En geometría , un poliedro esférico o mosaico esférico es un mosaico de la esfera en el que la superficie está dividida o particionada por grandes arcos en regiones acotadas llamadas polígonos esféricos . Un poliedro cuyos vértices son equidistantes de su centro se puede estudiar convenientemente proyectando sus aristas sobre la esfera para obtener un poliedro esférico correspondiente.
El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol , considerado como un icosaedro truncado esférico . El siguiente poliedro esférico más popular es el balón de playa , considerado como un hosoedro .
Algunos poliedros "impropios", como los hosoedros y sus duales , los diedros , existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son degenerados . La pelota de playa hexagonal de ejemplo, {2, 6}, es un hosoedro y {6, 2} es su diedro dual.
Durante el siglo X, el erudito islámico Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) estudió los poliedros esféricos como parte de un trabajo sobre la geometría que necesitaban los artesanos y arquitectos. [1]
El trabajo de Buckminster Fuller sobre las cúpulas geodésicas a mediados del siglo XX desencadenó un auge en el estudio de los poliedros esféricos. [2] Aproximadamente al mismo tiempo, Coxeter los utilizó para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes , mediante la construcción de caleidoscopios ( construcción de Wythoff ). [3]
Todos los poliedros regulares , poliedros semirregulares y sus duales se pueden proyectar sobre la esfera como teselas:
Las teselas esféricas permiten casos que los poliedros no admiten, a saber, hosoedros : figuras como {2,n} y diedros : figuras como {n,2}. Generalmente se utilizan hosoedros y diedros regulares.
Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversa están relacionados con los poliedros proyectivos [4] (teselaciones del plano proyectivo real ) – así como la esfera tiene un mapa de cobertura 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos corresponden bajo una cobertura doble a poliedros esféricos que son simétricos bajo la reflexión a través del origen .
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de diedros y hosoedros pares : [5]
por parte de Buckminster Fuller fue el mayor estímulo para la investigación y el desarrollo de la subdivisión esférica.