Trigonometría

Área de geometría, sobre ángulos y longitudes.

La trigonometría (del griego antiguo τρίγωνον ( trígōnon )  'triángulo' y μέτρον ( métron )  'medida') ^[1] es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos. En particular, las funciones trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las razones de las longitudes de sus lados. El campo surgió en el mundo helenístico durante el siglo III a. C. a partir de aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos . ^[2] Los griegos se centraron en el cálculo de las cuerdas , mientras que los matemáticos de la India crearon las primeras tablas conocidas de valores para razones trigonométricas (también llamadas funciones trigonométricas ) como el seno . ^[3]

A lo largo de la historia, la trigonometría se ha aplicado en áreas como la geodesia , la topografía , la mecánica celeste y la navegación . ^[4]

La trigonometría es conocida por sus numerosas identidades . Estas identidades trigonométricas ^[5] se utilizan comúnmente para reescribir expresiones trigonométricas con el objetivo de simplificar una expresión, encontrar una forma más útil de una expresión o resolver una ecuación . ^[6]

Historia

A Hiparco , a quien se le atribuye la compilación de la primera tabla trigonométrica , se le ha descrito como "el padre de la trigonometría". ^[7]

Los astrónomos sumerios estudiaron la medida de los ángulos, utilizando una división de círculos en 360 grados. ^[8] Ellos, y más tarde los babilonios , estudiaron las proporciones de los lados de triángulos semejantes y descubrieron algunas propiedades de estas proporciones, pero no convirtieron eso en un método sistemático para encontrar lados y ángulos de triángulos. Los antiguos nubios usaban un método similar. ^[9]

En el siglo III a. C., matemáticos helenísticos como Euclides y Arquímedes estudiaron las propiedades de las cuerdas y los ángulos inscritos en círculos, y demostraron teoremas que son equivalentes a las fórmulas trigonométricas modernas, aunque las presentaron geométricamente en lugar de algebraicamente. En 140 a. C., Hiparco (de Nicea , Asia Menor) dio las primeras tablas de cuerdas, análogas a las modernas tablas de valores de seno , y las utilizó para resolver problemas de trigonometría y trigonometría esférica . ^[10] En el siglo II d. C., el astrónomo grecoegipcio Ptolomeo (de Alejandría, Egipto) construyó tablas trigonométricas detalladas ( tabla de cuerdas de Ptolomeo ) en el Libro 1, capítulo 11 de su Almagesto . ^[11] Ptolomeo utilizó la longitud de la cuerda para definir sus funciones trigonométricas, una diferencia menor con respecto a la convención del seno que utilizamos hoy. ^[12] (El valor que llamamos sen(θ) se puede encontrar buscando la longitud de la cuerda para el doble del ángulo de interés (2θ) en la tabla de Ptolomeo, y luego dividiendo ese valor por dos). Pasaron siglos antes de que se produjeran tablas más detalladas, y el tratado de Ptolomeo siguió utilizándose para realizar cálculos trigonométricos en astronomía durante los siguientes 1200 años en los mundos medievales bizantino , islámico y, más tarde, europeo occidental.

La definición moderna del seno está atestiguada por primera vez en el Surya Siddhanta , y sus propiedades fueron documentadas en el siglo V (d. C.) por el matemático y astrónomo indio Aryabhata . ^[13] Estas obras griegas e indias fueron traducidas y ampliadas por matemáticos islámicos medievales . En 830 d. C., el matemático persa Habash al-Hasib al-Marwazi produjo la primera tabla de cotangentes. ^{[14] [15]} Para el siglo X d. C., en el trabajo del matemático persa Abū al-Wafā' al-Būzjānī , se utilizaron las seis funciones trigonométricas . ^[16] Abu al-Wafa tenía tablas de senos en incrementos de 0,25°, con 8 decimales de precisión, y tablas precisas de valores de tangente. ^[16] También hizo importantes innovaciones en la trigonometría esférica. ^{[17] [18] [19]} El erudito persa Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio. ^{[20] [21] [22]} Fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica en su forma actual. ^[15] Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su Sobre la figura del sector , enunció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para triángulos esféricos y proporcionó pruebas para ambas leyes. ^[23] El conocimiento de las funciones y métodos trigonométricos llegó a Europa occidental a través de las traducciones latinas del Almagesto griego de Ptolomeo, así como de las obras de astrónomos persas y árabes como Al Battani y Nasir al-Din al-Tusi . ^[24] Uno de los primeros trabajos sobre trigonometría de un matemático del norte de Europa es De Triangulis del matemático alemán del siglo XV Regiomontanus , a quien el erudito griego bizantino cardenal Basilios Bessarion , con quien vivió durante varios años, animó a escribir y le proporcionó una copia del Almagesto . ^[25] Al mismo tiempo, el cretense Jorge de Trebisonda completó otra traducción del Almagesto del griego al latín . ^[26] La trigonometría era todavía tan poco conocida en la Europa del norte del siglo XVI que Nicolás Copérnico dedicó dos capítulos de De revolutionibus orbium coelestium a explicar sus conceptos básicos.

Impulsada por las demandas de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas geográficas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. ^[27] Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en utilizar la palabra, publicando su Trigonometria en 1595. ^[28] Gemma Frisius describió por primera vez el método de triangulación que todavía se utiliza hoy en día en topografía. Fue Leonhard Euler quien incorporó plenamente los números complejos a la trigonometría. Los trabajos de los matemáticos escoceses James Gregory en el siglo XVII y Colin Maclaurin en el siglo XVIII fueron influyentes en el desarrollo de las series trigonométricas . ^[29] También en el siglo XVIII, Brook Taylor definió la serie general de Taylor . ^[30]

Razones trigonométricas

En este triángulo rectángulo: sen A = a / h ; cos A = b / h ; tan A = a / b .

Las razones trigonométricas son las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. Estas razones dependen únicamente de un ángulo agudo del triángulo rectángulo, ya que dos triángulos rectángulos cualesquiera con el mismo ángulo agudo son semejantes . ^[31]

Así pues, estas razones definen funciones de este ángulo que se denominan funciones trigonométricas . Explícitamente, se definen a continuación como funciones del ángulo conocido A , donde a , b y h se refieren a las longitudes de los lados de la figura adjunta:

• Seno (denotado sin), definido como la relación entre el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.}$

• Coseno (denotado cos), definido como la relación entre el cateto adyacente (el lado del triángulo que une el ángulo con el ángulo recto) y la hipotenusa.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}$

• Tangente (denotada como tan), definida como la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados en un triángulo rectángulo; es el lado más largo del triángulo y uno de los dos lados adyacentes al ángulo A. El cateto adyacente es el otro lado que está adyacente al ángulo A. El lado opuesto es el lado que está opuesto al ángulo A. Los términos perpendicular y base se utilizan a veces para los lados opuesto y adyacente respectivamente. Ver más abajo en Mnemotecnia.

Los recíprocos de estas relaciones se denominan cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot), respectivamente:

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

El coseno, la cotangente y la cosecante se llaman así porque son respectivamente el seno, la tangente y la secante del ángulo complementario, abreviado como "co-". ^[32]

Con estas funciones, uno puede responder virtualmente todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios usando la ley de senos y la ley de cosenos . ^[33] Estas leyes pueden usarse para calcular los ángulos y lados restantes de cualquier triángulo tan pronto como se conozcan dos lados y su ángulo incluido o dos ángulos y un lado o tres lados.

Mnemotécnica

Un uso común de los mnemónicos es recordar hechos y relaciones en trigonometría. Por ejemplo, las razones seno , coseno y tangente en un triángulo rectángulo se pueden recordar representándolas y sus lados correspondientes como cadenas de letras. Por ejemplo, un mnemónico es SOH-CAH-TOA: ^[34]

Seno = Opuesto ÷ Hipotenusa​

Coseno = Adyacente ÷ Hipotenusa​

Tangente = Opuesto ÷ Adyacente​

Una forma de recordar las letras es pronunciarlas fonéticamente (es decir, / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , similar a Krakatoa ). [ ^35] Otro método es expandir las letras en una oración, como " Algún viejo hippie atrapó a otro hippie haciendo un viaje con ácido " . [ 36 ^]

El círculo unitario y los valores trigonométricos comunes

Fig. 1a – Seno y coseno de un ángulo θ definidos utilizando el círculo unitario

Indicación del signo y cantidad de ángulos clave según sentido de giro

Las razones trigonométricas también se pueden representar utilizando el círculo unitario , que es el círculo de radio 1 centrado en el origen en el plano. ^[37] En esta configuración, el lado terminal de un ángulo A colocado en la posición estándar intersectará el círculo unitario en un punto (x,y), donde y . ^[37] Esta representación permite el cálculo de valores trigonométricos comúnmente encontrados, como los de la siguiente tabla: ^[38] ${\displaystyle x=\cos A}$ ${\displaystyle y=\sin A}$

Funciones trigonométricas de variables reales o complejas

Utilizando el círculo unitario , se pueden extender las definiciones de razones trigonométricas a todos los argumentos positivos y negativos ^[39] (ver función trigonométrica ).

Gráficas de funciones trigonométricas

La siguiente tabla resume las propiedades de las gráficas de las seis funciones trigonométricas principales: ^{[40] [41]}

Funciones trigonométricas inversas

Como las seis funciones trigonométricas principales son periódicas, no son inyectivas (o 1 a 1) y, por lo tanto, no son invertibles. Sin embargo, al restringir el dominio de una función trigonométrica, se pueden hacer invertibles. ^{[42] : 48ff}

Los nombres de las funciones trigonométricas inversas, junto con sus dominios y rangos, se pueden encontrar en la siguiente tabla: ^{[42] : 48ff  [43] : 521ff}

Representaciones de series de potencias

Consideradas como funciones de una variable real, las razones trigonométricas pueden representarse mediante una serie infinita . Por ejemplo, el seno y el coseno tienen las siguientes representaciones: ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

Con estas definiciones se pueden definir las funciones trigonométricas para números complejos . ^[45] Cuando se extienden como funciones de variables reales o complejas, la siguiente fórmula se cumple para la exponencial compleja:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Esta función exponencial compleja, escrita en términos de funciones trigonométricas, es particularmente útil. ^{[46] [47]}

Cálculo de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas fueron uno de los primeros usos de las tablas matemáticas . ^[48] Dichas tablas se incorporaron a los libros de texto de matemáticas y se enseñó a los estudiantes a buscar valores y cómo interpolar entre los valores enumerados para obtener una mayor precisión. ^[49] Las reglas de cálculo tenían escalas especiales para funciones trigonométricas. ^[50]

Las calculadoras científicas tienen botones para calcular las principales funciones trigonométricas (sin, cos, tan y, a veces, cis y sus inversas). ^[51] La mayoría permite elegir entre distintos métodos de medición de ángulos: grados , radianes y, a veces, gradianes . La mayoría de los lenguajes de programación informática proporcionan bibliotecas de funciones que incluyen las funciones trigonométricas. ^[52] El hardware de unidad de punto flotante incorporado en los chips de microprocesador utilizados en la mayoría de las computadoras personales tiene instrucciones integradas para calcular funciones trigonométricas. ^[53]

Otras funciones trigonométricas

Además de las seis razones mencionadas anteriormente, existen funciones trigonométricas adicionales que fueron importantes históricamente, aunque rara vez se usan en la actualidad. Estas incluyen la cuerda ( crd( θ ) = 2 sin( ⁠θ/2⁠ ) ​​), el versino ( versin( θ ) = 1 − cos( θ ) = 2 sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​) (que apareció en las primeras tablas ^[54] ), la coversena ( coversin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin( ⁠π/2⁠ − θ ) ), el haverseno ( haversino( θ ) = ⁠1/2⁠ versin( θ ) = sen ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​), ^[55] la exsecante ( exsec( θ ) = sec( θ ) − 1 ), y la excosecante ( excsc( θ ) = exsec( ⁠π/2⁠ − θ ) = csc( θ ) − 1 ). Consulte la Lista de identidades trigonométricas para obtener más relaciones entre estas funciones.

Aplicaciones

Astronomía

Durante siglos, la trigonometría esférica se ha utilizado para localizar posiciones solares, lunares y estelares, ^[56] predecir eclipses y describir las órbitas de los planetas. ^[57]

En la época moderna, la técnica de triangulación se utiliza en astronomía para medir la distancia a estrellas cercanas, ^[58] así como en sistemas de navegación por satélite . ^[19]

Navegación

Los sextantes se utilizan para medir el ángulo del sol o de las estrellas con respecto al horizonte. Mediante trigonometría y un cronómetro marino , se puede determinar la posición del barco a partir de dichas mediciones.

Históricamente, la trigonometría se ha utilizado para localizar latitudes y longitudes de barcos de vela, trazar rumbos y calcular distancias durante la navegación. ^[59]

La trigonometría todavía se utiliza en la navegación a través de medios como el Sistema de Posicionamiento Global y la inteligencia artificial para vehículos autónomos . ^[60]

Topografía

En agrimensura , la trigonometría se utiliza para calcular longitudes, áreas y ángulos relativos entre objetos. ^[61]

A mayor escala, la trigonometría se utiliza en geografía para medir distancias entre puntos de referencia. ^[62]

Funciones periódicas

La función (en rojo) es la suma de seis funciones seno de diferentes amplitudes y frecuencias relacionadas armónicamente. Su suma se denomina serie de Fourier. La transformada de Fourier (en azul), que representa la amplitud frente a la frecuencia , revela las 6 frecuencias ( en armónicos impares ) y sus amplitudes ( 1/número impar ). ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Las funciones seno y coseno son fundamentales para la teoría de funciones periódicas , ^[63] como las que describen las ondas sonoras y luminosas . Fourier descubrió que toda función periódica continua podía describirse como una suma infinita de funciones trigonométricas.

Incluso las funciones no periódicas pueden representarse como una integral de senos y cosenos mediante la transformada de Fourier . Esto tiene aplicaciones en la mecánica cuántica ^[64] y las comunicaciones ^[65] , entre otros campos.

Óptica y acústica

La trigonometría es útil en muchas ciencias físicas , ^[66] incluidas la acústica , ^[67] y la óptica . ^[67] En estas áreas, se utilizan para describir ondas sonoras y de luz , y para resolver problemas relacionados con límites y transmisión. ^[68]

Otras aplicaciones

Otros campos que utilizan trigonometría o funciones trigonométricas incluyen teoría musical , ^[69] geodesia , síntesis de audio , ^[70] arquitectura , ^[71] electrónica , ^[69] biología , ^[72] imágenes médicas ( tomografías computarizadas y ultrasonidos ), ^[73] química , ^[74] teoría de números (y por lo tanto criptología ), ^[75] sismología , ^[67] meteorología , ^[76] oceanografía , ^[77] compresión de imágenes , ^[78] fonética , ^[79] economía , ^[80] ingeniería eléctrica , ingeniería mecánica , ingeniería civil , ^[69] gráficos por computadora , ^[81] cartografía , ^[69] cristalografía ^[82] y desarrollo de juegos . ^[81]

Identidades

Triángulo con lados a , b , c y ángulos opuestos respectivamente A , B , C

La trigonometría se ha destacado por sus numerosas identidades, es decir, ecuaciones que son verdaderas para todas las entradas posibles. ^[83]

Las identidades que involucran solo ángulos se conocen como identidades trigonométricas . Otras ecuaciones, conocidas como identidades triangulares , ^[84] relacionan tanto los lados como los ángulos de un triángulo dado.

Identidades triangulares

En las siguientes identidades, A , B y C son los ángulos de un triángulo y a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo opuestos a los ángulos respectivos (como se muestra en el diagrama).

Ley de senos

La ley de los senos (también conocida como "regla del seno") para un triángulo arbitrario establece: ^[85]

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}$

donde es el área del triángulo y R es el radio del círculo circunscrito del triángulo: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos (conocida como la fórmula del coseno o la "regla del cos") es una extensión del teorema de Pitágoras a triángulos arbitrarios: ^[85]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

Ley de las tangentes

La ley de las tangentes , desarrollada por François Viète , es una alternativa a la ley de los cosenos a la hora de resolver las aristas desconocidas de un triángulo, proporcionando cálculos más simples al utilizar tablas trigonométricas. ^[86] Está dada por:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

Área

Dados dos lados a y b y el ángulo entre los lados C , el área del triángulo está dada por la mitad del producto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo entre los dos lados: ^[85]

${\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C}$

Identidades trigonométricas

Identidades pitagóricas

Las siguientes identidades trigonométricas están relacionadas con el teorema de Pitágoras y son válidas para cualquier valor: ^[87]

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

La segunda y tercera ecuaciones se derivan de dividir la primera ecuación por y , respectivamente. ${\displaystyle \cos ^{2}{A}}$ ${\displaystyle \sin ^{2}{A}}$

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler , que establece que , produce las siguientes identidades analíticas para seno, coseno y tangente en términos de e y la unidad imaginaria i : ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

Otras identidades trigonométricas

Otras identidades trigonométricas comúnmente utilizadas incluyen las identidades de medio ángulo, las identidades de suma y diferencia de ángulos y las identidades de producto a suma. ^[31]

Véase también

• Tabla de senos de Aryabhata
• Trigonometría generalizada
• Esfera de Lénárt
• Lista de temas relacionados con los triángulos
• Lista de identidades trigonométricas
• Trigonometría racional
• Triángulo delgado
• Aproximación de ángulo pequeño
• Funciones trigonométricas
• Círculo unitario
• Usos de la trigonometría

Referencias

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Bibliografía

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Lectura adicional

• "Funciones trigonométricas". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Linton, Christopher M. (2004). De Eudoxo a Einstein: Una historia de la astronomía matemática . Cambridge University Press.
• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de suma trigonométrica". MundoMatemático .

Enlaces externos

• Khan Academy: Trigonometría, microconferencias gratuitas en línea
• Trigonometría de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, texto completo presentado.
• El acertijo trigonométrico de Benjamin Banneker en Convergence
• Curso breve de trigonometría de Dave por David Joyce de la Universidad Clark
• Trigonometría, por Michael Corral, cubre trigonometría elemental, distribuido bajo la Licencia de Documentación Libre de GNU