Exsecante

La función secante externa (abreviada exsecant , simbolizada exsec ) es una función trigonométrica definida en términos de la función secante :

$\operatorname {exsec} \theta =\sec \theta -1={\frac {1}{\cos \theta }}-1.$

Fue introducida en 1855 por el ingeniero civil estadounidense Charles Haslett, quien la utilizó junto con la función versine existente , para diseñar y medir secciones circulares de vías de ferrocarril . ^[3] Fue adoptada por topógrafos e ingenieros civiles en los Estados Unidos para el diseño de ferrocarriles y carreteras , y desde principios del siglo XX a veces se ha mencionado brevemente en libros de texto de trigonometría estadounidenses y manuales de ingeniería de propósito general. ^[4] Para completar, algunos libros también definieron una función coexsecante o excosecante (simbolizada coexsec o excsc ), la exsecante del ángulo complementario , ^[5]^[6] aunque no se utilizó en la práctica. Si bien la exsecante ha encontrado ocasionalmente otras aplicaciones, hoy es oscura y principalmente de interés histórico. ^[7] $\operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta ,$ $\operatorname {coexsec} \theta ={}$ $\csc \theta -1,$

Como segmento de línea , una secante externa de un círculo tiene un punto final en la circunferencia y luego se extiende radialmente hacia afuera. La longitud de este segmento es el radio del círculo multiplicado por la secante trigonométrica del ángulo central entre el punto final interno del segmento y el punto de tangencia de una línea que pasa por el punto final externo y es tangente al círculo.

Etimología

La palabra secante proviene del latín para "cortar", y una línea secante general "corta" un círculo, intersecándolo dos veces; este concepto data de la antigüedad y se puede encontrar en el Libro 3 de los Elementos de Euclides , como se usa, por ejemplo, en el teorema de las secantes intersecantes . Las fuentes del siglo XVIII en latín llamaban secantes exteriores a cualquier segmento de línea no tangencial externo a un círculo con un punto final en la circunferencia . ^[8]

La secante trigonométrica , nombrada así por Thomas Fincke (1583), se basa más específicamente en un segmento de línea con un extremo en el centro de un círculo y el otro extremo fuera del círculo; el círculo divide este segmento en un radio y una secante externa. El segmento secante externo fue utilizado por Galileo Galilei (1632) con el nombre de secante . ^[9]

Historia y aplicaciones

En el siglo XIX, la mayoría de las vías del ferrocarril se construían a partir de arcos de círculo , llamados curvas simples . ^[10] Los topógrafos e ingenieros civiles que trabajaban para el ferrocarril necesitaban hacer muchos cálculos trigonométricos repetitivos para medir y planificar secciones circulares de la vía. En topografía, y más generalmente en geometría práctica, se utilizaban tablas de funciones trigonométricas "naturales" y sus logaritmos comunes , dependiendo del cálculo específico. El uso de logaritmos convierte la costosa multiplicación de números de varios dígitos en una suma más barata, y las versiones logarítmicas de las tablas trigonométricas ahorraban aún más trabajo al reducir la cantidad de búsquedas de tablas necesarias. ^[11]

La secante externa o distancia externa de una sección de vía curva es la distancia más corta entre la vía y la intersección de las líneas tangentes desde los extremos del arco, que es igual al radio por la exsecante trigonométrica de la mitad del ángulo central subtendido por el arco, ^[12] En comparación, el seno versado de una sección de vía curva es la distancia más lejana desde la cuerda larga (el segmento de línea entre los puntos finales) a la vía ^[13] – cf. Sagitta – que es igual al radio por la versina trigonométrica de la mitad del ángulo central, Ambas son cantidades naturales para medir o calcular al inspeccionar arcos circulares, que posteriormente deben multiplicarse o dividirse por otras cantidades. Charles Haslett (1855) descubrió que buscar directamente el logaritmo de la exsecante y la versina ahorraba un esfuerzo significativo y producía resultados más precisos en comparación con el cálculo de la misma cantidad a partir de valores encontrados en tablas trigonométricas previamente disponibles. ^[3] La misma idea fue adoptada por otros autores, como Searles (1880). ^[14] En 1913, el enfoque de Haslett fue adoptado tan ampliamente en la industria ferroviaria estadounidense que, en ese contexto, "las tablas de secantes externas y senos versados [eran] más comunes que las tablas de secantes". ^[15] $R\operatorname {exsec} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$ $R\operatorname {vers} {\tfrac {1}{2}}\Delta .$

A finales del siglo XIX y a finales del siglo XX, los ferrocarriles comenzaron a utilizar arcos de espiral de Euler como curva de transición de vías entre secciones rectas o circulares de diferente curvatura. Estas curvas espirales se pueden calcular de forma aproximada utilizando exsecantes y versinas. ^[15]^[16]

Se requiere resolver los mismos tipos de problemas al inspeccionar secciones circulares de canales ^[17] y caminos, y la saliente todavía se usaba en libros de mediados del siglo XX sobre inspección de caminos. ^[18]

El exsecante se ha utilizado a veces para otras aplicaciones, como la teoría de haces ^[19] y el sondeo de profundidad con un cable. ^[20]

En los últimos años, la disponibilidad de calculadoras y computadoras ha eliminado la necesidad de tablas trigonométricas de funciones especializadas como esta. ^[21] Exsecant generalmente no está integrado directamente en calculadoras o entornos informáticos (aunque a veces se ha incluido en bibliotecas de software ), ^[22] y los cálculos en general son mucho más baratos que en el pasado y ya no requieren trabajo manual tedioso.

Cancelación catastrófica para ángulos pequeños

Evaluar ingenuamente las expresiones (versina) y (exsecante) es problemático para ángulos pequeños donde calcular la diferencia entre dos cantidades aproximadamente iguales da como resultado una cancelación catastrófica : debido a que la mayoría de los dígitos de cada cantidad son iguales, se cancelan en la resta, lo que produce un resultado de menor precisión. $1-\cos \theta$ $\sec \theta -1$ $\sec \theta \approx \cos \theta \approx 1.$

Por ejemplo, la secante de $1°$ es $sec 1°$ ≈ $1.000 152$ , con los primeros dígitos desperdiciados en ceros, mientras que el logaritmo común de la secante de $1°$ es $log exsec 1°$ ≈ $-3.817 220$ ,^[23] cuyos dígitos son todos significativos. Si el logaritmo de la secante se calcula buscando la secante en una tabla trigonométrica de seis cifras y luego restando $1$ , la diferencia $sec 1° - 1$ ≈ $0.000 152$ tiene solo 3 dígitos significativos , y después de calcular el logaritmo solo tres dígitos son correctos, $log(sec 1° - 1) \approx$ $-3.81$ $8$ $156$ .^[24] Para ángulos incluso más pequeños, la pérdida de precisión es peor.

Si no se dispone de una tabla o una implementación informática de la función exsecante, la exsecante se puede calcular con precisión como o utilizando versine, que a su vez se puede calcular como ; Haslett utilizó estas identidades para calcular sus tablas de exsecante y versine de 1855. ^[25]^[26] ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\tan \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta {\vphantom {\Big |}},}$ ${\textstyle \operatorname {exsec} \theta =\operatorname {vers} \theta \,\sec \theta ,}$ ${\textstyle \operatorname {vers} \theta =2{\bigl (}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}{\vphantom {\Big |}}={}}$ $\sin \theta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,{\vphantom {\Big |}}$

Para un ángulo suficientemente pequeño, un arco circular tiene aproximadamente la forma de una parábola , y la versena y la secante son aproximadamente iguales entre sí y ambas proporcionales al cuadrado de la longitud del arco. ^[27]

Identidades matemáticas

Función inversa

La inversa de la función exsecante, que podría simbolizarse $arcexsec$ , ^[6] está bien definida si su argumento o y puede expresarse en términos de otras funciones trigonométricas inversas (usando radianes para el ángulo): $y\geq 0$ $y\leq -2$

$\operatorname {arcexsec} y=\operatorname {arcsec}(y+1)={\begin{cases}{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{si}}\ \ y\geq 0,\\[6mu]{\text{indefinido}}&{\text{si}}\ \ {-2}<y<0,\\[4mu]\pi -{\arctan }{\bigl (}\!{\textstyle {\sqrt {y^{2}+2y}}}\,{\bigr )}&{\text{si}}\ \ y\leq {-2};\\\end{cases}}_{\vphantom {.}}$

La expresión arcotangente se comporta bien para ángulos pequeños. ^[28]

Cálculo

Si bien los usos históricos de la exsecante no involucraron explícitamente el cálculo , su derivada y antiderivada (para $x$ en radianes) son: ^[29]

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {exsec} x&=\tan x\,\sec x,\\[10mu]\int \operatorname {exsec} x\,\mathrm {d} x&=\ln {\bigl |}\sec x+\tan x{\bigr |}-x+C,{\vphantom {\int _{|}}}\end{aligned}}$

donde $ln$ es el logaritmo natural . Véase también Integral de la función secante .

Identidad de doble ángulo

La secante de dos veces un ángulo es: ^[6]

$\operatorname {exsec} 2\theta ={\frac {2\sin ^{2}\theta }{1-2\sin ^{2}\theta }}.$

Véase también

Cuerda (geometría) : Un segmento de línea con puntos finales en la circunferencia de un círculo, utilizado históricamente con fines trigonométricos.
Exponencial menos 1 : la función también se utiliza para mejorar la precisión para entradas pequeñas $x\mapsto e^{x}-1,$

Notas y referencias

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Como explica el editor del libro, Charles W. Hackley, en el prefacio: "El uso de las funciones trigonométricas más comunes, a saber, senos, cosenos, tangentes y cotangentes, que proporcionan las tablas ordinarias, no se adapta bien a los problemas peculiares que se presentan en la construcción de curvas de ferrocarril. [...] Aún así, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externas y senos versos , que han sido utilizadas con gran éxito recientemente por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi , y que, con las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los ingenieros de esa ruta, ahora se dan a conocer al público por primera vez". (pp. vi-vii)
Charles Haslett continúa en su prefacio al Engineer's Field Book : "La experiencia ha demostrado que los senos versados y las secantes externas entran con tanta frecuencia en los cálculos de curvas como los senos y las tangentes; y mediante su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en esta obra, se cree que muchas de las reglas de uso general se simplifican mucho, y muchos cálculos relacionados con curvas y líneas continuas se hacen menos intrincados, y los resultados se obtienen con más precisión y mucho menos problemas, que con cualquier método establecido en obras de este tipo. [...] Además de las tablas que generalmente se encuentran en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran trabajo, una Tabla de senos versados naturales y logarítmicos y secantes externas, calculados en grados, para cada minuto; también, una Tabla de radios y sus logaritmos, de 1° a 60° ". (págs. 373-374)
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