En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de los campos electromagnéticos es una clasificación puntual de los bivectores en cada punto de una variedad lorentziana . Se utiliza en el estudio de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell y tiene aplicaciones en la teoría de la relatividad de Einstein .
El campo electromagnético en un punto p (es decir, un evento) de un espaciotiempo lorentziano está representado por un bivector real F = F ab definido sobre el espacio tangente en p .
El espacio tangente en p es isométrico como un espacio de producto interior real a E 1,3 . Es decir, tiene la misma noción de magnitud vectorial y ángulo que el espacio-tiempo de Minkowski . Para simplificar la notación, supondremos que el espacio-tiempo es el espacio-tiempo de Minkowski. Esto tiende a desdibujar la distinción entre el espacio tangente en p y la variedad subyacente; afortunadamente, no se pierde nada con esta especialización, por razones que analizamos al final del artículo.
El teorema de clasificación de los campos electromagnéticos caracteriza el bivector F en relación con la métrica lorentziana η = η ab mediante la definición y el análisis de las denominadas "direcciones nulas principales". Vamos a explicarlo.
El bivector F ab produce un operador lineal antisimétrico F a b = F ac η cb definido al reducir un índice con la métrica. Actúa sobre el espacio tangente en p mediante r a → F a b r b . Usaremos el símbolo F para denotar el bivector o el operador, según el contexto.
Mencionamos una dicotomía extraída del álgebra exterior. Un bivector que puede escribirse como F = v ∧ w , donde v , w son linealmente independientes, se llama simple . Cualquier bivector distinto de cero sobre un espacio vectorial de 4 dimensiones es simple o puede escribirse como F = v ∧ w + x ∧ y , donde v , w , x e y son linealmente independientes; los dos casos son mutuamente excluyentes. Enunciada así, la dicotomía no hace referencia a la métrica η , solo al álgebra exterior. Pero se ve fácilmente que el operador lineal antisimétrico asociado F a b tiene rango 2 en el primer caso y rango 4 en el segundo caso. [1]
Para enunciar el teorema de clasificación, consideramos el problema de valores propios para F , es decir, el problema de encontrar valores propios λ y vectores propios r que satisfagan la ecuación de valores propios
La simetría oblicua de F implica que:
Un subespacio unidimensional generado por un vector propio nulo se denomina dirección nula principal del bivector.
El teorema de clasificación caracteriza las posibles direcciones nulas principales de un bivector. Afirma que una de las siguientes condiciones debe cumplirse para cualquier bivector distinto de cero:
Además, para cualquier bivector no nulo, los dos valores propios asociados con las dos direcciones nulas principales distintas tienen la misma magnitud pero signo opuesto, λ = ± ν , por lo que tenemos tres subclases de bivectores no nulos:
donde el rango se refiere al rango del operador lineal F. [ aclaración necesaria ]
La clasificación algebraica de bivectores dada anteriormente tiene una aplicación importante en la física relativista : el campo electromagnético está representado por un campo tensorial de segundo rango antisimétrico (el tensor de campo electromagnético ), por lo que obtenemos inmediatamente una clasificación algebraica de los campos electromagnéticos.
En un gráfico cartesiano sobre el espacio-tiempo de Minkowski , el tensor del campo electromagnético tiene componentes
donde y denotan respectivamente los componentes de los campos eléctrico y magnético, medidos por un observador inercial (en reposo en nuestras coordenadas). Como es habitual en la física relativista, nos resultará conveniente trabajar con unidades geometrizadas en las que . En el formalismo de la " gimnasia de índices " de la relatividad especial, se utiliza la métrica de Minkowski para aumentar y disminuir los índices.
Las invariantes fundamentales del campo electromagnético son:
(Fundamental significa que cualquier otro invariante puede expresarse en términos de estos dos).
Un campo electromagnético nulo se caracteriza por . En este caso, los invariantes revelan que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares y que tienen la misma magnitud (en unidades geométricas). Un ejemplo de campo nulo es una onda electromagnética plana en el espacio de Minkowski .
Un campo no nulo se caracteriza por . Si , existe un sistema de referencia inercial para el cual el campo eléctrico o magnético se anula. (Estos corresponden respectivamente a los campos magnetostático y electrostático ). Si , existe un sistema inercial en el cual los campos eléctrico y magnético son proporcionales.
Hasta ahora hemos analizado únicamente el espacio-tiempo de Minkowski . Según el principio de equivalencia (fuerte) , si simplemente reemplazamos el "marco inercial" mencionado anteriormente por un campo de marcos , todo funciona exactamente de la misma manera en variedades curvas.
