El interior de S es el complemento del cierre del complemento de S. En este sentido, interior y cierre son nociones duales .
El exterior de un conjunto S es el complemento de la clausura de S ; consta de los puntos que no están ni en el conjunto ni en su límite . El interior, el límite y el exterior de un subconjunto juntos dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos está vacío ).
Si es un subconjunto de un espacio euclidiano , entonces es un punto interior de si existe una bola abierta centrada en la cual está completamente contenida
(esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo).
Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico con métrica : es un punto interior de si existe un número real tal que esté en siempre que la distancia
Esta definición se generaliza a espacios topológicos reemplazando "bola abierta" por " conjunto abierto ". Si es un subconjunto de un espacio topológico , entonces es un punto interior de si está contenido en un subconjunto abierto de que está completamente contenido en
(Equivalentemente, es un punto interior de si es una vecindad de )
Interior de un conjunto
El interior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o o puede definirse de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:
es el subconjunto abierto más grande contenido en
es la unión de todos los conjuntos abiertos de contenidos en
es el conjunto de todos los puntos interiores de
Si el espacio se entiende a partir del contexto, generalmente se prefiere la notación más corta a
Ejemplos
es un punto interior de porque hay una ε-vecindad de a que es un subconjunto de
En cualquier espacio, el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío.
En cualquier espacio si entonces
Si es la recta real (con la topología estándar), entonces mientras que el interior del conjunto de números racionales está vacío:
Si se considera la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, entonces es el conjunto vacío.
Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.
En cualquier espacio discreto , como todo conjunto es abierto, cada conjunto es igual a su interior.
En cualquier espacio indiscreto ya que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo, y para todo subconjunto propio de es el conjunto vacío.
Propiedades
Sea un espacio topológico y sean y subconjuntos de
Sin embargo, el operador interno no reparte entre los sindicatos, ya que sólo está garantizado en general y la igualdad podría no mantenerse. [nota 1] Por ejemplo, si y entonces es un subconjunto adecuado de
Monótono / no decreciente con respecto a : Si entonces
Otras propiedades incluyen:
Si está cerrado y luego
Relación con el cierre
Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos/palabras
"interior", "int", "abierto", "subconjunto" y "más grande"
son reemplazados respectivamente por
" cierre ", "cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"
y se intercambian los siguientes símbolos:
" " intercambiado con " "
" " intercambiado con " "
Para obtener más detalles sobre este asunto, consulte el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .
Operador interior
El operador interior es dual al operador de cierre , que se denota por o por una línea superior - , en el sentido de que
y también
donde está el espacio topológico que contiene y la barra invertida denota la diferencia teórica de conjuntos . Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski pueden traducirse fácilmente al lenguaje de los operadores interiores, reemplazando los conjuntos con sus complementos en
En general, el operador del interior no se desplaza con sindicatos. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:
El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .
Exterior de un conjunto
El exterior de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o simplemente es el conjunto abierto más grande disjunto de , es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos que son disjuntos de El exterior es el interior del complemento, que es lo mismo que el complemento del cierre; [2] en fórmulas,
Asimismo, el interior es el exterior del complemento:
El interior, el límite y el exterior de un conjunto dividen juntos todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos):
donde denota el límite de [3] El interior y el exterior siempre están abiertos , mientras que el límite está cerrado .
Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:
El operador exterior invierte las inclusiones; si entonces
El operador exterior no es idempotente . Tiene la propiedad de que
Formas interiores disjuntas
Las formas rojas no están separadas interiormente del Triángulo azul. Las formas verde y amarilla están internamente separadas del Triángulo azul, pero sólo la forma amarilla está completamente separada del Triángulo azul.
Dos formas y se llaman interiores disjuntas si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas interiores disjuntas pueden o no intersecarse en sus límites.
^ Zalinescu, C (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific. pag. 33.ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.
^ Bourbaki 1989, pag. 24.
^ Bourbaki 1989, pag. 25.
^ La identidad análoga para el operador de cierre es. Estas identidades pueden recordarse con la siguiente mnemónica. Así como la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, el operador interior también distribuye explícitamente sobre las intersecciones: Y de manera similar, así como la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, el operador de cierre también distribuye explícitamente sobre las uniones :
Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.