En matemáticas , una función regular es una teselación simétrica de una superficie cerrada . Más precisamente, una función regular es una descomposición de una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos de modo que cada bandera (una tripleta vértice-arista-cara incidente) pueda transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría de la descomposición. Las funciones regulares son, en cierto sentido, generalizaciones topológicas de los sólidos platónicos . La teoría de funciones y su clasificación está relacionada con la teoría de superficies de Riemann , la geometría hiperbólica y la teoría de Galois . Las funciones regulares se clasifican según: el género y la orientabilidad de la superficie de soporte, el grafo subyacente o el grupo de automorfismos .
Los mapas regulares normalmente se definen y estudian de tres maneras: topológicamente, mediante teoría de grupos y mediante teoría de grafos.
Topológicamente, un mapa es una descomposición de 2 celdas de una 2-variedad compacta y conexa. [1]
El género g de una función M viene dado por la relación de Euler , que es igual a si la función es orientable y si la función no es orientable. Es un hecho crucial que existe un número finito (distinto de cero) de funciones regulares para cada género orientable, excepto el toro.
En teoría de grupos, la representación de permutación de una función regular M es un grupo de permutación transitiva C , sobre un conjunto de banderas , generado por tres involuciones libres de punto fijo r 0 , r 1 , r 2 que satisfacen (r 0 r 2 ) 2 = I. En esta definición, las caras son las órbitas de F = < r 0 , r 1 >, las aristas son las órbitas de E = < r 0 , r 2 >, y los vértices son las órbitas de V = < r 1 , r 2 >. De manera más abstracta, el grupo de automorfismos de cualquier función regular es la imagen homomórfica no degenerada de un grupo de triángulos <2,m,n> .
En teoría de grafos, un mapa es un grafo cúbico con aristas de color azul, amarillo y rojo de manera que: es conexo, cada vértice incide en una arista de cada color y los ciclos de aristas que no están coloreadas de amarillo tienen una longitud de 4. Nótese que es el gráfico de banderas o el mapa codificado en grafos (GEM) del mapa, definido en el conjunto de vértices de banderas y no es el esqueleto G = (V,E) del mapa. En general, | | = 4|E|.
Una función M es regular si Aut(M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut( M ) de una función regular es transitiva sobre los vértices, aristas y caras de M . Se dice que una función M es reflexiva si y solo si Aut( M ) es regular y contiene un automorfismo que fija tanto un vértice v como una cara f , pero invierte el orden de las aristas. Se dice que una función que es regular pero no reflexiva es quiral .
La siguiente es una lista completa de mapas regulares en superficies de característica de Euler positiva , χ: la esfera y el plano proyectivo. [2]
Las imágenes a continuación muestran tres de los 20 mapas regulares del triple toro , etiquetados con sus tipos Schläfli.
Los mapas regulares existen como poliedros toroédricos como porciones finitas de teselaciones euclidianas, envueltas sobre la superficie de un duocilindro como un toro plano . Estos se etiquetan como {4,4} b , c para aquellos relacionados con la teselación cuadrada , {4,4}. [4] {3,6} b , c están relacionados con la teselación triangular , {3,6}, y {6,3} b , c relacionados con la teselación hexagonal , {6,3}. b y c son números enteros . [5] Hay 2 casos especiales ( b , 0) y ( b , b ) con simetría reflexiva, mientras que los casos generales existen en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ).
Las aplicaciones regulares de la forma {4,4} m ,0 se pueden representar como el poliedro oblicuo regular finito {4,4 | m }, visto como las caras cuadradas de un duoprisma m × m en 4 dimensiones.
A continuación se muestra un ejemplo de {4,4} 8,0 proyectado desde un plano como un tablero de ajedrez a una sección de cilindro y luego a un toro. La proyección desde un cilindro a un toro distorsiona la geometría en tres dimensiones, pero se puede realizar sin distorsión en cuatro dimensiones.
En poliedros toroidales generalmente regulares { p , q } b , c se pueden definir si p o q son pares, aunque solo los euclidianos anteriores pueden existir como poliedros toroidales en 4 dimensiones. En {2 p , q }, las trayectorias ( b , c ) se pueden definir como escalonadas cara-arista-cara en líneas rectas, mientras que las formas duales { p ,2 q } verán las trayectorias ( b , c ) como escalonadas vértice-arista-vértice en líneas rectas.
