Ultrafiltro

Filtro propio máximo

Diagrama de Hasse de los divisores de 210, ordenados por la relación es divisor de , con el conjunto superior ↑14 coloreado de verde oscuro. Es un filtro principal , pero no un ultrafiltro , ya que puede extenderse al filtro no trivial más grande ↑2 , incluyendo también los elementos de color verde claro. Dado que ↑2 no puede extenderse más, es un ultrafiltro.

En el campo matemático de la teoría del orden , un ultrafiltro en un conjunto parcialmente ordenado dado (o "poset") es un subconjunto determinado de, a saber, un filtro máximo en, es decir, un filtro propio en que no se puede ampliar a un filtro propio más grande en ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P;}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Si es un conjunto arbitrario, su conjunto potencia ordenado por inclusión de conjuntos , es siempre un álgebra booleana y, por lo tanto, un conjunto parcial, y los ultrafiltros en se denominan habitualmente ultrafiltros en el conjunto . ^{[nota 1]} Un ultrafiltro en un conjunto puede considerarse como una medida finitamente aditiva de valor 0-1 en . En esta visión, cada subconjunto de se considera " casi todo " (tiene medida 1) o "casi nada" (tiene medida 0), dependiendo de si pertenece o no al ultrafiltro dado. ^{[1] : §4} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en teoría de conjuntos, teoría de modelos , topología ^{[2] : 186} y combinatoria. ^[3]

Ultrafiltros en pedidos parciales

En teoría del orden , un ultrafiltro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que es máximo entre todos los filtros propios . Esto implica que cualquier filtro que contenga adecuadamente un ultrafiltro tiene que ser igual a todo el conjunto parcial.

Formalmente, si es un conjunto, parcialmente ordenado por entonces ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

• Un subconjunto se llama filtro si ${\displaystyle F\subseteq P}$ ${\textstyle P}$
  • ${\displaystyle F}$no está vacío,
  • para cada existe algún elemento tal que y y ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle z\in F}$ ${\displaystyle z\leq x}$ ${\displaystyle z\leq y,}$
  • para cada y implica que está en también; ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle y\in P,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$
• Un subconjunto propio de se llama ultrafiltro si ${\displaystyle U}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle P}$
  • ${\displaystyle U}$es un filtro activado y ${\displaystyle P,}$
  • no hay un filtro adecuado que se extienda adecuadamente (es decir, que sea un subconjunto adecuado de ). ${\displaystyle F}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}Tipos y existencia de ultrafiltros

Cada ultrafiltro cae en exactamente una de dos categorías: principal o libre. Un ultrafiltro principal (o fijo o trivial ) es un filtro que contiene un mínimo de elementos . En consecuencia, cada ultrafiltro principal tiene la forma para algún elemento del conjunto parcial dado. En este caso se denomina elemento principal del ultrafiltro. Cualquier ultrafiltro que no sea principal se denomina ultrafiltro libre (o no principal ). Para un conjunto arbitrario de , el conjunto es un filtro, denominado filtro principal en ; es un ultrafiltro principal solo si es máximo. ${\displaystyle F_{p}=\{x:p\leq x\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle p}$

Para los ultrafiltros sobre un conjunto potencia, un ultrafiltro principal consiste en todos los subconjuntos de que contienen un elemento dado. Cada ultrafiltro sobre que es también un filtro principal es de esta forma. ^{[2] : 187} Por lo tanto, un ultrafiltro sobre es principal si y solo si contiene un conjunto finito. ^{[nota 2]} Si es infinito, un ultrafiltro sobre es, por lo tanto, no principal si y solo si contiene el filtro de Fréchet de subconjuntos cofinitos de ^{[nota 3] [4] : Proposición 3} Si es finito, todo ultrafiltro es principal. ^{[2] : 187} Si es infinito, entonces el filtro de Fréchet no es un ultrafiltro sobre el conjunto potencia de sino que es un ultrafiltro sobre el álgebra finito-cofinita de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Cada filtro en un álgebra de Boole (o más generalmente, cualquier subconjunto con la propiedad de intersección finita ) está contenido en un ultrafiltro (ver lema del ultrafiltro ) y por lo tanto existen ultrafiltros libres, pero las pruebas involucran el axioma de elección ( AC ) en la forma del lema de Zorn . Por otro lado, la afirmación de que cada filtro está contenido en un ultrafiltro no implica AC . De hecho, es equivalente al teorema del ideal primo de Boole ( BPIT ), un punto intermedio bien conocido entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) y la teoría ZF aumentada por el axioma de elección ( ZFC ). En general, las pruebas que involucran el axioma de elección no producen ejemplos explícitos de ultrafiltros libres, aunque es posible encontrar ejemplos explícitos en algunos modelos de ZFC ; por ejemplo, Gödel mostró que esto se puede hacer en el universo construible donde uno puede escribir una función de elección global explícita. En ZF sin el axioma de elección, es posible que cada ultrafiltro sea principal. ^[5]

Ultrafiltro en un álgebra de Boole

Un caso especial importante del concepto se da si el conjunto parcial considerado es un álgebra de Boole . En este caso, los ultrafiltros se caracterizan por contener, para cada elemento del álgebra de Boole, exactamente uno de los elementos y (siendo este último el complemento booleano de ): ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lnot x}$ ${\displaystyle x}$

Si es un álgebra booleana y es un filtro adecuado, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\textstyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P,}$

1. ${\displaystyle F}$es un ultrafiltro en ${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$es un filtro principal en ${\displaystyle P,}$
3. para cada uno o ( ) ^{[2] : 186} ${\displaystyle x\in P,}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle \lnot x}$ ${\displaystyle \in F.}$

Una prueba de que 1. y 2. son equivalentes también se da en (Burris, Sankappanavar, 2012, Corolario 3.13, p.133). ^[6]

Además, los ultrafiltros en un álgebra de Boole se pueden relacionar con ideales máximos y homomorfismos en el álgebra de Boole de 2 elementos {verdadero, falso} (también conocidos como morfismos de 2 valores ) de la siguiente manera:

• Dado un homomorfismo de un álgebra de Boole sobre {verdadero, falso}, la imagen inversa de "verdadero" es un ultrafiltro, y la imagen inversa de "falso" es un ideal maximal.
• Dado un ideal máximo de un álgebra de Boole, su complemento es un ultrafiltro y hay un homomorfismo único en {verdadero, falso} que lleva el ideal máximo a "falso".
• Dado un ultrafiltro en un álgebra de Boole, su complemento es un ideal maximalista, y existe un homomorfismo único sobre {verdadero, falso} que lleva el ultrafiltro a "verdadero". ^{[ cita requerida ]}

Ultrafiltro en el conjunto de potencia de un conjunto

Dado un conjunto arbitrario, su conjunto potencia ordenado por inclusión de conjuntos , es siempre un álgebra de Boole; por lo tanto, se aplican los resultados de la sección anterior. Un (ultra)filtro sobre se suele llamar simplemente "(ultra)filtro sobre ". ^{[nota 1]} Dado un conjunto arbitrario, un ultrafiltro sobre es un conjunto que consta de subconjuntos de tales que: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$

1. El conjunto vacío no es un elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
2. Si es un elemento de entonces también lo es cada superconjunto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle B\supset A}$
3. Si y son elementos de entonces también lo es la intersección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle A\cap B}$
4. Si es un subconjunto de entonces ^{[nota 4]} o su complemento es un elemento de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

De manera equivalente, una familia de subconjuntos de es un ultrafiltro si y solo si para cualquier colección finita de subconjuntos de , existe alguno tal que donde es el ultrafiltro principal con la semilla de . En otras palabras, un ultrafiltro puede verse como una familia de conjuntos que se asemeja "localmente" a un ultrafiltro principal. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {F}}=F_{x}\cap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{x}=\{Y\subseteq X:x\in Y\}}$ ${\displaystyle x}$

Una forma equivalente de un dado es un morfismo de 2 valores , una función en definida como si es un elemento de y en caso contrario. Entonces es finitamente aditivo y, por lo tanto, un contenido en y cada propiedad de los elementos de es verdadera casi en todas partes o falsa casi en todas partes. Sin embargo, normalmente no es contablemente aditivo y, por lo tanto, no define una medida en el sentido habitual. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$

Para un filtro que no es un ultrafiltro, se puede definir si y si se deja sin definir en otro lugar. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle m(A)=1}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle m(A)=0}$ ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle m}$

Aplicaciones

Los ultrafiltros en conjuntos de potencias son útiles en topología , especialmente en relación con espacios de Hausdorff compactos , y en teoría de modelos en la construcción de ultraproductos y ultrapotencias . Cada ultrafiltro en un espacio de Hausdorff compacto converge exactamente a un punto. Del mismo modo, los ultrafiltros en álgebras de Boole juegan un papel central en el teorema de representación de Stone . En teoría de conjuntos, los ultrafiltros se utilizan para mostrar que el axioma de constructibilidad es incompatible con la existencia de un cardinal medible κ . Esto se demuestra tomando la ultrapotencia del universo teórico de conjuntos módulo un ultrafiltro κ -completo, no principal. ^[7]

El conjunto de todos los ultrafiltros de un conjunto parcial se puede topologizar de una manera natural, que de hecho está estrechamente relacionada con el teorema de representación mencionado anteriormente. Para cualquier elemento de , sea Esto es más útil cuando es nuevamente un álgebra booleana, ya que en esta situación el conjunto de todos es una base para una topología compacta de Hausdorff en . Especialmente, al considerar los ultrafiltros en un conjunto potencia , el espacio topológico resultante es la compactificación de Stone–Čech de un espacio discreto de cardinalidad ${\displaystyle G}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle D_{x}=\left\{U\in G:x\in U\right\}.}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle |S|.}$

La construcción de ultraproductos en la teoría de modelos utiliza ultrafiltros para producir un nuevo modelo a partir de una secuencia de modelos indexados; por ejemplo, el teorema de compacidad se puede demostrar de esta manera. En el caso especial de los ultrapoderes, se obtienen extensiones elementales de estructuras. Por ejemplo, en el análisis no estándar , los números hiperreales se pueden construir como un ultraproducto de los números reales , extendiendo el dominio del discurso de los números reales a las secuencias de números reales. Este espacio de secuencia se considera un superconjunto de los reales al identificar cada real con la secuencia constante correspondiente. Para extender las funciones y relaciones familiares (por ejemplo, + y <) de los reales a los hiperreales, la idea natural es definirlas puntualmente. Pero esto perdería propiedades lógicas importantes de los reales; por ejemplo, puntualmente < no es un ordenamiento total. Entonces, en cambio, las funciones y relaciones se definen " módulo puntual " , donde es un ultrafiltro en el conjunto índice de las secuencias; por el teorema de Łoś , esto preserva todas las propiedades de los números reales que pueden enunciarse en lógica de primer orden . Si no es principal, entonces la extensión obtenida de ese modo no es trivial. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

En la teoría geométrica de grupos , se utilizan ultrafiltros no principales para definir el cono asintótico de un grupo. Esta construcción ofrece una forma rigurosa de considerar la observación del grupo desde el infinito , es decir, la geometría a gran escala del grupo. Los conos asintóticos son ejemplos particulares de ultralímites de espacios métricos .

La prueba ontológica de Gödel de la existencia de Dios utiliza como axioma que el conjunto de todas las "propiedades positivas" es un ultrafiltro.

En la teoría de la elección social , los ultrafiltros no principales se utilizan para definir una regla (llamada función de bienestar social ) para agregar las preferencias de un número infinito de individuos. Contrariamente al teorema de imposibilidad de Arrow para un número finito de individuos, dicha regla satisface las condiciones (propiedades) que Arrow propone (por ejemplo, Kirman y Sondermann, 1972). ^[8] Mihara (1997, ^[9] 1999) ^[10] muestra, sin embargo, que dichas reglas son prácticamente de interés limitado para los científicos sociales, ya que no son algorítmicas o no computables.

Véase también

• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• El lema del ultrafiltro  : filtro propio máximoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Red universal  : una generalización de una secuencia de puntosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Notas

1. Si resulta que también está parcialmente ordenado, se necesita especial cuidado para entender a partir del contexto si se refiere a un (ultra)filtro sobre o a un (ultra)filtro sólo sobre ; ambos tipos de (ultra)filtros son bastante diferentes. Algunos autores ^{[ cita requerida ]} usan "(ultra)filtro de un conjunto parcialmente ordenado" en lugar de " sobre un conjunto arbitrario"; es decir, escriben "(ultra)filtro sobre " para abreviar "(ultra)filtro de ". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$
2. Para ver la dirección "si": Si entonces por la caracterización Nr.7 de Ultrafilter (teoría de conjuntos)#Caracterizaciones . Es decir, algún es el elemento principal de ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\in U,}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}\right\}\in U,{\text{ or }}\ldots {\text{ or }}\left\{x_{n}\right\}\in U,}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$ ${\displaystyle U.}$
3. no es principal si y solo si no contiene ningún conjunto finito, es decir, (por el N° 3 del teorema de caracterización anterior) si y solo si contiene cada conjunto cofinito, es decir, cada miembro del filtro de Fréchet. ${\displaystyle U}$
4. Las propiedades 1 y 3 implican que y no pueden ser ambos elementos de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle U.}$

Referencias

1. Alex Kruckman (7 de noviembre de 2012). "Notas sobre ultrafiltros" (PDF) . Seminario de Berkeley Math Toolbox.
2. Davey, BA; Priestley, HA (1990). Introducción a los retículos y al orden . Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press.
3. Trae oro, Isaac (2021). "Métodos de ultrafiltro en combinatoria". Instantáneas de las matemáticas modernas de Oberwolfach . Marta Maggioni, Sophia Jahns. doi :10.14760/SNAP-2021-006-ES.
4. "Ultrafiltros y cómo usarlos", Burak Kaya, notas de clase, Nesin Mathematics Village, verano de 2019.
5. Halbeisen, LJ (2012). Teoría de conjuntos combinatorios . Springer Monografías en Matemáticas. Springer.
6. Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
7. Kanamori, El infinito superior, pág. 49.
8. Kirman, A.; Sondermann, D. (1972). "Teorema de Arrow, muchos agentes y dictadores invisibles". Revista de teoría económica . 5 (2): 267–277. doi :10.1016/0022-0531(72)90106-8.
9. Mihara, HR (1997). "Teorema de Arrow y computabilidad de Turing" (PDF) . Teoría económica . 10 (2): 257–276. CiteSeerX 10.1.1.200.520 . doi :10.1007/s001990050157. S2CID  15398169 Reimpreso en KV Velupillai, S. Zambelli y S. Kinsella, ed., Computable Economics, Biblioteca Internacional de Escritos Críticos de Economía, Edward Elgar, 2011. {{cite journal}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )
10. Mihara, HR (1999). "Teorema de Arrow, muchos agentes numerables y dictadores invisibles más visibles". Revista de Economía Matemática . 32 (3): 267–277. CiteSeerX 10.1.1.199.1970 . doi :10.1016/S0304-4068(98)00061-5. 

Bibliografía

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• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Schubert, Horst (1968). Topología . Londres: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8.OCLC 463753  .

Lectura adicional

• Comfort, WW (1977). "Ultrafiltros: algunos resultados antiguos y algunos nuevos". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 83 (4): 417–455. doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904. MR  0454893.
• Comfort, WW; Negrepontis, S. (1974), La teoría de los ultrafiltros , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltro en el laboratorio n
• "Lógica matemática 15. El teorema del ultrafiltro" en YouTube