterna , y consiste en combinaciones lineales de k -vectores simples ^[2] (también conocidos como k -vectores descomponibles ^[3] o k -cuchillas ) de la forma

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

¿Dónde están en V ? ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$

Un k -vector es una combinación lineal homogénea de grado k (todos los términos son k -láminas para el mismo k ). Según los autores, un "multivector" puede ser un k -vector o cualquier elemento del álgebra exterior (cualquier combinación lineal de k -láminas con valores de k potencialmente diferentes ). ^[4]

En geometría diferencial , un k -vector es un vector en el álgebra exterior del espacio vectorial tangente ; es decir, es un tensor antisimétrico obtenido al tomar combinaciones lineales del producto exterior de k vectores tangentes , para algún entero k ≥ 0. Una k -forma diferencial es un k -vector en el álgebra exterior del dual del espacio tangente, que también es el dual del álgebra exterior del espacio tangente.

Para k = 0, 1, 2 y 3 , los k -vectores se denominan a menudo respectivamente escalares , vectores , bivectores y trivectores ; son duales a las formas 0, 1, 2 y 3 , respectivamente . ^{[5] [6]}

Producto exterior

El producto exterior (también llamado producto de cuña) utilizado para construir multivectores es multilineal (lineal en cada entrada), asociativo y alterno. Esto significa que para los vectores u , v y w en un espacio vectorial V y para los escalares α , β , el producto exterior tiene las propiedades:

• Lineal en una entrada: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• De asociación: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}$
• Alterno: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

El producto exterior de k vectores o una suma de dichos productos (para un único k ) se denomina multivector de grado k o k -vector. El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial V.

La linealidad en cualquiera de las entradas junto con la propiedad alternante implica linealidad en la otra entrada. La multilinealidad del producto exterior permite expresar un multivector como una combinación lineal de productos exteriores de vectores base de V . El producto exterior de k vectores base de V es la forma estándar de construir cada elemento base para el espacio de k vectores, que tiene dimensión (^no
_k) en el álgebra exterior de unespacio vectorial n -dimensional. ^[2]

Área y volumen

El k -vector obtenido a partir del producto exterior de k vectores separados en un espacio n -dimensional tiene componentes que definen los volúmenes proyectados ( k − 1) del k - paralelotopo generado por los vectores. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos componentes define el volumen del k -paralelotopo. ^{[2] [7]}

Los siguientes ejemplos muestran que un bivector en dos dimensiones mide el área de un paralelogramo, y la magnitud de un bivector en tres dimensiones también mide el área de un paralelogramo. De manera similar, un trivector en tres dimensiones mide el volumen de un paralelepípedo.

Es fácil comprobar que la magnitud de un trivector en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo abarcado por estos vectores.

Multivectores en R2

Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional V = R ² . Sean los vectores base e ₁ y e ₂ , por lo que u y v están dados por

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

y el multivector u ∧ v , también llamado bivector, se calcula como

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Las barras verticales indican el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo abarcado por los vectores u y v . La magnitud de u ∧ v es el área de este paralelogramo. Nótese que debido a que V tiene dimensión dos, el bivector base e ₁ ∧ e ₂ es el único multivector en Λ V .

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

Multivectores en R3

Se pueden ver más características de los multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional V = R ³ . En este caso, sean los vectores base e ₁ , e ₂ y e ₃ , por lo que u , v y w están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

y se calcula que el bivector u ∧ v es

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto vectorial. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto demuestra que la magnitud del bivector u ∧ v es el área del paralelogramo abarcado por los vectores u y v tal como se encuentra en el espacio tridimensional V. Los componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo en cada uno de los tres planos de coordenadas.

Tenga en cuenta que debido a que V tiene dimensión tres, hay un trivector base en Λ V . Calcule el trivector

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

Esto demuestra que la magnitud del trivector u ∧ v ∧ w es el volumen del paralelepípedo abarcado por los tres vectores u , v y w .

En espacios de dimensiones superiores, los tres vectores componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los tres espacios de coordenadas, y la magnitud del tres vector es el volumen del paralelepípedo tal como se encuentra en el espacio de dimensiones superiores.

Coordenadas de Grassmann

En esta sección, consideramos multivectores en un espacio proyectivo P ⁿ , que proporcionan un conjunto conveniente de coordenadas para líneas, planos e hiperplanos que tienen propiedades similares a las coordenadas homogéneas de puntos, llamadas coordenadas de Grassmann . ^[8]

Los puntos en un espacio proyectivo real P ⁿ se definen como líneas que pasan por el origen del espacio vectorial R ^{n +1} . Por ejemplo, el plano proyectivo P ² es el conjunto de líneas que pasan por el origen de R ³ . Por lo tanto, los multivectores definidos en R ^{n +1} pueden verse como multivectores en P ⁿ .

Una forma conveniente de ver un multivector en P ⁿ es examinarlo en un componente afín de P ⁿ , que es la intersección de las líneas que pasan por el origen de R ^{n +1} con un hiperplano seleccionado, como H: x _{n +1} = 1 . Las líneas que pasan por el origen de R ³ intersecan el plano E: z = 1 para definir una versión afín del plano proyectivo que solo carece de los puntos para los cuales z = 0 , llamados puntos en el infinito.

Multivectores enPAG2

Los puntos en la componente afín E: z = 1 del plano proyectivo tienen coordenadas x = ( x , y , 1) . Una combinación lineal de dos puntos p = ( p ₁ , p ₂ , 1) y q = ( q ₁ , q ₂ , 1) define un plano en R ³ que interseca a E en la línea que une p y q . El multivector p ∧ q define un paralelogramo en R ³ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Nótese que la sustitución de α p + β q por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, los componentes de p ∧ q son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de R ³ .

El conjunto de puntos x = ( x , y , 1) sobre la recta que pasa por p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el plano E: z = 1 . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

que se simplifica a la ecuación de una línea

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

Esta ecuación se satisface para los puntos x = α p + β q para valores reales de α y β.

Los tres componentes de p ∧ q que definen la línea λ se denominan coordenadas de Grassmann de la línea. Como tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las líneas en el plano proyectivo. Esto se denomina principio de dualidad .

Multivectores enPAG3

El espacio proyectivo tridimensional, P ^{3 ,} consta de todas las líneas que pasan por el origen de R ⁴ . Sea el hiperplano tridimensional, H: w = 1 , el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos x = ( x , y , z , 1) . El multivector p ∧ q ∧ r define un paralelepípedo en R ⁴ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

Nótese que la sustitución de α p + β q + γ r por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, los componentes de p ∧ q ∧ r son coordenadas homogéneas para el 3-espacio que pasa por el origen de R ⁴ .

Un plano en la componente afín H: w = 1 es el conjunto de puntos x = ( x , y , z , 1) en la intersección de H con el 3-espacio definido por p ∧ q ∧ r . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

Lo cual se simplifica a la ecuación de un plano.

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Esta ecuación se satisface para los puntos x = α p + β q + γ r para valores reales de α , β y γ .

Los cuatro componentes de p ∧ q ∧ r que definen el plano λ se denominan coordenadas de Grassmann del plano. Como cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

Una línea como la unión de dos puntos: En el espacio proyectivo, la línea λ que pasa por dos puntos p y q puede verse como la intersección del espacio afín H: w = 1 con el plano x = α p + β q en R ⁴ . El multivector p ∧ q proporciona coordenadas homogéneas para la línea.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

Estas se conocen como coordenadas de Plücker de la línea, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

Una línea como intersección de dos planos: Una línea μ en el espacio proyectivo también se puede definir como el conjunto de puntos x que forman la intersección de dos planos π y ρ definidos por multivectores de tercer grado, por lo que los puntos x son las soluciones de las ecuaciones lineales.

${\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}$

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea μ , asigne los multivectores π y ρ a sus coordenadas de punto dual utilizando el operador de estrella de Hodge , ^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}),}$

entonces

${\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de la línea μ están dadas por

${\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Debido a que las seis coordenadas homogéneas de una línea se pueden obtener de la unión de dos puntos o de la intersección de dos planos, se dice que la línea es autodual en el espacio proyectivo.

Producto de Clifford

WK Clifford combinó multivectores con el producto interno definido en el espacio vectorial, con el fin de obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los cuaterniones de Hamilton . ^{[9] [10]}

El producto de Clifford entre dos vectores u y v es bilineal y asociativo como el producto exterior, y tiene la propiedad adicional de que el multivector uv está acoplado al producto interno u ⋅ v por la relación de Clifford,

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

La relación de Clifford conserva la propiedad anticonmutativa para los vectores que son perpendiculares. Esto se puede ver a partir de los vectores unitarios mutuamente ortogonales e _i , i = 1, ..., n en R ⁿ : La relación de Clifford produce

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},}$

lo que demuestra que los vectores base se anticonmutan mutuamente,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}$

A diferencia del producto exterior, el producto de Clifford de un vector consigo mismo no es cero. Para comprobarlo, calcule el producto

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}$

que produce

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}$

El conjunto de multivectores construidos mediante el producto de Clifford produce un álgebra asociativa conocida como álgebra de Clifford . Se pueden utilizar productos internos con diferentes propiedades para construir diferentes álgebras de Clifford. ^{[11] [12]}

Álgebra geométrica

El término k-blade se utilizó en Clifford Algebra to Geometric Calculus (1984) ^[13]

Los multivectores desempeñan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica. Según David Hestenes ,

Los k -vectores [no escalares] a veces se denominan k-cuchillas o, simplemente, cuchillas , para enfatizar el hecho de que, a diferencia de los 0-vectores (escalares), tienen "propiedades direccionales". ^[14]

En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término "blade" para referirse a un multivector que puede expresarse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores. En este caso, mediante la afirmación "Cualquier multivector puede expresarse como la suma de blades", los escalares se definen implícitamente como 0-blades. ^[15]

En álgebra geométrica , un multivector se define como la suma de componentes de grado k diferentes , como la suma de un escalar , un vector y un 2-vector. ^[16] Una suma de solo componentes de grado k se denomina k -vector, ^[17] o un multivector homogéneo . ^[18]

El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar .

Si un elemento dado es homogéneo de un grado k , entonces es un k -vector, pero no necesariamente un k -lámina. Un elemento de este tipo es un k -lámina cuando se puede expresar como el producto exterior de k vectores. Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos álabes cualesquiera, con uno tomado del plano XY y el otro tomado del plano ZW, formará un 2-vector que no es un 2-lámina. En un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de dimensión 2 o 3, todas las sumas de 2-láminas se pueden escribir como un único 2-lámina.

Ejemplos

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (por ejemplo, n - paralelepípedo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definidas por la de su límite ( n − 1) -dimensional y en qué lado se encuentra el interior. ^{[19] [20]}

• Los vectores 0 son escalares;
• 1-Los vectores son vectores;
• Los 2-vectores son bivectores ;
• ( n − 1)-vectores son pseudovectores ;
• Los n -vectores son pseudoescalares .

En presencia de una forma de volumen (tal como dado un producto interno y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares pueden identificarse con vectores y escalares, lo cual es rutinario en el cálculo vectorial , pero sin una forma de volumen esto no se puede hacer sin hacer una elección arbitraria.

En el álgebra del espacio físico (el álgebra geométrica del 3-espacio euclidiano, utilizada como modelo del (3+1)-espaciotiempo), la suma de un escalar y un vector se llama paravector , y representa un punto en el espacio-tiempo (el vector el espacio, el escalar el tiempo).

Bivectores

Un bivector es un elemento del producto tensorial antisimétrico de un espacio tangente consigo mismo.

En álgebra geométrica , un bivector es también un elemento de grado 2 (un 2-vector) resultante del producto en cuña de dos vectores, y por tanto es geométricamente un área orientada , de la misma manera que un vector es un segmento de línea orientado. Si a y b son dos vectores, el bivector a ∧ b tiene

• una norma que es su área, dada por

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• una dirección: el plano en el que se encuentra dicha área, es decir, el plano determinado por a y b , siempre que sean linealmente independientes;
• una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores originales.

Los bivectores están conectados a pseudovectores y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ ² V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n ), tiene sentido definir un producto interno en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, escriba cualquier elemento F ∈ Λ ² V en términos de una base ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} de Λ ² V como

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Ahora definamos un mapa G : Λ ² V × Λ ² V → R insistiendo en que

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

¿Dónde están un conjunto de números? ${\displaystyle G_{abcd}}$

Aplicaciones

Los bivectores juegan muchos papeles importantes en la física, por ejemplo, en la clasificación de los campos electromagnéticos .

Véase también

• Hoja (geometría)
• Paravector

Referencias

1. John Snygg (2012), Un nuevo enfoque para la geometría diferencial utilizando el álgebra geométrica de Clifford , Birkhäuser, pág. 5 §2.12
2. Harley Flanders (1989)[1963] Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , § 2.1 El espacio de p -vectores, páginas 5-7, Dover Books
3. Wendell Fleming (1977) [1965] Funciones de varias variables , sección 7.5 Multivectores, página 295, ISBN  978-1-4684-9461-7
4. Élie Cartan, La teoría de los espinores , p. 16, considera sólo vectores homogéneos, particularmente los simples, refiriéndose a ellos como "multivectores" (colectivamente) o p -vectores (específicamente).
5. William M Pezzaglia Jr. (1992). "Derivación del álgebra de Clifford de las hipersuperficies características de las ecuaciones de Maxwell". En Julian Ławrynowicz (ed.). Deformaciones de estructuras matemáticas II . Springer. pág. 131 y siguientes . ISBN 0-7923-2576-1. Por lo tanto, en 3D asociamos los términos alternativos de pseudovector para el bivector y pseudoescalar para el trivector.
6. Baylis (1994). Métodos teóricos en las ciencias físicas: una introducción a la resolución de problemas utilizando Maple V. Birkhäuser. pág. 234, véase la nota al pie. ISBN 0-8176-3715-X.
7. GE Shilov, Álgebra lineal , (trad. RA Silverman), Dover Publications, 1977.
8. WVD Hodge y D. Pedoe, Métodos de geometría algebraica, vol. 1, Cambridge Univ. Press, 1947
9. WK Clifford, "Esbozo preliminar de bicuaterniones", Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) págs. 381–395
10. WK Clifford, Documentos matemáticos , (ed. R. Tucker), Londres: Macmillan, 1882.
11. JM McCarthy, Introducción a la cinemática teórica, págs. 62-5, MIT Press 1990.
12. O. Bottema y B. Roth, Cinemática teórica, North Holland Publ. Co., 1979
13. David Hestenes y Garret Sobczyk (1984) Álgebra de Clifford para cálculo geométrico , pág. 4, D. Reidel ISBN 90-277-1673-0 
14. David Hestenes (1999)[1986] Nuevos fundamentos para la mecánica clásica, página 34, D. Reidel ISBN 90-277-2090-8 
15. C. Doran y A. Lasenby (2003) Álgebra geométrica para físicos , página 87, Cambridge University Press ISBN 9780511807497 
16. Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para el reconocimiento y clasificación de patrones . World Scientific. p. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.
17. R Wareham, J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme en la visión por computadora y los gráficos". En Hongbo Li; Peter J. Olver ; Gerald Sommer (eds.). Álgebra computacional y álgebra geométrica con aplicaciones . Springer. pág. 330. ISBN 3-540-26296-2.
18. Eduardo Bayro-Corrochano (2004). "Álgebra geométrica de Clifford: Un marco prometedor para la visión por computador, la robótica y el aprendizaje". En Alberto Sanfeliu; José Francisco Martínez Trinidad; Jesús Ariel Carrasco Ochoa (eds.). Avances en reconocimiento de patrones, análisis de imágenes y aplicaciones . Springer. p. 25. ISBN 3-540-23527-2.
19. R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
20. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 83. ISBN 0-7167-0344-0.