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En geometría , un triángulo de Schwarz , llamado así por Hermann Schwarz , es un triángulo esférico que puede utilizarse para teselar una esfera ( teselado esférico ), posiblemente superponiéndolo, mediante reflexiones en sus aristas. Fueron clasificados por Schwarz (1873).
Estos pueden definirse de manera más general como teselaciones de la esfera, del plano euclidiano o del plano hiperbólico . Cada triángulo de Schwarz en una esfera define un grupo finito , mientras que en el plano euclidiano o hiperbólico definen un grupo infinito.
Un triángulo de Schwarz se representa mediante tres números racionales ( p q r ) , cada uno representando el ángulo en un vértice. El valor n ⁄ d significa que el ángulo del vértice es d ⁄ n del semicírculo. "2" significa un triángulo rectángulo . Cuando estos son números enteros, el triángulo se llama triángulo de Möbius, y corresponde a una teselación no superpuesta, y el grupo de simetría se llama grupo de triángulos . En la esfera hay tres triángulos de Möbius más una familia de un parámetro; en el plano hay tres triángulos de Möbius, mientras que en el espacio hiperbólico hay una familia de tres parámetros de triángulos de Möbius, y no hay objetos excepcionales .
Un triángulo de dominio fundamental ( pqr ) , con ángulos de vértice π ⁄ p , π ⁄ q y π ⁄ r , puede existir en diferentes espacios dependiendo del valor de la suma de los recíprocos de estos números enteros:
Esto es simplemente una forma de decir que en el espacio euclidiano los ángulos interiores de un triángulo suman π , mientras que en una esfera suman un ángulo mayor que π , y en el espacio hiperbólico suman menos.
Un triángulo de Schwarz se representa gráficamente mediante un grafo triangular . Cada nodo representa una arista (espejo) del triángulo de Schwarz. Cada arista está etiquetada con un valor racional correspondiente al orden de reflexión, siendo π/ ángulo del vértice .
Las aristas de orden 2 representan espejos perpendiculares que pueden ignorarse en este diagrama. El diagrama de Coxeter-Dynkin representa este gráfico triangular con aristas de orden 2 ocultas.
Un grupo de Coxeter se puede utilizar para una notación más simple, como ( p q r ) para gráficos cíclicos, y ( p q 2) = [ p , q ] para (triángulos rectángulos), y ( p 2 2) = [ p ]×[].
Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius , incluyen una familia de 1 parámetro y tres casos excepcionales :
Los triángulos de Schwarz ( p q r ), agrupados por densidad :
Densidad 1:
Densidad 2:
Densidad ∞:
Densidad 1:
Densidad 2:
Densidad 3:
Densidad 4:
Densidad 6:
Densidad 10:
El triángulo de Schwarz (2 3 7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, como tal, es de particular interés. Su grupo de triángulos (o más precisamente, el grupo de von Dyck de índice 2 de isometrías que preservan la orientación) es el grupo de triángulos (2,3,7) , que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz : grupos maximalistas de isometrías de superficies de Riemann . Todos los grupos de Hurwitz son cocientes del grupo de triángulos (2,3,7) , y todas las superficies de Hurwitz están teseladas por el triángulo de Schwarz (2,3,7) . El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo simple de orden 168 , el segundo grupo simple no abeliano más pequeño , que es isomorfo a PSL(2,7) , y la superficie de Hurwitz asociada (de género 3) es la cuártica de Klein .
El triángulo (2 3 8) recubre la superficie de Bolza , una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) de género 2.
Los triángulos con un ángulo no entero, enumerados anteriormente, fueron clasificados por primera vez por Anthony W. Knapp en. [1] Se proporciona una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros en. [2]
En esta sección se discutirán teselaciones del semiplano superior hiperbólico mediante triángulos de Schwarz utilizando métodos elementales. Para triángulos sin "cúspides" (ángulos iguales a cero o, equivalentemente, vértices en el eje real), se seguirá el enfoque elemental de Carathéodory (1954). Para triángulos con una o dos cúspides, se utilizarán los argumentos elementales de Evans (1973), que simplifican el enfoque de Hecke (1935): en el caso de un triángulo de Schwarz con un ángulo cero y otro recto, el subgrupo que preserva la orientación del grupo de reflexión del triángulo es un grupo de Hecke . Para un triángulo ideal en el que todos los ángulos son cero, de modo que todos los vértices se encuentran en el eje real, se establecerá la existencia de la teselación relacionándola con la serie de Farey descrita en Hardy & Wright (2008) y Series (2015). En este caso, la teselación puede considerarse como la asociada a tres círculos en contacto sobre la esfera de Riemann , un caso límite de configuraciones asociadas a tres círculos disjuntos no anidados y sus grupos de reflexión, los llamados " grupos de Schottky ", descritos en detalle en Mumford, Series & Wright (2015). Alternativamente, al dividir el triángulo ideal en seis triángulos con ángulos 0, π /2 y π /3, la teselación por triángulos ideales puede entenderse en términos de teselaciones por triángulos con una o dos cúspides.
Supóngase que el triángulo hiperbólico Δ tiene ángulos π / a , π / b y π / c con a , b , c enteros mayores que 1. El área hiperbólica de Δ es igual a π – π / a – π / b – π / c , de modo que
La construcción de una teselación se realizará primero para el caso en que a , b y c sean mayores que 2. [3]
El triángulo original Δ da un polígono convexo P 1 con 3 vértices. En cada uno de los tres vértices el triángulo puede reflejarse sucesivamente a través de aristas que emanan de los vértices para producir 2 m copias del triángulo donde el ángulo en el vértice es π / m . Los triángulos no se superponen excepto en las aristas, la mitad de ellos tienen su orientación invertida y encajan entre sí para teselar un vecindario del punto. La unión de estos nuevos triángulos junto con el triángulo original forman una forma conexa P 2 . Está formada por triángulos que solo se intersecan en aristas o vértices, forma un polígono convexo con todos los ángulos menores o iguales a π y cada lado es la arista de un triángulo reflejado. En el caso en que un ángulo de Δ sea igual a π /3, un vértice de P 2 tendrá un ángulo interior de π , pero esto no afecta la convexidad de P 2 . Incluso en este caso degenerado, cuando surge un ángulo de π , los dos bordes colineales todavía se consideran distintos para los fines de la construcción.
La construcción de P 2 se puede entender más claramente al notar que algunos triángulos o teselas se agregan dos veces, los tres que tienen un lado en común con el triángulo original. El resto solo tienen un vértice en común. Una forma más sistemática de realizar el teselado es primero agregar una tesela a cada lado (el reflejo del triángulo en esa arista) y luego rellenar los espacios en cada vértice. Esto da como resultado un total de 3 + (2 a – 3) + (2 b - 3) + (2 c - 3) = 2( a + b + c ) - 6 nuevos triángulos. Los nuevos vértices son de dos tipos. Aquellos que son vértices de los triángulos unidos a lados del triángulo original, que están conectados a 2 vértices de Δ. Cada uno de estos se encuentra en tres nuevos triángulos que se intersecan en ese vértice. El resto están conectados a un único vértice de Δ y pertenecen a dos nuevos triángulos que tienen una arista común. Por lo tanto, hay 3 + (2 a – 4) + (2 b - 4) + (2 c - 4) = 2( a + b + c ) - 9 nuevos vértices. Por construcción, no hay superposición. Para ver que P 2 es convexo, basta ver que el ángulo entre los lados que se encuentran en un nuevo vértice forma un ángulo menor o igual a π . Pero los nuevos vértices se encuentran en dos o tres nuevos triángulos, que se encuentran en ese vértice, por lo que el ángulo en ese vértice no es mayor que 2 π /3 o π , como se requiere.
Este proceso puede repetirse para P 2 para obtener P 3 añadiendo primero fichas a cada arista de P 2 y luego rellenando las fichas alrededor de cada vértice de P 2 . Luego el proceso puede repetirse desde P 3 , para obtener P 4 y así sucesivamente, produciendo sucesivamente P n a partir de P n – 1 . Puede comprobarse inductivamente que todos estos son polígonos convexos, con fichas que no se superponen. De hecho, como en el primer paso del proceso hay dos tipos de fichas en la construcción de P n a partir de P n – 1 , las unidas a una arista de P n – 1 y las unidas a un único vértice. De manera similar, hay dos tipos de vértice, uno en el que se encuentran dos fichas nuevas y uno en el que se encuentran tres fichas. Así que, siempre que ninguna ficha se superponga, el argumento anterior muestra que los ángulos en los vértices no son mayores que π y, por lo tanto, que P n es un polígono convexo. [a]
Por lo tanto, debe verificarse que al construir P n a partir de P n − 1 : [4]
(a) los nuevos triángulos no se superponen con P n − 1 excepto como ya se describió;
(b) los nuevos triángulos no se superponen entre sí, excepto como ya se ha descrito;
(c) la geodésica desde cualquier punto en Δ hasta un vértice del polígono P n – 1 forma un ángulo ≤ 2 π /3 con cada uno de los bordes del polígono en ese vértice.
Para demostrar (a), nótese que por convexidad, el polígono P n − 1 es la intersección de los semiespacios convexos definidos por los arcos circulares completos que definen su límite. Por lo tanto, en un vértice dado de P n − 1 hay dos arcos circulares de este tipo que definen dos sectores: un sector contiene el interior de P n − 1 , el otro contiene los interiores de los nuevos triángulos añadidos alrededor del vértice dado. Esto se puede visualizar utilizando una transformación de Möbius para mapear el semiplano superior al disco unitario y el vértice al origen; el interior del polígono y cada uno de los nuevos triángulos se encuentran en diferentes sectores del disco unitario. Por lo tanto, (a) queda demostrado.
Antes de demostrar (c) y (b), se puede aplicar una transformación de Möbius para mapear el semiplano superior al disco unitario y un punto fijo en el interior de Δ al origen.
La prueba de (c) procede por inducción. Nótese que el radio que une el origen con un vértice del polígono P n − 1 forma un ángulo menor que 2 π /3 con cada una de las aristas del polígono en ese vértice si exactamente dos triángulos de P n − 1 se encuentran en el vértice, ya que cada uno tiene un ángulo menor o igual a π /3 en ese vértice. Para comprobar que esto es cierto cuando tres triángulos de P n − 1 se encuentran en el vértice, por ejemplo, supongamos que el triángulo del medio tiene su base en un lado AB de P n − 2 . Por inducción, los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2 π /3 con la arista AB . En este caso, la región en el sector entre los radios OA y OB fuera de la arista AB es convexa como la intersección de tres regiones convexas. Por inducción, los ángulos en A y B son mayores o iguales a π /3. Por lo tanto, las geodésicas a C desde A y B comienzan en la región; por convexidad, el triángulo ABC se encuentra completamente dentro de la región. El cuadrilátero OACB tiene todos sus ángulos menores que π (ya que OAB es un triángulo geodésico), por lo que es convexo. Por lo tanto, el radio OC se encuentra dentro del ángulo del triángulo ABC cerca de C. Por lo tanto, los ángulos entre OC y los dos bordes de P n – 1 que se encuentran en C son menores o iguales a π /3 + π /3 = 2 π /3, como se afirma.
Para demostrar (b), se debe comprobar cómo se intersecan los nuevos triángulos en P n .
Primero, consideremos las fichas agregadas a las aristas de P n – 1 . Adoptando una notación similar a (c), sea AB la base de la ficha y C el tercer vértice. Entonces, los radios OA y OB forman ángulos menores o iguales a 2 π /3 con la arista AB y el razonamiento en la prueba de (c) se aplica para demostrar que el triángulo ABC se encuentra dentro del sector definido por los radios OA y OB . Esto es cierto para cada arista de P n – 1 . Dado que los interiores de los sectores definidos por aristas distintas son disjuntos, los nuevos triángulos de este tipo solo se intersecan como se afirma.
A continuación, considere las fichas adicionales agregadas para cada vértice de P n – 1 . Tomando el vértice como A , tres son dos aristas AB 1 y AB 2 de P n – 1 que se encuentran en A . Sean C 1 y C 2 los vértices adicionales de las fichas agregadas a estas aristas. Ahora las fichas adicionales agregadas en A se encuentran en el sector definido por los radios OB 1 y OB 2 . El polígono con vértices C 2 O , C 1 y luego los vértices de las fichas adicionales tiene todos sus ángulos internos menores que π y, por lo tanto, es convexo. Por lo tanto, está completamente contenido en el sector definido por los radios OC 1 y OC 2 . Dado que los interiores de estos sectores son todos disjuntos, esto implica todas las afirmaciones sobre cómo se intersecan las fichas agregadas.
Finalmente, queda por demostrar que el teselado formado por la unión de los triángulos cubre la totalidad del semiplano superior. Cualquier punto z cubierto por el teselado se encuentra en un polígono P n y, por lo tanto, en un polígono P n +1 . Por lo tanto, se encuentra en una copia del triángulo original Δ así como en una copia de P 2 completamente contenida en P n +1 . La distancia hiperbólica entre Δ y el exterior de P 2 es igual a r > 0. Por lo tanto, la distancia hiperbólica entre z y los puntos no cubiertos por el teselado es al menos r . Como esto se aplica a todos los puntos del teselado, el conjunto cubierto por el teselado es cerrado. Por otra parte, el teselado es abierto ya que coincide con la unión de los interiores de los polígonos P n . Por conectividad, el teselado debe cubrir la totalidad del semiplano superior.
Para ver cómo manejar el caso cuando un ángulo de Δ es un ángulo recto, observe que la desigualdad
implica que si uno de los ángulos es un ángulo recto, digamos a = 2, entonces tanto b como c son mayores que 2 y uno de ellos, digamos b , debe ser mayor que 3. En este caso, al reflejar el triángulo a través del lado AB se obtiene un triángulo hiperbólico isósceles con ángulos π / c , π / c y 2 π / b . Si 2 π / b ≤ π /3, es decir, b es mayor que 5, entonces todos los ángulos del triángulo duplicado son menores o iguales a π /3. En ese caso, la construcción de la teselación anterior a través de polígonos convexos crecientes se adapta palabra por palabra a este caso excepto que alrededor del vértice con ángulo 2 π / b , solo se requieren b —y no 2 b —copias del triángulo para teselar un vecindario del vértice. Esto es posible porque el triángulo duplicado es isósceles. La teselación del triángulo duplicado produce el mismo resultado que el del triángulo original al cortar todos los triángulos más grandes por la mitad. [5]
Queda por tratar el caso cuando b es igual a 4 o 5. Si b = 4, entonces c ≥ 5: en este caso si c ≥ 6, entonces b y c pueden intercambiarse y se aplica el argumento anterior, dejando el caso b = 4 y c = 5. Si b = 5, entonces c ≥ 4. El caso c ≥ 6 puede manejarse intercambiando b y c , de modo que el único caso extra sea b = 5 y c = 5. Este último triángulo isósceles es la versión duplicada del primer triángulo excepcional, de modo que solo ese triángulo Δ 1 —con ángulos π /2, π /4 y π /5 y área hiperbólica π /20— necesita ser considerado (ver más abajo). Carathéodory (1954) maneja este caso mediante un método general que funciona para todos los triángulos rectángulos para los cuales los otros dos ángulos son menores o iguales a π /4. El método anterior para construir P 2 , P 3 , ... se modifica añadiendo un triángulo extra cada vez que surge un ángulo 3 π /2 en un vértice. El mismo razonamiento se aplica para demostrar que no hay superposición y que la teselación cubre el semiplano superior hiperbólico. [5]
Por otra parte, la configuración dada da lugar a un grupo de triángulos aritméticos. Estos fueron estudiados por primera vez en Fricke & Klein (1897) y han dado lugar a una extensa literatura. En 1977 Takeuchi obtuvo una clasificación completa de los grupos de triángulos aritméticos (sólo hay un número finito) y determinó cuándo dos de ellos son conmensurables. El ejemplo particular está relacionado con la curva de Bring y la teoría aritmética implica que el grupo de triángulos para Δ 1 contiene al grupo de triángulos para el triángulo Δ 2 con ángulos π /4, π /4 y π /5 como un subgrupo no normal de índice 6. [6]
Duplicando los triángulos Δ 1 y Δ 2 , esto implica que debería haber una relación entre 6 triángulos Δ 3 con ángulos π /2, π /5 y π /5 y área hiperbólica π /10 y un triángulo Δ 4 con ángulos π /5, π /5 y π /10 y área hiperbólica 3 π /5. Threlfall (1932) estableció tal relación directamente por medios geométricos completamente elementales, sin referencia a la teoría aritmética: de hecho, como se ilustra en la quinta figura a continuación, el cuadrilátero obtenido al reflejar a través de un lado de un triángulo de tipo Δ 4 puede ser teselado por 12 triángulos de tipo Δ 3 . La teselación por triángulos del tipo Δ 4 puede ser manejada por el método principal en esta sección; esto, por lo tanto, prueba la existencia de la teselación por triángulos de tipo Δ 3 y Δ 1 . [7]
En el caso de un triángulo de Schwarz con una o dos cúspides, el proceso de teselación se hace más simple; pero es más fácil usar un método diferente que se remonta a Hecke para demostrar que éstas agotan el semiplano superior hiperbólico.
En el caso de una cúspide y ángulos distintos de cero π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno, el teselado puede preverse en el disco unidad con el vértice que tiene ángulo π / a en el origen. El teselado comienza añadiendo 2 a – 1 copias del triángulo en el origen mediante reflexiones sucesivas. Esto da como resultado un polígono P 1 con 2 a cúspides y entre cada dos 2 a vértices cada uno con un ángulo π / b . El polígono es, por tanto, convexo. Para cada vértice no ideal de P 1 , el único triángulo con ese vértice puede reflejarse de forma similar alrededor de ese vértice, añadiendo así 2 b – 1 nuevos triángulos, 2 b – 1 nuevos puntos ideales y 2 b – 1 nuevos vértices con ángulo π / a . El polígono resultante P 2 está formado por 2 a (2 b – 1) cúspides y el mismo número de vértices cada uno con un ángulo de π / a , por lo que es convexo. El proceso puede continuar de esta manera para obtener polígonos convexos P 3 , P 4 , y así sucesivamente. El polígono P n tendrá vértices con ángulos que se alternan entre 0 y π / a para n par y entre 0 y π / b para n impar. Por construcción, los triángulos solo se superponen en los bordes o vértices, por lo que forman un mosaico. [8]
El caso en el que el triángulo tiene dos cúspides y un ángulo distinto de cero π / a se puede reducir al caso de una cúspide observando que el trinal es el doble de un triángulo con una cúspide y ángulos distintos de cero π / a y π / b con b = 2. El teselado continúa entonces como antes. [9]
Para demostrar que estos dan teselaciones, es más conveniente trabajar en el semiplano superior. Ambos casos pueden tratarse simultáneamente, ya que el caso de dos cúspides se obtiene duplicando un triángulo con una cúspide y ángulos distintos de cero π / a y π /2. Así que considérese el triángulo geodésico en el semiplano superior con ángulos 0, π / a , π / b con a , b enteros mayores que uno. El interior de un triángulo de este tipo puede realizarse como la región X en el semiplano superior que se encuentra fuera del disco unitario | z | ≤ 1 y entre dos líneas paralelas al eje imaginario a través de los puntos u y v en el círculo unitario. Sea Γ el grupo de triángulos generado por las tres reflexiones en los lados del triángulo.
Para demostrar que las reflexiones sucesivas del triángulo cubren el semiplano superior, basta con mostrar que para cualquier z en el semiplano superior hay una g en Γ tal que g ( z ) se encuentra en X . Esto se deduce de un argumento de Evans (1973), simplificado a partir de la teoría de los grupos de Hecke . Sea λ = Re a y μ = Re b de modo que, sin pérdida de generalidad, λ < 0 ≤ μ. Las tres reflexiones en los lados están dadas por
Así, T = R 3 ∘ R 2 es traslación por μ − λ. Se sigue que para cualquier z 1 en el semiplano superior, hay un elemento g 1 en el subgrupo Γ 1 de Γ generado por T tal que w 1 = g 1 ( z 1 ) satisface λ ≤ Re w 1 ≤ μ, es decir, esta franja es un dominio fundamental para el grupo de traslación Γ 1 . Si | w 1 | ≥ 1, entonces w 1 se encuentra en X y el resultado está demostrado. De lo contrario, sea z 2 = R 1 ( w 1 ) y halle g 2 Γ 1 tal que w 2 = g 2 ( z 2 ) satisface λ ≤ Re w 2 ≤ μ. Si | w 2 | ≥ 1, entonces el resultado está demostrado. Continuando de esta manera, o bien algún w n satisface | w n | ≥ 1, en cuyo caso se demuestra el resultado; o | w n | < 1 para todo n . Ahora bien, como g n + 1 se encuentra en Γ 1 y | w n | < 1,
En particular
y
Así, de la desigualdad anterior, los puntos ( w n ) se encuentran en el conjunto compacto | z | ≤ 1, λ ≤ Re z ≤ μ e Im z ≥ Im w 1 . De ello se deduce que | w n | tiende a 1; porque si no, entonces habría un r < 1 tal que | w m | ≤ r para un número infinito de m y entonces la última ecuación anterior implicaría que Im w n tiende a infinito, una contradicción.
Sea w un punto límite de w n , de modo que | w | = 1. Por lo tanto, w se encuentra en el arco del círculo unitario entre u y v . Si w ≠ u , v , entonces R 1 w n estaría en X para n suficientemente grande, contrariamente a la suposición. Por lo tanto, w = u o v . Por lo tanto, para n suficientemente grande , w n se encuentra cerca de u o v y, por lo tanto, debe estar en una de las reflexiones del triángulo sobre el vértice u o v , ya que estos completan los vecindarios de u y v . Por lo tanto, hay un elemento g en Γ tal que g ( w n ) se encuentra en X . Dado que por construcción w n está en la Γ-órbita de z 1 , se deduce que hay un punto en esta órbita que se encuentra en X , como se requiere. [10]
La teselación de un triángulo ideal con todos sus vértices en la circunferencia unitaria y todos sus ángulos 0 puede considerarse como un caso especial de la teselación de un triángulo con una cúspide y dos ángulos ahora nulos π /3 y π /2. En efecto, el triángulo ideal está formado por seis copias del triángulo de una cúspide obtenido al reflejar el triángulo más pequeño alrededor del vértice con ángulo π /3.
Cada paso del teselado, sin embargo, está determinado de forma única por las posiciones de las nuevas cúspides en el círculo, o equivalentemente el eje real; y estos puntos pueden entenderse directamente en términos de la serie de Farey siguiendo Series (2015), Hatcher (2013, pp. 20-32) y Hardy & Wright (2008, pp. 23-31). Esto comienza desde el paso básico que genera la teselación, la reflexión de un triángulo ideal en uno de sus lados. La reflexión corresponde al proceso de inversión en geometría proyectiva y toma el conjugado armónico proyectivo , que puede definirse en términos de la razón cruzada . De hecho, si p , q , r , s son puntos distintos en la esfera de Riemann, entonces hay una única transformación compleja de Möbius g que envía p , q y s a 0, ∞ y 1 respectivamente. La relación cruzada ( p , q ; r , s ) se define como g ( r ) y se da mediante la fórmula
Por definición, es invariante bajo las transformaciones de Möbius. Si a , b se encuentran en el eje real, el conjugado armónico de c con respecto a a y b se define como el único número real d tal que ( a , b ; c , d ) = −1. Por ejemplo, si a = 1 y b = –1, el conjugado de r es 1/ r . En general, la invariancia de Möbius se puede utilizar para obtener una fórmula explícita para d en términos de a , b y c . De hecho, trasladando el centro t = ( a + b )/2 del círculo con diámetro que tiene extremos a y b a 0, d – t es el conjugado armónico de c – t con respecto a a - t y b – t . El radio del círculo es ρ = ( b – a )/2, por lo que ( d - t )/ρ es el conjugado armónico de ( c – t )/ρ con respecto a 1 y -1. Por lo tanto
de modo que
Ahora se demostrará que existe una parametrización de tales triángulos ideales dada por racionales en forma reducida.
con a y c satisfaciendo la "condición de vecindad" p 2 q 1 − q 2 p 1 = 1.
El término medio b se llama suma de Farey o mediante de los términos externos y se escribe
La fórmula para el triángulo reflejado da
De manera similar, el triángulo reflejado en el segundo semicírculo da un nuevo vértice b ⊕ c . Se verifica inmediatamente que a y b satisfacen la condición de vecino, al igual que b y c .
Ahora bien, este procedimiento puede utilizarse para llevar la cuenta de los triángulos obtenidos al reflejar sucesivamente el triángulo básico Δ con vértices 0, 1 e ∞. Basta con considerar la franja con 0 ≤ Re z ≤ 1, ya que la misma imagen se reproduce en franjas paralelas aplicando reflexiones en las líneas Re z = 0 y 1. El triángulo ideal con vértices 0, 1, ∞ se refleja en el semicírculo con base [0,1] en el triángulo con vértices a = 0, b = 1/2, c = 1. Por tanto, a = 0/1 y c = 1/1 son vecinos y b = a ⊕ c . El semicírculo se divide en dos semicírculos más pequeños con bases [ a , b ] y [ b , c ]. Cada uno de estos intervalos se divide en dos intervalos mediante el mismo proceso, lo que da como resultado 4 intervalos. Continuando de esta manera, se obtienen subdivisiones en 8, 16, 32 intervalos, y así sucesivamente. En la etapa n , hay 2 n intervalos adyacentes con 2 n + 1 puntos finales. La construcción anterior muestra que los puntos finales sucesivos satisfacen la condición de vecindad, de modo que los nuevos puntos finales resultantes de la reflexión se dan mediante la fórmula de suma de Farey.
Para demostrar que el teselado cubre todo el plano hiperbólico, basta con mostrar que cada racional en [0,1] ocurre eventualmente como un punto final. Hay varias maneras de ver esto. Uno de los métodos más elementales es descrito por Graham, Knuth y Patashnik (1994) en su desarrollo —sin el uso de fracciones continuas— de la teoría del árbol de Stern-Brocot , que codifica los nuevos puntos finales racionales que aparecen en el n ésimo estadio. Ellos dan una prueba directa de que cada racional aparece. De hecho, comenzando con {0/1,1/1}, los puntos finales sucesivos son introducidos en el nivel n + 1 añadiendo sumas de Farey o mediantes ( p + r )/( q + s ) entre todos los términos consecutivos p / q , r / s en el n ésimo nivel (como se describió arriba). Sea x = a / b un racional que se encuentra entre 0 y 1 con a y b coprimos. Supóngase que en algún nivel x está intercalado entre términos sucesivos p / q < x < r / s . Estas desigualdades fuerzan a aq – bp ≥ 1 y br – as ≥ 1 y, por lo tanto, dado que rp – qs = 1 ,
Esto pone un límite superior a la suma de numeradores y denominadores. Por otra parte, se puede introducir el mediante ( p + r )/( q + s ) y o bien es igual a x , en cuyo caso el racional x aparece en este nivel; o el mediante proporciona un nuevo intervalo que contiene a x con una suma de numerador y denominador estrictamente mayor. Por lo tanto, el proceso debe terminar después de a + b pasos como máximo, lo que demuestra que aparece x . [11]
Un segundo enfoque se basa en el grupo modular G = SL(2, Z ). [12] El algoritmo euclidiano implica que este grupo es generado por las matrices
De hecho, sea H el subgrupo de G generado por S y T. Sea
sea un elemento de SL(2, Z ). Por lo tanto, ad − cb = 1, por lo que a y c son coprimos. Sea
Aplicando S si es necesario, se puede suponer que | a | > | c | (la igualdad no es posible por coprimos). Escribimos a = mc + r con 0 ≤ r ≤ | c |. Pero entonces
Este proceso puede continuar hasta que una de las entradas sea 0, en cuyo caso la otra es necesariamente ±1. Aplicando una potencia de S si es necesario, se deduce que v = h u para algún h en H . Por lo tanto
con p , q enteros. Claramente p = 1, por lo que h −1 g = T q . Por lo tanto g = h T q se encuentra en H como se requiere.
Para demostrar que todos los racionales en [0,1] ocurren, basta con mostrar que G lleva Δ a los triángulos en la teselación. Esto se deduce observando primero que S y T llevan Δ a dicho triángulo: de hecho, como transformaciones de Möbius, S ( z ) = –1/ z y T ( z ) = z + 1, por lo que estas dan reflexiones de Δ en dos de sus lados. Pero entonces S y T conjugan las reflexiones en los lados de Δ en reflexiones en los lados de S Δ y T Δ, que se encuentran en Γ. Por lo tanto, G normaliza Γ. Dado que los triángulos en la teselación son exactamente aquellos de la forma g Δ con g en Γ, se deduce que S y T , y por lo tanto todos los elementos de G , permutan triángulos en la teselación. Dado que cada racional tiene la forma g (0) para g en G , cada racional en [0,1] es el vértice de un triángulo en la teselación.
El grupo de reflexión y teselación de un triángulo ideal también puede considerarse como un caso límite del grupo de Schottky para tres círculos disjuntos no anidados en la esfera de Riemann. Nuevamente, este grupo se genera por reflexiones hiperbólicas en los tres círculos. En ambos casos, los tres círculos tienen un círculo común que los corta ortogonalmente. Utilizando una transformación de Möbius, se puede suponer que es el círculo unitario o, equivalentemente, el eje real en el semiplano superior. [13]
En esta subsección se describe el enfoque de Carl Ludwig Siegel para el teorema de teselación de triángulos. El enfoque menos elemental de Siegel no utiliza la convexidad, sino que se basa en la teoría de superficies de Riemann , espacios de recubrimiento y una versión del teorema de monodromía para recubrimientos. Se ha generalizado para proporcionar pruebas del teorema de polígonos de Poincaré más general. (Obsérvese que el caso especial de teselación por n -gonos regulares con ángulos interiores 2 π / n es una consecuencia inmediata de la teselación por triángulos de Schwarz con ángulos π / n , π / n y π /2.) [14] [15]
Sea Γ el producto libre Z 2 ∗ Z 2 ∗ Z 2 . Si Δ = ABC es un triángulo de Schwarz con ángulos π / a , π / b y π / c , donde a , b , c ≥ 2, entonces hay una función natural de Γ sobre el grupo generado por reflexiones en los lados de Δ. Los elementos de Γ se describen mediante un producto de los tres generadores donde no hay dos generadores adyacentes iguales. En los vértices A , B y C el producto de las reflexiones en los lados que se encuentran en el vértice define rotaciones por ángulos 2 π / a , 2 π / b y 2 π / c ; Sean g A , g B y g C los productos correspondientes de los generadores de Γ = Z 2 ∗ Z 2 ∗ Z 2 . Sea Γ 0 el subgrupo normal de índice 2 de Γ, formado por elementos que son producto de un número par de generadores; y sea Γ 1 el subgrupo normal de Γ generado por ( g A ) a , ( g B ) b y ( g C ) c . Estos actúan trivialmente sobre Δ. Sea Γ = Γ/Γ 1 y Γ 0 = Γ 0 /Γ 1 .
La unión disjunta de copias de Δ indexadas por elementos de Γ con identificaciones de aristas tiene la estructura natural de una superficie de Riemann Σ. En un punto interior de un triángulo hay un gráfico obvio. Como punto del interior de una arista, el gráfico se obtiene reflejando el triángulo a través de la arista. En un vértice de un triángulo con ángulo interior π / n , el gráfico se obtiene a partir de las 2 n copias del triángulo obtenidas al reflejarlo sucesivamente alrededor de ese vértice. El grupo Γ actúa por transformaciones de baraja de Σ, con elementos en Γ 0 actuando como aplicaciones holomorfas y elementos que no están en Γ 0 actuando como aplicaciones antiholomorfas.
Existe una función natural P de Σ en el plano hiperbólico. El interior del triángulo con etiqueta g en Γ se toma sobre g (Δ), las aristas se toman como aristas y los vértices como vértices. También es fácil verificar que una vecindad de un punto interior de una arista se toma como una vecindad de la imagen; y de manera similar para los vértices. Por lo tanto, P es localmente un homeomorfismo y, por lo tanto, toma conjuntos abiertos como conjuntos abiertos. La imagen P (Σ), es decir, la unión de las traslaciones g ( Δ ), es, por lo tanto, un subconjunto abierto del semiplano superior. Por otra parte, este conjunto también es cerrado. De hecho, si un punto está suficientemente cerca de Δ debe estar en una traslación de Δ . De hecho, una vecindad de cada vértice se completa con las reflexiones de Δ y si un punto se encuentra fuera de estas tres vecindades pero aún está cerca de Δ debe estar sobre las tres reflexiones de Δ en sus lados. Por lo tanto, existe δ > 0 tal que si z se encuentra dentro de una distancia menor que δ desde Δ , entonces z se encuentra en una Γ -traslación de Δ . Dado que la distancia hiperbólica es Γ -invariante, se deduce que si z se encuentra dentro de una distancia menor que δ desde Γ( Δ ) en realidad se encuentra en Γ( Δ ), por lo que esta unión es cerrada. Por conectividad se deduce que P (Σ) es todo el semiplano superior.
Por otra parte, P es un homeomorfismo local, por lo tanto, una función cubriente. Dado que el semiplano superior está simplemente conexo, se deduce que P es uno-uno y, por lo tanto, las traslaciones de Δ teselan el semiplano superior. Esto es una consecuencia de la siguiente versión del teorema de monodromía para las funciones cubrientes de superficies de Riemann: si Q es una función cubriente entre las superficies de Riemann Σ 1 y Σ 2 , entonces cualquier camino en Σ 2 puede elevarse a un camino en Σ 1 y cualesquiera dos caminos homotópicos con los mismos puntos finales se elevan a caminos homotópicos con los mismos puntos finales; un corolario inmediato es que si Σ 2 está simplemente conexo, Q debe ser un homeomorfismo. [16] Para aplicar esto, sea Σ 1 = Σ, sea Σ 2 el semiplano superior y sea Q = P . Por el corolario del teorema de monodromía, P debe ser uno-uno.
También se deduce que g (Δ) = Δ si y sólo si g se encuentra en Γ 1 , de modo que el homomorfismo de Γ 0 en el grupo de Möbius es fiel.
La teselación de los triángulos de Schwarz puede verse como una generalización de la teoría de los grupos de Coxeter infinitos , siguiendo la teoría de los grupos de reflexión hiperbólica desarrollados algebraicamente por Jacques Tits [17] y geométricamente por Ernest Vinberg . [18] En el caso del plano hiperbólico o de Lobachevsky , las ideas se originan en el trabajo del siglo XIX de Henri Poincaré y Walther von Dyck . Sin embargo, como Joseph Lehner ha señalado en Mathematical Reviews , las pruebas rigurosas de que las reflexiones de un triángulo de Schwarz generan una teselación a menudo han sido incompletas, siendo su propio libro de 1964 "Discontinuous Groups and Automorphic Functions" , un ejemplo. [19] [20] El tratamiento elemental de Carathéodory en su libro de texto de 1950 Funktiontheorie , traducido al inglés en 1954, y la explicación de Siegel de 1954 utilizando el principio de monodromía son pruebas rigurosas. Se resumirá aquí el enfoque que utiliza grupos de Coxeter, dentro del marco general de clasificación de grupos de reflexión hiperbólica. [21]
Sean r, s, t símbolos y sean a , b , c ≥ 2 números enteros, posiblemente ∞ , con
Defina Γ como el grupo con presentación que tiene generadores r, s, t que son todos involuciones y satisfacen Si uno de los enteros es infinito, entonces el producto tiene orden infinito. Los generadores r, s, t se denominan reflexiones simples .
Conjunto [22] Sea e r , e s , e t una base para un espacio vectorial real tridimensional V con forma bilineal simétrica Λ tal que con las tres entradas diagonales iguales a uno. La forma bilineal simétrica Λ es no degenerada con signatura (2, 1) . Definir:
Teorema (representación geométrica). Los operadores ρ, σ, τ son involuciones en V , con respectivos vectores propios e r , e s , e t con valor propio simple −1. Los productos de los operadores tienen órdenes correspondientes a la presentación anterior (por lo que στ tiene orden a , etc.). Los operadores ρ, σ, τ inducen una representación de Γ en V que preserva Λ .
La forma bilineal Λ para la base tiene matriz
entonces tiene determinante Si c = 2 , digamos, entonces los valores propios de la matriz son La condición obliga inmediatamente a que Λ debe tener signatura (2, 1) . Entonces en general a , b , c ≥ 3 . Claramente el caso donde todos son iguales a 3 es imposible. Pero entonces el determinante de la matriz es negativo mientras que su traza es positiva. Como resultado dos valores propios son positivos y uno negativo, es decir Λ tiene signatura (2, 1) . Manifiestamente ρ, σ, τ son involuciones, preservando Λ con los vectores propios −1 dados.
Para comprobar el orden de los productos como στ , basta observar que:
(1) es claro ya que si γ = στ genera un subgrupo normal con σγσ −1 = γ −1 . Para (2), U es invariante por definición y la matriz es definida positiva ya que Como Λ tiene signatura (2, 1) , un vector w distinto de cero en W debe satisfacer Λ( w , w ) < 0 . Por definición, σ tiene valores propios 1 y –1 en U , por lo que w debe estar fijado por σ . De manera similar , w debe estar fijado por τ , de modo que (3) queda demostrado. Finalmente en (1)
de modo que, si a es finito, los valores propios de στ son -1, ς y ς −1 , donde y si a es infinito, los valores propios son -1, X y X −1 , donde Además, un argumento de inducción directo muestra que si entonces [23]
y si x > 0 entonces
Sea Γ a el subgrupo diedro de Γ generado por s y t , con definiciones análogas para Γ b y Γ c . De manera similar, definamos Γ r como el subgrupo cíclico de Γ dado por el 2-grupo {1, r }, con definiciones análogas para Γ s y Γ t . A partir de las propiedades de la representación geométrica, todos estos seis grupos actúan fielmente sobre V . En particular , Γ a puede identificarse con el grupo generado por σ y τ ; como arriba, se descompone explícitamente como una suma directa del subespacio irreducible bidimensional U y el subespacio unidimensional W con una acción trivial. Por lo tanto, hay un único vector en W que satisface σ ( w ) = w y τ ( w ) = w . Explícitamente,
Observación sobre las representaciones de grupos diedros. Es bien sabido que, para espacios de producto interno real de dimensión finita, dos involuciones ortogonales S y T pueden descomponerse como una suma directa ortogonal de espacios invariantes bidimensionales o unidimensionales; por ejemplo, esto puede deducirse de la observación de Paul Halmos y otros, de que el operador autoadjunto positivo ( S – T ) 2 conmuta tanto con S como con T . Sin embargo, en el caso anterior, donde la forma bilineal Λ ya no es un producto interno definido positivo, se debe dar un razonamiento ad hoc diferente .
Teorema (Tits). La representación geométrica del grupo de Coxeter es fiel.
Este resultado fue demostrado por primera vez por Tits a principios de los años 1960 y publicado por primera vez en el texto de Bourbaki (1968) con sus numerosos ejercicios. En el texto, la cámara fundamental fue introducida por un argumento inductivo; el ejercicio 8 en el §4 del Capítulo V fue ampliado por Vinay Deodhar para desarrollar una teoría de raíces positivas y negativas y, de esta manera, acortar el argumento original de Tits. [24]
Sea X el cono convexo de sumas κ e r + λ e s + μ e t con coeficientes reales no negativos, no todos ellos cero. Para g en el grupo Γ , defina ℓ( g ) , la longitud de palabra o length , como el número mínimo de reflexiones de r, s, t requeridas para escribir g como una composición ordenada de reflexiones simples. Defina una raíz positiva como un vector g e r , g e s o g e r que se encuentra en X , con g en Γ . [b]
Es rutinario comprobar a partir de las definiciones que [25]
Proposición. Si g está en Γ y ℓ( gq ) = ℓ( g ) ± 1 para una reflexión simple q , entonces g e q está en ± X , y es por tanto una raíz positiva o negativa, según el signo.
Reemplazando g por gq , solo se debe considerar el signo positivo. La afirmación se probará por inducción sobre ℓ( g ) = m , siendo trivial para m = 0 . Supóngase que ℓ( gs ) = ℓ( g ) + 1 . Si ℓ( g ) = m > 0 , sin menos generalidad se puede suponer que la expresión mínima para g termina en ... t . Puesto que s y t generan el grupo diedro Γ a , g se puede escribir como un producto g = hk , donde k = ( st ) n o t ( st ) n y h tiene una expresión mínima que termina en ... r , pero nunca en s o t . Esto implica que ℓ( hs ) = ℓ( h ) + 1 y ℓ( ht ) = ℓ( h ) + 1 . Como ℓ( h ) < m , la hipótesis de inducción muestra que tanto h e s como h e t se encuentran en X . Por lo tanto, basta con mostrar que k e s tiene la forma λ e s + μ e t con λ , μ ≥ 0 , no ambos 0. Pero eso ya se ha verificado en las fórmulas anteriores. [25]
Corolario (demostración del teorema de Tits). La representación geométrica es fiel.
Basta con demostrar que si g fija e r , e s , e t , entonces g = 1 . Considerando una expresión mínima para g ≠ 1 , las condiciones ℓ( gq ) = ℓ( g ) + 1 claramente no pueden ser satisfechas simultáneamente por las tres reflexiones simples q .
Nótese que, como consecuencia del teorema de Tits, los generadores (izquierda) satisfacen las condiciones (derecha): Esto da una presentación del subgrupo normal de índice 2 que preserva la orientación Γ 1 de Γ . La presentación corresponde al dominio fundamental obtenido al reflejar dos lados del triángulo geodésico para formar un paralelogramo geodésico (un caso especial del teorema del polígono de Poincaré). [26]
Consecuencias adicionales. Las raíces son la unión disjunta de las raíces positivas y las raíces negativas. La reflexión simple q permuta toda raíz positiva distinta de e q . Para g en Γ , ℓ( g ) es el número de raíces positivas que g hace negativas .
Dominio fundamental y cono de tetas. [27]
Sea G el subgrupo de Lie cerrado tridimensional de GL( V ) que preserva Λ . Como V puede identificarse con un espacio lorentziano o de Minkowski tridimensional con signatura (2,1) , el grupo G es isomorfo al grupo de Lorentz O(2,1) y por lo tanto [c] Si se elige e como un vector raíz positivo en X , el estabilizador de e es un subgrupo compacto maximal K de G isomorfo a O(2) . El espacio homogéneo X = G / K es un espacio simétrico de curvatura negativa constante, que puede identificarse con el hiperboloide bidimensional o el plano de Lobachevsky . El grupo discreto Γ actúa de manera discontinua sobre G / K : el espacio cociente Γ \ G / K es compacto si a, b, c son todos finitos, y de área finita en caso contrario. Los resultados sobre la cámara fundamental de Tits tienen una interpretación natural en términos del triángulo de Schwarz correspondiente, que se traducen directamente en las propiedades de la teselación del triángulo geodésico a través del grupo de reflexión hiperbólica Γ . El paso de los grupos de Coxeter a la teselación se puede encontrar por primera vez en los ejercicios del §4 del Capítulo V de Bourbaki (1968), debido a Tits, y en Iwahori (1966); actualmente hay disponibles numerosos otros tratamientos equivalentes, no siempre expresados directamente en términos de espacios simétricos.
Maskit (1971) dio una prueba general del teorema del polígono de Poincaré en el espacio hiperbólico; una prueba similar fue dada por de Rham (1971). Especializada en el plano hiperbólico y los triángulos de Schwarz, esta puede ser utilizada para dar un enfoque moderno para establecer la existencia de teselaciones de triángulos de Schwarz, como se describe en Beardon (1983) y Maskit (1988). Los matemáticos suizos de la Harpe (1991) y Haefliger han proporcionado una explicación introductoria, tomando la teoría de grupos geométricos como su punto de partida. [28]
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}\quad {\begin{cases}>1&\implies {\text{Esfera}}\\[2pt]=1&\implies {\text{Plano euclidiano}}\\[2pt]<1&\implies {\text{Plano hiperbólico}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c781765fbaeffe4ee3f94e7b3cb51a404d10b98c)
^{b}&=1,\\[2pt](rs)^{c}&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7ecf1d5c46800fc04eba2cea7eddf4e18209cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{a}}&{\text{si }}a\geq 2{\text{ es finito,}}\\[2pt]\cosh x,\ x>0&{\text{en caso contrario.}}\end{cases}}\\[8pt]B&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{b}}&{\text{si }}b\geq 2{\text{ es finito,}}\\[2pt]\cosh y,\ y>0&{\text{en caso contrario.}}\end{cases}}\\[8pt]C&={\begin{cases}\cos {\frac {\pi }{c}}&{\text{si }}c\geq 2{\text{ es finito,}}\\[2pt]\cosh z,\ z>0&{\text{de lo contrario.}}\end{casos}}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3bc2020b035d2c11a118c23f7a15f0e8349a140)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (\mathbf {e} _{s},\mathbf {e} _{t})&=-A,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{r})&=-B,\\[2pt]\Lambda (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{s})&= -C,\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacd3a78ece3fb65695a97959deb4d2acd7b0cf1)
![{\displaystyle {\begin{alineado}\rho (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{r})\mathbf {e } _{r}\\[2pt]\sigma (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{s})\mathbf { e} _{s}\\[2pt]\tau (\mathbf {v} )&=\mathbf {v} -2\Lambda (\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{t})\mathbf {e} _{t}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c908e760f5f2f0a01371ee2e77d3ee9f4e01a67c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sigma (\mathbf {e} _{s})&=-{\mathbf {e} }_{s},&\quad \tau (\mathbf {e } _{s})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _{t},\\[2pt ]\sigma (\mathbf {e} _{t})&=2\cos({\tfrac {\pi }{a}})\,\mathbf {e} _{s}+\mathbf {e} _ {t},&\quad \tau (\mathbf {e} _{t})&=-{\mathbf {e} }_{t},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee50c0dc8d5bc2decdf0f2453f821dabb7533a6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin(2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin 2m\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf { e} }_{t},\\[4pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sin( 2m+1)\theta }{\sin \theta }}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sin(2m+2)\theta }{\sin \ theta }}\right]{\mathbf {e} }_{t},\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b48fd6d6b2bf7d056c4874931112b041f2d1ac6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\left[{\frac {\sinh(2m+1)x} {\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh 2mx}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{ t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\ (\sigma \tau )^{m}(\mathbf {e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e } _{s}+2m\mathbf {e} _{t};\\[12pt]\tau (\sigma \tau )^{m}({\mathbf {e} }_{s})&=\ izquierda[{\frac {\sinh(2m+1)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{s}+\left[{\frac {\sinh(2m+2)x}{\sinh x}}\right]{\mathbf {e} }_{t},\\[4pt]\lim _{x\to 0}\,\tau (\sigma \tau )^{m}(\mathbf { e} _{s})&=(2m+1)\mathbf {e} _{s}+(2m+2)\mathbf {e} _{t}.\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afd090c1a27ca10876bb1fae31c6782be8375b4)
\ \ {\text{ st }}&h^{b}=1,\\[4pt](k&=rs)\ \ {\text{ st }}&k^{c}=1,\\[4pt]&&ghk=1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38956fd2255e8ebfbd33932b71059ae07f4df98b)
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